2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总-将军饮马问题及其11种变形汇总

1、2020总年中考数学压轴题线段和差最值问题汇-将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题2确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短

2、路径4全局最短路径问题：求图中所有的最短路径涉及知“两点之间线段最短”，“垂线段，“三角形三边关系”，“轴问题原“将军饮马”，“造桥选址”。型】识】最短”对称”平移”出题背景】解题思路】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、“化曲为直”圆、坐标轴、抛物线等题型一：两定一动，偷过敌营。题型二：两定一动，将军饮马。例1：如图，AMEF，BNEF，垂足为M、N，MN12m，AM5m，BN4m，P是EF上任意一点，则PAPB的最小值是m分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A，根据两点之间，线段最短，连接A

3、B，此时APPB即为AB，最短而要求AB，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决解答：作点A关于EF的对称点A，过点A作ACBN的延长线于C易知AMAMNC5m，BC9m，ACMN12m，在RtABC中，AB15m，即PAPB的最小值是15m例2：如图，在等边ABC中，AB=6，ADBC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值解：点C关于直线AD的对称点是点B，连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小，过点B作BHAC于点H，则EH=AHAE=32=1，BH=BC2-CH2=62-32=33在直角BHE中，BE=BH2+HE2=(33)2+12=27对应练习题1如

4、图，在ABC中，AC=BC=2，ACB=90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是。B2.在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是.3如图，点C的坐标为（3，y），当ABC的周长最短时，求y的值。A（3，0）B（2，0）4如图，正方形ABCD的面积是12，ABE是等边三角E在正方形ABCD内，在对角形，点线AC上有一点P，则PD+PE的最小值为题型三：两动一定，无路可逃。例1:P为AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当PMN周长最小时，MPN80（1

5、）AOB。（2）求证：OP平分MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P，关于OB的对称点P，连接PP，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知DPC与AOB互补，则求出DPC的度数即可解答：（1）法1：如图，12100，1P323，2P424，则3450，DPC130，AOB50再分析：考虑到第二小问要证明OP平分MPN，我们就连接OP，则要证56，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP，OP，则57，68，问题迎刃而解解答：（1）法2：易知OPOP，785680，POP100，由对称性知，91

6、1，1012，AOB910502）由OPOP，POP100知，7840，5640，OP平分MPN例2：如图，在五边形ABCDE中，BAE136，BE90，在BC、DE上分别找一点M、N，使得AMN的周长最小时，则AMNANM的度数为分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A、A，连接AA，与BC、DE的交点即为AMN周长最小时M、N的位置解答：如图，BAE136，MAANAA44由对称性知，MAAMAA，NAANAA，AMNANM2MAA2NAA88对应练习题1.如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10，在OA上有一点Q，OB上有一点R。若PQR

7、周长最小，则最小周长是多少？2.如图，AOB=30，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，当PMN的周长最小值为3如图，MON=40，P为MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当PAB的周长取最小值时：（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）求此时APB等于多少度。如果MON=，APB又等于多少度？4.点C为AOB内一点（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE周长的最小值和此时DCE的度数题型四：两定两动，双双落网。例1：已知A（2，4）、B（4，2）C在y轴上，D在x轴

8、上，则四边形ABCD的周长最小值为_此时C、D两点的坐标分别为_题型五：两定一动，造桥选址。例1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMN最B短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）解：如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.理由；另任作桥，连接，.由平移性质可知，.AM+MN+B转N化为，而转化为.在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B因此AM+MN+BN例2:如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长

9、为定值，可以想像把河岸m向下平移与n重合，同时把点A向下平移河宽，此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短，即转化为定点A到定点B的最短路径。如下图：思路是把动线AM平移至AM，AN+BN即转化为求定点A与定点B之间的最路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔，此时须通过平移把动线段AN、BN变为连续路径，也可以把点B向上平移20米与点A连接。例3:如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，ACD的周长最小，并求出这个最小值。解析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧，不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点

