新教材人教A版高一数学必修一知识点总结与经典例题 第三章函数的概念与性质

1、学好高中数学，成就美好人生新教材人教A版高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质【考纲要求】序号考点在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。课标要求了解1函数的概念了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方了解2函数的性质3幂函数4函数的应用（一）法（如图像法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，最大值，最小值，理解它们的作用和实际意义结合具体函数，

2、了解奇偶性的概念和几何意义通过具体实例，结合，,，的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律。了解理解理解了解了解掌握第1页，共48页学好高中数学，成就美好人生3.1函数的概念及其表示知识点总结3.1.1函数的概念一、函数的概念1.一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任何一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值。函数值的集合（1）判断一个

3、对应关系是不是函数：两个集合均为非空数集；对集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数叫做函数的值域。和它对应。注意：可以一对一，多对一，不可一对多。（2）判断一个图形是不是函数的图象作垂直于轴的直线，在定义域内左右平移直线，根据直线与图形是不是仅有一个公共点来判断，若是，则为函数图象，反之不是。2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。3.相等函数：如果两个函数的定义域相同且对应关系完全一致，则这两个函数相等。二、区间的概念及函数定义域的求法1.区间的表示方法第2页，共48页学好高中数学，成就美好人生2.函数的定义域求法（1）具体函数的定义域如果是整式，则定义域为；如果是分式，则定义域是使

4、分母不为的实数集合；如果是偶次根式，其定义域是使根式内的式子不小于的实数集合；如果是由以上几部分数学式子组成，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（2）抽象函数和复合函数的定义域已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的取值范围为，求的取值范围。已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的取值范围为，求的值域。第3页，共48页学好高中数学，成就美好人生3.简单函数的值域求法（1）观察法：对于一些简单的函数，通过其定义域和对应关系用观察法可以确定，如、等等；（2）配方法：对于含二次函数的有关问题，常常根据问题需要，采用配方法求值域，如等；（3）判别式法：将函数转化为一元二次方程，利用判别式

5、求函数值的范围，常用于一些分式函数，无理函数等，如等；（4）换元法：对于一些无理函数常通过换元的方法转化为有理函数，在通过上述方法求值域，如；（5）分离常数法：对于一些分子和分母都是关于自变量的一次式，常采用分离常数法求值域，如,（其中为常数）。（6）图像法3.1.2函数的表示法一、三种表示法的比较表示法优点1.简明、全面地概括了变量间的关系；解析法2.通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值缺点不够形象、直接、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式来表示，如每天的气温变化列表法图像法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值1.能形象、直观地表示出函数的变化情况；2.便于数形结

6、合的应用。只能表示出自变量取较少的值时的对应关系只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，有时误差较大。二、函数解析式的求法1.待定系数法：已知函数类型，求函数解析式；2.配凑法3.换元法第4页，共48页学好高中数学，成就美好人生4.消元法（解方程组法）：抽象函数解析式的求法；5.赋值法三、函数图象的作法先找出一些（有代表性）自变量的值，再计算出与这些自1列表变量的值相对应的函数值，用表格形式表示出来从表格中得到一系列的点，在平面直角坐标系中描出这些23描点点连线用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来四、分段函数1.分段函数是一个函数，而不是几个函数；2.写分段函数各段的取值范围时，

7、注意不重不漏；3.处理分段函数问题时，首先要确认自变量的取值范围，再选取相应的对应关系；4.分段函数的定义域是各段定义域的并集；同样的，值域是各段函数值域的并集；分段函数的最大（小）值是各段函数分别求得最大（小）值之后的最大（小）值。考法突破【知识点一函数的概念】例1，下列能表示是的函数的是()A.B.C.D.第5页，共48页学好高中数学，成就美好人生变式训练例1下列各式为函数解析式的是().A.B.C.D.【知识点一函数的概念之图像理解】例2下列四个图象中，能表示是的函数图象的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个第6页，共48页学好高中数学，成就美好人生变式训练例2下列图象中表示函数图

