2022届福建省南平一中高三第三次质量检测（南平市三模）数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 19 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 页2022届福建省南平一中高三第三次质量检测（南平市三模）数学试题一、单选题1已知复数，则复数的虛部为（）ABCD【答案】A【分析】先由复数的运算求出，再求出虚部即可.【详解】，故虚部为.故选：A.2设集合，集合，若，则的取值范围为（）ABCD【答案】D【分析】直接由求解即可.【详解】由可得.故选：D.3抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A至多一枚硬币正面朝上B只有一枚硬币正

2、面朝上C两枚硬币反面朝上D两枚硬币正面朝上【答案】C【分析】由对立事件的概念直接判断即可.【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.4九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在正方体中，当分别与，重合时，所形成的四面体中鳖臑共有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】当与，重合时，由为等边三角形即可判断四面体不是鳖臑；当与，重合时，证明四个面均为直角三角形即可.【详解】如图，当与重合时，易得，故为等边三角形，此时四面体不是鳖臑；当与重合时，易得为直角三角形，又面，面，故，故为直角三角形，同理为直角三角形，此时四面体是

3、鳖臑；当与重合时，易得，故为等边三角形，此时四面体不是鳖臑；当与重合时，易得为直角三角形，又面，面，故，故为直角三角形，同理为直角三角形，此时四面体是鳖臑；故共有2个.故选：B.5在单位圆中，已知角的终边与单位圆交于点，现将角的终边按逆时针方向旋转，记此时角的终边与单位圆交于点，则点的坐标为（）ABCD【答案】B【分析】先由三角函数的定义求得，再由正余弦和角公式求得，即可求得点的坐标.【详解】由三角函数定义知：，将角的终边按逆时针方向旋转，此时角变为，故点的横坐标为，点的纵坐标为，故点的坐标为.故选：B.6在中，若，则（）ABCD【答案】A【分析】由，利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为

4、，所以，所以，故选：A7若点是抛物线上一点，点到该抛物线焦点的距离为6，则（）A1B2C3D4【答案】D【分析】先由点在抛物线上得，再结合抛物线的定义及到抛物线焦点的距离即可解出.【详解】由题意知：，解得，抛物线的准线为，由抛物线的定义知，点到该抛物线焦点的距离为，解得.故选：D.8对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C【分析】化简不等式后构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解【详解】，即，令，由题意得在上单调递减，故，即在上恒成立，则，故选：C二、多选题9支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青

5、年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（）A若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人B该医院青年患者所占的频率为C该医院的平均治愈率为28.7%D该医院的平均治愈率为31.3%【答案】ABC【分析】由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.【详解】对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；对于B，青年患者所占的频率为，正确；对于C，平均治愈率为，正确；对于D，由C知错误.故选：ABC.10已知函数的任意两条对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（）A函数在单

6、调递减B，C把的图象向右平移个单位即可得到的图象D若在上有且仅有一个极值点，则的取值范围为【答案】BD【分析】由题意先解出，再根据三角函数性质对选项逐一判断【详解】由题意得的周期为，故，又的图象关于原点对称，为奇函数，而，可得，即，对于A，当时，结合正弦函数性质知在不单调，故A错误，对于B，故B正确对于C，的图象向右平移个单位得函数，故C错误，对于D，当时，若在上有且仅有一个极值点，则，解得，故D正确故选；BD11已知双曲线的方程为，分别为双曲线的左右焦点，过且与x轴垂直的直线交双曲线于M，N两点，又，则（）A双曲线的渐近线方程为B双曲线的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方

7、C双曲线的实轴长虚轴长焦距成等比数列D双曲线上存在点，满足【答案】AB【分析】先由求得，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即可判断B选项，由实轴长虚轴长焦距结合等比中项即可判断C选项，由双曲线定义结合的范围即可判断D选项.【详解】易知双曲线的方程为，令得，故，解得，双曲线的渐近线方程为，即，故A正确；双曲线的渐近线方程为，由双曲线的对称性，不妨取右顶点，右焦点，则顶点到两渐近线距离的积为，焦点到渐近线距离的平方为，又，故，B正确；，显然，C错误；若，又由双曲线定义，解得，故不存在点，满足，D错误.故选：AB.12如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，

8、以此类推；设数列的前项和为.则（）ABCD【答案】ABD【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，即可求解判断D选项.【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即 ，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；，故B正确