10、轨迹的两侧。首先把AC沿直线CD翻折至另一侧，如下图：现在把周长转化为AC+CD+AD，还需解决一个问题：动线段AC与AD之间被定长线段CD阻断，动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理，把AC沿CD方向平移CD的长度即可，如下图。现在已经转化为AD+AD的最短路径问题，属定点到定点即为线段AA的长。AD与AD共线时AD+AD最短对应练习题1.荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？题型六：两定一动，投敌卖国。例1：如图13，抛物线y=ax2bxc（a0的）顶点为（1,4

11、），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）.（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DNMBMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例2：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（3,2），B（1,5）.（1）若

12、点P的坐标为（0,m），当m时,PAB的周长最短；（2）若点C、D的坐标分别为（0,a）、（0,a4），则当a时，四边形ABDC的周长最短.对应练习题1：已知点A（3，4），点B为直线x=1上的动点，设B（1，y）（1）如图1，若点C（x，0）且1x3，BCAC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B的坐标为（1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标题型七：两动一定，突出重围。例1：如图，在ABC中，ABAC5，D

13、为BC中点，AD5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PCPE的最小值分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于ABC是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PCPEPBPE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短但此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有当BEAC时，BE最短求BE时，用面积法即可解答：作BEAC交于点E，交AD于点P，易知ADBC，BD3，BC6，则ADBCBEAC，46BE5，BE4.8例2：如图，BD平分ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB8，ABC的周长为20，求EFCF的最小值动点，分

14、析：这里的点C是定点，F，E是属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于因为点点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题C的对称点C必然在AB上，但由于BC长度未知，BC长度也未知，则C相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点关于BD的对称点解答：如图，作点E关于BD的对称点E，连接EF，则EFCFEFCF，当E，F，点共线时，EFCFEC，此时较短过点C作CEAB于E，当点E与点E重合时，最短，EC为AB边上的高，EC5.EC例3：如图，在锐角ABC中，AB=42，BAC45，BAC的平分线交BCD，于点M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是解：作点B关于AD的对称点B，过点

15、B作BEAB于点E，交AD于点BEF，则线段长就是BM的最小值在等腰RtAEB中，根据勾股定理得到，BE=4例4：如图，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值解：作AB关于AC的对称线段AB，过点B作BNAB，垂足为N，交AC于点M，则BN=MB+MN=MB+MN.BN的长就是MB+MN的最小值，则BAN=2BAC=60，AB=AB=2，ANB=90，B=30。AN=1，在直角ABN中，根据勾股定理BN=3对应练习题1.如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+

16、MN的最小值是八：两动两定，一柱擎天。例1：如图，AOB30，OC5，OD12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CFEFDE的最小值解答：作点C关于OB的对称点C，点D关于OA的对称点D，连接CDCF分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点EFDECFEFDE，当C，F，E，D四点共线时，CFEFDE易知DOCCD最12，OC5，CD13，CFEFDE最小值为1390，OD例2：如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD边1.4m，有一颗红球F紧贴B

17、C边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E，作点F关于CD边的对称点F，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型解答：作点E关于AD边的对称点E，作点F关于CD边的对称点F，连接EF，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EGGHHF长度之和，即EF长，延长EE交BC于N，交AD于M，易知EMEM0.22m，EN1.780.222m，NFNCCF1.40.11.5m，则RtENF中，EF2.5m，即白球运

18、动路线的总长度为2.5m小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”一“定两动”两“定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称对应练习题1如图MON=20，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON上两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是多少？题型九：两定一动，公平公正。题型十：两定一动，一箭双雕。例1：如图

19、，已知ABC为等腰直角三角形，AC=BC=，4BCD=15，P为CD上的动点，则PAPB的最大值是多少？例2：如图，正方形ABCD中，AB=7，M是DC上的一点，且DM=3，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值。对应练习题121.如图，抛物线y4x2x2的顶点为A，与y轴交于点B(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB；(3)当PAPB最大时，求点P的坐标.2.如图，已知直线y21x1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y1xbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B12点坐标为（1，20）（1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称

20、轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标3.如图，直线y3x2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，A经过点B和点O，直线BC交A于点D（1）求点D的坐标；（2）过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标若不存在，请说明理由4.已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC3，BC2，取AB的中点M，连接eqoac(,MC)，把MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到DAO（1）试直接写出点D的坐标；（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，