8、象的是()A.B.C.D.【知识点一相等函数的概念】例3.下列四组函数中,表示相等函数的一组是(.)A.B.C.D.第7页，共48页学好高中数学，成就美好人生变式训练例3下列各组中的两个函数是同一函数的为()A.与B.与C.与D.与【知识点二函数定义域的求法】例1.已知函数的定义域是集合,则使的集合()A.或B.或C.D.变式训练例1已知函数的定义域为，的定义域为，则_答案.第8页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点二函数定义域的求法】例2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为_答案.变式训练例2已知函数的定义域为,则函数的定义域是_.答案.【知识点二.函数定义域的求法】例3.函数的定

9、义域为,则函数的定义域是_.答案变式训练例3已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.第9页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点二函数定义域的求法】例4已知函数数在的定义域为，则实数的值构成的集合是_；若函上有意义，则实数的值构成的集合是_.答案；变式训练例4(2018广西南宁高一期末)若函数的定义域为,则的取值范围为_.答案【知识点三函数值域的求法】例1。函数的值域是_.答案变式训练例1函数的值域是_.答案【知识点三函数值域的求法】例2。已知集合.,求第10页，共48页学好高中数学，成就美好人生答案,变式训练例2函数的定义域为_，值域为_答案；【知识点三函数值域的求法】

10、例3已知函数满足方程，则函数的值域为_.答案变式训练例3已知函数满足方程，那么函数的值域是_.答案【知识点三函数值域的求法】例4函数的值域为_.答案变式训练例4函数的值域为_.答案第11页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点三函数值域的求法】例5函数的值域为_.答案变式训练例5函数在的值域为_.答案【知识点四函数表示法】例1。口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染.为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如表所示的一组数据：（1）请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力随温度变化的图像.（2）根据

11、上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？（3）如果口香糖不小心粘在衣服上，用什么办法清理最干净？变式训练例1根据下表写出函数解析式（）A.第12页，共48页学好高中数学，成就美好人生B.C.D.【知识点四函数表示法】例2。某电信公司推出两种手机收费方式：种方式是月租元，种方式是月租元一个月的本地网内打出电话时间这两种方式的电话费相差()与电话费(元)的函数关系如图所示，当电话时，A.元B.元C.元D.元变式训练例2下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途

12、中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；第13页，共48页学好高中数学，成就美好人生（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.A.（1）（2）（4）B.（4）（2）（3）C.（4）（1）（3）D.（4）（1）（2）【知识点四函数表示法】例3。某种杯子每只的函数答案。变式训练例3元，买只，所需钱数为元，用解析法将表示成.某商场新进了台彩电，每台售价元，试求售出台数与收款数之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来【知识点五函数解析式的求法】例1已知二次函数的图像过点，则二次函数的解析式为_.第14页，共48页学好高中数学，成就美好人生答案变式训练例1抛物线上有三点，此抛物

13、线的解析式为_答案【知识点五函数解析式的求法】例2已知，则_.答案。变式训练例2函数满足,则的最小值为_.答案.【知识点五函数解析式的求法】例3已知，求.答案变式训练例3.若，求.答案。.【知识点五函数解析式的求法】第15页，共48页学好高中数学，成就美好人生例4已知答案。变式训练例4设满足，求.答案.【知识点五函数解析式的求法】例5设是上的函数,且满足,并且对任意的实数,都有,求,的值及的解析式.变式训练例5已知函数对一切实数都有成立，且（1）求的值；（2）求的解析式.答案（1）；（2）【知识点六函数图象作法】例1作出函数的图象.变式训练例1第16页，共48页.学好高中数学，成就美好人生研究

14、下列函数的单调区间并分别画出它们的图象：(1)；(2)(1)图略，函数的单调减区间是，(2)图略，函数的单调减区间是【知识点七分段函数的概念和性质】例1。已知函数，则（）A.B.C.D.变式训练例1设，求的值.答案【知识点七分段函数的概念和性质】第17页，共48页学好高中数学，成就美好人生例2.设函数，若，则_答案。变式训练例2设函数答案。或，若，则_3.2函数的基本性质知识点总结3.2.1单调性与最大（小）值1.增函数与减函数定义（1）一般地，设函数的定义域为，区间：如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增。即函数在区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调增区间。特别地，当函数在它的