9、；所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前项和与所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.三、填空题13计算：_.【答案】【分析】直接由特殊角的三角函数和对数运算求解即可.【详解】.故答案为：.14已知为圆：上任意一点，则的最大值为_.【答案】【分析】将转化为点和连线的斜率，由图像可知当直线与圆相切时取得最大值，由解出斜率即可.【详解】由于，故表示和连线的斜率，设，如图所示，当与圆相切时，取得最大值，设此时，即，又圆心，半径为1，故，解得，故的最大值为.故答

10、案为：.15已知函数有零点，则实数_.【答案】【分析】先由基本不等式求得，再由二次函数求得，要使函数有零点，必须同时取等，即，解方程即可.【详解】由可得，当且仅当时取等，又，当且仅当时取等，故，当且仅当，时取等.要使函数有零点，则且，化简得，解得.故答案为：.16四面体中，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为_.【答案】【分析】构建直三棱柱，找出球心及底面外心，结合正弦定理求得，由表示出体积，再结合余弦定理及基本不等式求出最大值.【详解】由，且异面直线与所成的角为构建直三棱柱，由得，易得四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，取的外心，易得的中点即为球心，又，则

11、，由正弦定理得，又，又由余弦定理得，即，当且仅当时取等，故的最大值为3，四面体的体积的最大值为.故答案为：.四、解答题17在；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，角ABC所对的边分别是abc，_.(1)求角A；(2)若，点D在线段AB上，且与的面积比为3：5，求CD的长.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）若选，由正弦定理，得，再由余弦定理即可求出角A；若选，由正弦定理得，解得，即可求出角A；若选，先由平方关系得，再由正弦定理得，再由余弦定理即可求出角A；（2）在中，由余弦定理求得，由与的面积比求得，再在中由余弦定理

12、求得即可.【详解】(1)选，由正弦定理，得，即，故，又，故；选，由正弦定理，得，又，故，又，故，又，故；选，由可得，即，由正弦定理得，故，又，故；(2)在中，由余弦定理得，因为，所以，解得或（舍），又与的面积比为3：5，即，所以，在中，由余弦定理得，即.18已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若满足，.设为数列的前项和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用累乘法即可求解；（2）由（1）代入可得，利用并项法求和即可求解.【详解】(1)因为，所以当时，则，即，当时，也成立，所以.(2)由（1），则，则.19南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第

13、十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩近似于服从正态分布，近似为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），求的值；利用该正态分布，求；(2)在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：测试成绩不低于的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于的可以获赠1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（元）1030概率今在此次参

14、加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为（单位：元），试根据样本估计总体的思想，求的分布列与数学期望.参考数据与公式：若，则，.【答案】(1)；(2)分布列见解析；【分析】（1）利用平均值的公式求解即可；利用正态分布的对称性即可求解；（2）由，所获赠话费的可能取值为，结合表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.【详解】(1)由题，因为，所以.(2)由题，所获赠话费的可能取值为，所以的分布列为：所以.20如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，.(1)证明：平面；(2)若M为棱PD上的点，且二面角的余弦值为，求直线PC与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)

15、【分析】（1）由正方形的性质可知，易证，则，设，连接，结合等腰三角形性质可知，即可得证；（2）取中点为，可知为二面角的平面角，易得，进而可得平面，即，在中可得，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，设所求的直线与平面所成角为，则，即可求解.【详解】(1)证明：因为底面是边长为的正方形，所以，由，则，所以，设，连接，所以，因为，平面，平面，所以平面.(2)取中点为，易得且，所以为二面角的平面角，则，因为，所以，所以，即，又，所以平面，则，在中，所以，则，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，设

16、所求的直线与平面所成角为，则，所以，所求的正弦值为. 21已知椭圆：，分别为椭圆的左右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.(1)求椭圆的方程；(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由的周长求出，再由焦距求得，进而求出，即得椭圆的方程；（2）设出直线的方程联立椭圆方程求得，表示出直线的方程求出，由表示出面积，结合基本不等式求最大值即可.【详解】(1)的周长为，由椭圆定义得，即.又焦距，得，则，所以椭圆的方程为；(2)设直线的方程为，联立得，设，则，点，直线的方程为，令得，即，又，故，当且仅当时即时等号成立，所以四边形面积的最大值为.22已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）直接求导，分和讨论单调性即可；（2）先讨论当时无零点，再讨论时，通过同构得到，即，确定在上的零点，即可证明有两个零点；由相减得，换元令，进而得到，通过放缩构造函数即可求证.【详解】(1)定义域为，当时，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减