21、过点P作PQx轴于点Q，连接OP若以O、P、Q为顶点的三角形与DAO相似，试求出点P的坐标；（3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TOTB|的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由题型十一：两定一动，投敌叛国，一箭双雕。例1：直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A（4，-1）、B（3，4）的距离之差最大，则P点的坐标是.例2：已知A、B两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P）在x轴上行驶试确定下列情况下汽车（点P）的位置：1）求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点A、时到2）汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？综合练习

22、题1如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点则PB+PE的最小值是3如图，在锐角ABC中，AB42，BAC45，BAC的平分线交BM+MN的最小值是BC于点D，M、N分别第3上个动点ABCPC4如图，在直角梯形ABCD一中，当90，ADBC，AD4，PD的和最小时，PB的长为2如图，O的半径为2，点A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是5如图，等腰梯形ABCD中，ABADCD1，ABC60，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为6如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是

23、直径MN上一动点，则PAPB的最第5题第6题7已知A（2，3），B（3，1），P点在x轴上，若PAPB长度最小，则最小值为若PAPB长度最大，则最大值为8已知：如图所示，抛物线yx2bxc与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SPABeqoac(,1)的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由9已知A1，1）、B（4，（1）P为（2）P为（3）CD为的坐标；2）PA+PB的最小值和此P点的坐标；点的坐标

24、；求当轴上一动点，求时PAPB的值最大时AC+CD+DB的最小值和此时C点轴上一动点，求PD在C点右边且CD轴上一条动线段，1，10.如图，在边长为2的菱ABCD中，ABC60，若将形AD分别与BC、CD交于ACD绕点点E、F，则CEF的周长的最小值为（）A.2B.23C.23D.4A旋转，当AC、11.如图9，正比例函数y=x的图象与反比y=k0）在第一象限的图象交点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为例函数于A三角形（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.1.点B与点A不重合），且B点的横2212.

25、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标A13.如图10，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，），AOB的面积是（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解.析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点点C的坐标；若不存在，请说C，使AOC的周长最小？若存在，求出321814如图，抛物线y5x25x3和y轴的交点

26、为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长15如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BDBC，交OA于点D将DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、

27、Q（点Q在点P的上方），且PQ1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标16如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短17如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.1218.如图，抛物线y4x2x2的顶点为A，与

28、y轴交于点B（1）求点A、点B的坐标；（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB；（3）当PAPB最大时，求点P的坐标.19如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，3），B（4，1）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，n）,使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m，n_（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由20.已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值21.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆求证：AMBENB；时针旋转60得到BN，

29、连接当M点在何处时，AMCM的值最小；EN、AM、CM当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说（1）明理由；31时，求正方形的边长（2）22.如图四边形ABCD是菱形，且ABC60，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）若菱形ABCD的边长为1，则AMCM的最小值1；AMBENB；S四边形AMBE=S四边形ADCM；连接AN，则ANBE；当AMBMCM的最小值为23时，菱形ABCD的边长为2ABCD23.已知顶点为A（1,5）的抛物线yax2bxc经过点B（5,1）.（1）求抛物线的解析

30、式;（2）如图（1）,设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P（x，y）（x0）是直线yx上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.当PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；在的条件下，记PBR与COD的公共部分的面积为S.求S关于系式，并求S的最大值。x的函数关24.如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为（2，0），tanBAO=2，以线段BC为直径作M交AB于点D，过点B作直线lAC，与抛物线

31、和M的另一个交点分别是E，F（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点C的坐标和线段EF的长；（3）如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点（点P在点Q的右侧，且不与N重合），线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由25.如图，点A（a,1）、B（1,b）都在双曲线y（x0）上，点P、Q分别是x轴、3y轴上x的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（）Cyx2Dyx326.抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点C（1，4），与x轴相交于A（1，0）、B2两点，与y轴相交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，已知点M的坐标是（0，1）在抛物线上找一点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是梯形（写出一个符合条件的点N的坐标即可）；（3）如图2，设过A的直线与抛物线交于点E，与y轴相交于点F，点E的横坐标为2，直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的动点那么x轴上是否存在