15、定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。（注意：当或如果时，函数，当时，都有单调递增。），那么就称函数在区间上单调递减。即函数在区间上具有严格的单调性，区间叫做函数的单调减区间。特别地，当函数或在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。（注意：当时，函数单调递减。）（2）判断函数单调性的方法第18页，共48页定义法i.设符合定义域的.作差与变形：学好高中数学，成就美好人生，且；.常见变形方法有：分解因式，配方，通分，有理化等。.判号.得出结论配凑法（适用于判断抽象函数单调性）图像法作函数图象，通过图象直观的判断函数的单调性性质法.直接利用函数的性质：一次函数、二次函数、反比例函数等等.单调

16、性运算性质增+增=增增-减=增减+减=减减-增=减若为增函数，则为减函数；若在定义域上成立，则与的单调性相同；函数的单调性满足“同增异减”的法则。2.函数单调性的应用（1）利用单调性解不等式若在区间内单调递增。则不等式若在区间内单调递减。则不等式（2）利用函数单调性求参数取值范围将参数看成已知数，对参数进行讨论，求函数的单调区间，再与已知条件对比，求出参数范围；根据已知条件，将参数分离放置不等号左端，右端化为已知函数，再通过求已知函数的值域从而确定参数的取值范围。第19页，共48页学好高中数学，成就美好人生3.函数的最大（小）值设函数的定义域为区间，如果存在实数满足：（1）对于，都有最大值（2

17、）对于，都有最小值。，且存在，使得，则称是函数的，且存在，使得，则称是函数的4.函数最大（小）值的求法（1）单调性法（2）函数图象的性质（3）均值不等式5.二次函数的图象和性质第20页，共48页学好高中数学，成就美好人生对于二次函数在区间上的最值可进行如下讨论：（1）函数图象的对称轴在区间左侧，即时，。（2）函数图象的对称轴在区间之间，即时，。当时，；第21页，共48页学好高中数学，成就美好人生当时，；当时，；（3）函数图象的对称轴。在区间右侧，即时，3.2.2函数的奇偶性1.奇函数与偶函数奇函数：一般地，设函数的定义域为,如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数；偶函数：一般地，设函数么函数就叫

18、做偶函数；2.奇函数与偶函数的性质的定义域为,如果，都有，且，那（1）对称性：奇函数图象关于原点对称，且若定义域包含，则；偶函数图象关于轴对称；（2）单调性：奇函数在原点两侧单调性相同；偶函数在轴两侧单调性相反；（3）函数奇偶性的判定定义法求定义域：观察是否关于原点对称。若是则进行下一步判断，若不是，则函数偶；非奇非判断奇函数。图像法与的关系：，则为偶函数；，则为第22页，共48页学好高中数学，成就美好人生图象关于原点对称，则为奇函数；图象关于轴对称，则为偶函数。性质法奇奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶偶奇偶奇3.函数周期性(1)周期函数:对于定义域中任意的和一个非零常数为周期的周期函数.,恒成立是以(2

19、)最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做的最小正周期(若不特别说明,一般都是最小正周期).下列条件可推出具有周期性:(1)若,则是周期函数,其中一个周期.(2)若或或,那么函数是周期函数,其中一个周期为.(3)若,那么函数是周期函数,其中一个周期为.(4)若已知函数图象具有对称性,可将其转化为函数的周期情况,具体如下:第23页，共48页学好高中数学，成就美好人生若的图象在定义城内有两条对称轴,则的一个周期为;若的图象在定义域内有两个对称中心,则的一个周期为;若的图象在定义域内有对称轴.4.关于函数图象对称性的常见结论在定义域内满足条件考法突破【知识点

20、一函数单调性的判断】和对称中心,则的一个周期为图象的对称轴（中心）直线直线点点点点点例1求函数答案，定义法。变式训练例1用定义证明：函数的单调区间.单调递增，单调递减.在上是减函数.【知识点一函数单调性的判断】第24页，共48页学好高中数学，成就美好人生例2.(2018湖南郴州高一联考)已知函数.(1)画出函数的大致图像;(2)写出函数的单调递减区间.答案(1)见解析;(2)变式训练例2求函数的递增区间答案，图像法。.【知识点一函数单调性的判断】例3。下列函数在区间上不是增函数的是()A.B.C.第25页，共48页学好高中数学，成就美好人生D.变式训练例3函数的单调递增区间是_，单调递减区间是

