智爱高中数学 放缩法(详解)

1、智愛高中數學 放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大或缩小利用根本不等式，如：；利用常用结论：、；、 ； 程度大、 ； 程度小a, b, c, dR+，求证：【巧证】：记m = a, b, c, dR+ 1 m 2 时，求证：【巧证】：n 2 n 2时, 3.求证： 【巧证】：巧练一：设x 0, y 0, ，求证：a b巧练一：【巧证】：巧练二：求证：lg9lg11 b c, 那么巧练四： 【巧证】： 巧练五：巧练五：【巧证】：左边巧练六：巧练六：【巧证】： 巧练七：a, b, c 0, 且a2 + b

2、2 = c2，求证：an + bn 0, 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：裂项放缩1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以奇巧积累:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 2. 证明:解析: 运用两次次分

3、式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有 (1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以3.求证:解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,当时,当时,所以综上有4.设函数.数列满足.设，整数.证明:.解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,那么,否那么假设,那么由知,因为,于是5.,求证: .解析:首先可以证明:所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命

4、题成立.,求证:.解析:所以 从而7.,求证:证明: ,因为 ,所以 所以 二、函数放缩 8.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然此题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数,首先:,从而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,所以有,所以综上有11.求证:和.解析:构造函数后即可证明12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有,

5、 所以,所以14. 证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是， 即注：题目所给条件为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩： ，即15. 函数是在上处处可导的函数,假设在上恒成立. ( = 1 * ROMAN I)求证：函数上是增函数； ( = 2 * ROMAN II)当； ( = 3 * ROMAN III)不等式时恒成立， 求证：解析:( = 1 * ROMAN I),所以函数上是增函数 ( = 2 * ROMAN II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到: 所以 令,有

6、所以 (方法二) 所以 又,所以16.函数假设 解析:设函数 函数上单调递增，在上单调递减.的最小值为，即总有而即令那么 三、分式放缩 不等式:和 记忆口诀小者小,大者大 解释:看b,假设b小,那么不等号是小于号,反之.17.不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即18.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩19.求证: 解析: 20. 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线0上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明4，; (2)证明有，使得对都有. 解析:(1) 依题设有：，由得： ,又直

7、线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，那么 设，那么当时，。所以，取，对都有：故有成立。21.函数，假设的定义域为1，0，值域也为1，0.假设数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。解析:首先求出,故当时,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，那么当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.22.设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证.五、迭代放缩23. ,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论24. 设,

8、求证:对任意的正整数k,假设kn恒有:|Sn+kSn|0,b0,求证：解析: 因为a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列，设，从而 45.设，求证.解析: 观察的结构，注意到，展开得，即，得证.46.求证:. 解析:参见上面的方法,希望自己尝试! 47.函数，满足：对任意，都有；对任意都有.I试证明：为上的单调增函数；II求；III令，试证明：.解析:此题的亮点很多,是一道考查能力的好题.(1)运用抽象函数的性质判断单调性:因为,所以可以得到,也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函数.(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!首先我们发现条件不是很足,尝试探索看看按

9、(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了! 由(1)可知,令,那么可以得到 ,又,所以由不等式可以得到,又,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以, ,在此比拟有技巧的方法就是: ,所以可以判断 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合有= (3)在解决的通项公式时也会遇到困难. ,所以数列的方程为,从而, 一方面,另一方面 所以,所以,综上有.48. 函数fx的定义域为0,1，且满足以下条件： 对于任意0,1，总有，且； 假设那么有求f0的值；求证：fx4；当时，试证明：.解析: 解

10、：令，由对于任意0,1，总有， 又由得即 解：任取且设 那么 因为，所以，即 . 当0,1时，. 证明：先用数学归纳法证明：当n=1时，不等式成立；假设当n=k时，由 得即当n=k+1时，不等式成立由1、2可知，不等式对一切正整数都成立.于是，当时，而0,1，单调递增 所以， 49. ： 求证：解析:构造对偶式：令 那么 又 十一、积分放缩利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在上的可积函数，那么.50.求证：.解析: ， 时，. 利用定积分估计和式的上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和.51. 求证：，.解析: 考虑函数在区间上的定积分.

11、如图，显然-对求和，.52. .求证：.解析:考虑函数在区间上的定积分.-.53.设，如图，直线及曲线：，上的点的横坐标为.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.试求与的关系，并求的通项公式； 当时，证明； 当时，证明.解析:过程略.证明II：由知，.当时，.证明：由知.恰表示阴影局部面积，显然 .奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等证明，如：；. 十二、局部放缩(尾式放缩) 54.求证: 解析: 55. 设求证：解析: 又只将其中一个变成，进行局部放缩，于是56.设数列满足，当时证明对所有 有；解析: 用数学归纳法：当时显然成立

12、，假设当时成立即，那么当时，成立。 利用上述局部放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到局部放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了局部放缩的结论十三、三角不等式的放缩57.求证:. 解析:(i)当时, (ii)当时,构造单位圆,如下图: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时, ,由(ii)可知: 所以综上有十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强,只要证明,其中通过寻找分析,归纳完成.58.求证:对一切,都有.解析: 从而 当然此题还可以使用其他方法,如: 所以. (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双

13、向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨返璞归真,通过双向加强复原其本来面目,从而顺利解决原不等式.其根本原理为: 欲证明,只要证明:.59.数列满足:,求证: 解析: ,从而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以综上有引申:数列满足:,求证: .解析:由上可知,又,所以 从而 又当时,所以综上有.引申:数列,.记,.求证:当时.(1); (2); (3).解析:(1),猜测,下面用数学归纳法证明: (i)当时,结论成立; (ii)假设当时,那么时, 从而,所以 所以综上有,故 (2)因为那么, ,相加后可以得到: ,所以,所以 (3)因为,从而,有,所以有 ,从而,所以,所以 所以综上有. 60.数列的首项, (1)证明:对任意的,; (2)证明:. 解析:(1)依题,容易得到,要证 ,即证即证,设所以即证明从而,即,这是显然成立的.所以综上有对任意的, (法二) ,原不等式成立 (2)由(1)知，对任意的，有取，那么 原不等式成立十四、经典题目方法探究 探究1.函数.假设在区间上的最小值为,令.求证:. 证明:首先:可以得到.先证明 (方法一) 所以 (方法二)因为,相乘得: ,从而.(方法三)设A=,B=,因为AB,所以A21,