2020高考中点弦问题

1、圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。注意：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆x2y21内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。164例2、已知双曲线x2y21，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M2是线段AB的中点。若存在这样的直线l，求出它的方程，若不存在，说

2、明理由。2、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆y2x21的一条弦的斜率为3，它与直线x1的交点恰为这条弦的中点M，求75252点M的坐标。例4、已知椭圆y2x21,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。75253、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y3x2截得的弦的中点的横坐标为1，求椭圆的方程。所求椭圆的方程是y2x21275254、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆x2y21，试确定的m取值范围，使得对于直线y4xm，椭圆上总有不同43的两点关于该直线对称。例7、已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为

3、（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且证明：，成等差数列，并求该数列的公差注意的问题1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣答案：1.解：设直线与椭圆的交点为(2,1)为AB的中点又A、B两点在椭圆上，则两式相减得(x12x22)4(y12于是(x1x2)(x1x2)4(y1A(x1,y1)、B(x2,y2)x1x24y1y22x24y216，x24y2161122y22)0y2)(y1y2)0y1

4、y2x1x241x1x24(y1y2)422即kAB1，故所求直线的方程为y11(x2)，即x2y40。222.解：设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)则x1x22，y1y22x12y121，x22y22122两式相减，得(x1x2)(x1x2)1(y1y2)(y1y2)0kABy1y222x1x2y12(x1)消去y，得2x2故直线AB:y12(x1)由x2y214x302(4)242380这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置

5、非常重要。（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。3.解：设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x012y12x1222x1x22x01，y1y22y0又1，y2x2175257525两式相减得25(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0即2y0(y1y2)3(x1x2)0y1y23x1x22y0ky1x1y2333，即y01点M的坐标为(1,1)。x22y02224.解：设弦端点x1x2两式相减得P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则y12x12

6、222x，y1y22y又1，y2x217525752525(y1y2)(y1y2)75(x1x2)(x1x2)0即y(y1y2)3x(x1ky1y23x1x2xy0由y2x21，得7525点M在椭圆内5.解：设椭圆的方程为x2)0y1y23x，即x2yx13x3，即xy0yP(53,53)Q(53,53)2222它的斜率为53533的弦中点的轨迹方程为xy0(2x)y2x221，则a2b250a2b2设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x013x021x1x22x01，y1y22y01，y0222222又y1x11，y2x21a2b2a2b2两式相减得b

7、2(y1y2)(y1y2)a2(x1x2)(x1x2)0即b2(y1y2)a2(x1x2)0y1y2a2a23x1x2b2b2联立解得a275，b2256.解：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为椭圆上关于直线y4xm的对称两点，P(x,y)为弦P1P2的中点，则3x24y212，3x24y2121122两式相减得，3(x12x22)4(y12y22)0即3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0 x1x22x，y1y22y，y1y21y3xPPPy4xmx1x24这就是弦轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内12中点联立y3x，得xm则必须满足y233x2，y4xmy3m4即(3m)233m2，解得213m213413137、【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解。详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题