21、_答案，【知识点一函数单调性的判断】例4.求函数的单调区间.变式训练例4已知函数.（1）判断函数的单调区间；（2）当时，求函数的值域.【知识点一函数单调性的判断】例5.函数的定义域为，且对一切，都有时，总有.（1）求的值；（2）判断的单调性并证明；（3）若，解不等式.答案（1）；第26页，共48页，当学好高中数学，成就美好人生（2）是上的增函数，证明略；（3）.变式训练例5已知定义在时上的函数，判断对任意在，恒有上的单调性，且当答案在上单调递减.证明略【知识点二函数单调性的应用】例1。若函数在上是减函数，则下列关系式一定成立的是（）.A.B.C.D.变式训练例1已知,是正实数,则下列式子中能使

22、恒成立的是()A.B.C.第27页，共48页学好高中数学，成就美好人生D.【知识点二函数单调性的应用】例2。已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围为_答案。变式训练例2函数在上是增函数，且，则的取值范围为_.答案。【知识点二函数单调性的应用】例3.已知函数在上递增,则的取值范围是()A.B.C.D.变式训练例3若函数答案。在上单调递增，求实数的取值范围第28页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点三函数的最大（小）值】例1，函数在区间上的最小值为_，最大值为_.答案；.变式训练例1已知函数，.(1)判断并证明函数的单调性；(2)求函数的最大值与最小值.答案（1）略；（2）.【知识点

23、三函数的最大（小）值】例2.函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A.，B.，C.，第29页，共48页学好高中数学，成就美好人生D.，变式训练例2函数的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为（）A.，B.，C.，D.，【知识点三函数的最大（小）值】例3.当时，的最小值为（）A.B.C.D.变式训练例3第30页，共48页学好高中数学，成就美好人生函数的最大值为()A.B.C.D.【知识点四二次函数的值域和最值】例1。函数，在的最大值为_.答案。变式训练例1二次函数在区间的最大值为_答案。【知识点四二次函数的值域和最值】例2.已知函数在时有最大值，则的值为_.答案。或变式训

24、练例2函数在上有最大值，那么实数_第31页，共48页学好高中数学，成就美好人生答案。或【知识点五函数奇偶性的判断】例1已知函数（1）证明：.是奇函数；（2）用函数单调性的定义证明：变式训练例1下列函数是偶函数的是（）A.B.在上是增函数。C.D.【知识点五函数奇偶性的判断】例2.下列函数图象中，_是奇函数的图象；_是偶函数；_在定义域内是增函数.第32页，共48页学好高中数学，成就美好人生答案A.；B.；C.变式训练例2函数，的图像如图，则函数的图像可能是（）A.B.C.D。第33页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点五函数奇偶性的判断】例3。已知函数()是奇函数，那么函数()()A是

25、奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数也不是偶函数变式训练例3函数的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【知识点六函数奇偶性的应用】例1。已知函数，且，则（）A.B.C.D.第34页，共48页学好高中数学，成就美好人生变式训练例1已知函数，若，则等于()A.B.2C.1D.【知识点六函数奇偶性的应用】例2.函数y（x1）（xa）为偶函数，则a等于（）A.2B.1C.1D.2变式训练例2已知函数为偶函数，则的值是（）A.1B.2C.3D.4第35页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点六函数奇偶性的应用】例3.是定义在上的奇函数,时,则当时,_答案

26、。变式训练例3已知为奇函数，当，则时，等于（）A.B.C.D.【知识点六函数奇偶性的应用】例4.已知定义在等式上的函数的解集为()的图象关于轴对称,且函数在上单调递减,则不A.B.C.D.第36页，共48页学好高中数学，成就美好人生变式训练例4已知偶函数在区间单调增加,则满足的的取值范围是()A.B.C.D.知识点总结一、幂函数的概念1.幂函数的定义：一般地，函数2.幂函数的特征：3.3幂函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。（1）幂函数（2）幂函数（3）幂函数的系数是；的底数是自变量；的指数是常数。二、常见的幂函数图像和性质第37页，共48页学好高中数学，成就美好人生三、一般幂函数的性质（1

27、）所有幂函数在上都有意义，并且图象经过点。（2）时，幂函数的图象经过原点，并且在区间上是增函数。（3）时，幂函数在区间上是减函数，在第一象限内，当从右向左趋近于时，图象在轴右侧无限趋近于轴正半轴，当趋近于时，图象在轴上方无限趋近于轴正半轴。（4）任何幂函数图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限。（5）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点，除何一个点都不是两个幂函数的公共点。第38页，共48页，其他任四、上凸函数与下凸函数（1）上凸函数：设函数学好高中数学，成就美好人生在上有定义，若对于中任意不同的两数，都成立，则称在上是上凸函数。（2）下凸函数：设函数在上有定义，若

28、对于中任意不同的两数，都成立，则称在上是下凸函数。（3）幂函数图象的上凸、下凸：在第一象限内，当时，曲线上凸；当时，曲线下凸；当时，曲线下凸。如图考法突破【知识点一幂函数的概念】例1。已知幂函数，（1）求实数的值；（2）求幂函数的定义域.答案。（1）；第39页，共48页学好高中数学，成就美好人生（2）变式训练例1已知幂函数在上是减函数，则实数_答案。【知识点二幂函数图象及应用】例1。给出下列说法：(1)幂函数的图像都过点；(2)幂函数的图像不可能是一条直线；(3)时，函数的图像是一条直线；(4)幂函数当时，是增函数；(5)幂函数当时，在第一象限内，函数值随值的增大而减少.其中正确说法的序号为_

29、.答案。（5）变式训练例1下列结论中，正确的是（）A.幂函数的图象都通过点B.当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限C.当幂指数时，幂函数是增函数D.当幂指数时，幂函数在其整个定义域上是减函数第40页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点三幂函数的单调性及其应用】例1。幂函数在上单调递增,则的值为()A.B.C.D.或变式训练例1幂函数在上为减函数，则实数的值是_答案。【知识点三幂函数的单调性及其应用】例2.比较下列各组数中两个数的大小.(1)与；(2)与.答案（1）；（2）.第41页，共48页学好高中数学，成就美好人生变式训练例2比较大小：.【知识点三幂函数的单调性及其应用】例3.

30、已知,求实数的取值范围.答案。变式训练例3若，求实数的取值范围.答案。实数的取值范围为.【知识点四幂函数的奇偶性】例1。已知幂函数()的图象关于轴对称，且在(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值答案（1）（2）变式训练例1上是减函数第42页，共48页已知函数（1）求实数的值；学好高中数学，成就美好人生为幂函数，且为奇函数.（2）求函数在上的值域.答案（1）；（2）.【知识点四幂函数的奇偶性】例2，已知,若时,则的取值范围是()A.B.C.D.变式训练例2已知幂函数的图像关于轴对称，且在的的范围是_答案。或上是减函数，则满足第43页，共48页学好高中数学，成就美好人生3.4函数的应用（一）知

31、识点总结几类常见的函数模型1.一次函数模型：为常数，2.二次函数模型：为常数，（注：求解二次函数模型问题时，常利用二次函数的图象或配方法、判别式法、换元法、函数单调性等求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题。）3.对勾函数模型：为常数，对勾函数的图象和性质性质：（1）图象关于原点对称（2）增区间为；减区间为（3）在上有最小值，为在上有最大值，为第44页，共48页学好高中数学，成就美好人生4.分段函数模型：这个模型实质是两种或多种模型的综合，应用十分广泛。考法突破【知识点一利用一次函数模型解决实际问题】例1。甲、乙两车从城出发匀速行驶至城,在整个行驶过程中,甲、乙两车离开城的距离(千米)与甲

32、车行驶的时间(小时)之间的函数关系如图所示,则下列结论:,两城相距千米；乙车出发后小时追上甲车；当甲、乙两车相距千米时,或,或或(单位为小时)其中正确的结论有()A.B.C.D.变式训练例1某商家有一种商品，成本费为元，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，试就的取值说明这种商品是月初售出好，还是月末售出好？第45页，共48页学好高中数学，成就美好人生【知识点二利用二次函数模型解决实际问题】例1。共享单车给市民出行带来了诸多便利,某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析,每辆单车的营运累计收入(单位:元)与营运天数满足.(1)要使营运