2021年中考三轮冲刺复习培优同步练习圆的相关证明与计算

1、培优同步练习：圆的相关证明与计算1如图，已知AB是O的直径，AB4，点C是AB延长线上一点，且BC2，点D是半圆的中点，点P是O上任意一点（1）当PD与AB交于点E且PCCE时，求证：PC与O相切；（2）在（1）的条件下，求PC的长；（3）点P是O上动点，当PD+PC的值最小时，求PC的长解：（1）证明：如图1，点D是半圆的中点，APD45，连接OP，OAOP，OAPOPA，PECOAP+APEOPA+APEAPEOPE+APE2APEOPE90OPE，PCEC，CPEPEC90APE，OPCOPE+CPEOPE+90OPE90，1/55点P在O上，PC是O的切线；（2）解：由（1）知，OPC

2、90，AB4，OPOBAB2，BC2，OCOB+BC4，根据勾股定理得，CP2；（3）解：连接OD，如图2，D是半圆O的中点，BOD90，要使PD+PC的值最小，则连接CD交O于P，即点P在P的位置时，PD+PC最小，由（2）知，OC4，在RtCOD中，ODOB2，根据勾股定理得，CD2，连接BP，AD，则四边形ADPB是O的内接四边形，CBPCDA，BCPDCA，CBPCDA，2/55CP，2如图，已知AB是O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于O点E，连接AE、BE，过点A作AFBC，垂足为F，ABC30（1）求证：AF是O的切线；（2）若BC6

3、，CD3，则DE的长为9；（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值3/55（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OAAOC2ABC60，OAOC，AOC是等边三角形，CAO60，ABOC，OADOAC30，ABC30，ABCOAD，OABF，AFBF，OAAF，4/55AF是O的切线（2）解：，CBDBEC，BCDBCE，BCDECB，EC12，DEECCD1239故答案为9（3）解：结论：，的值不变理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作ANEC交BE的延长线于N，OCAB，CBCA，5/55BHAHAB，ABC30，BHAC

4、BC，AB，CEAN，NCEB30，EANAECABC30，CEAABC30，EANN，NAEC，AEEN，ACEABN，ACEABN，的值不变3如图1所示，以点M（1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与M相切于点H的直线EF交x轴于点E（5，0），交y轴于点F（0，）（1）求M的半径r；（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cosQHC，求的值；（3）如图3所示，点P为M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值6/55解：（1）如图1，连接MH，E（5，0），F（0，），M（1，0），OE5，OF，EM4，在RtOEF中，tanOEF，OEF30，E

5、F是M的切线，EHM90，sinMEHsin30，MHME2，即r2；7/55（2）如图2，连接DQ、CQ，MHQHCQDC，CPHQPD，PCHPQD，由（1）可知，HEM30，EMH60，MCMH2，CMH为等边三角形，CH2，CD是M的直径，CQD90，CD4，在RtCDQ中，cosQHCcosQDC，QDCD3，；（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP2，G（2，0），8/55MGCM1，又PMGEMP，MPGMEP，PGPE，PF+PEPF+PG，当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值FG，在RtOGF中，OG2，OF，FGPF+PE的最小值为4

6、如图，O的直径AB10，弦BC，点P是O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D（1）求tanBPC的值；9/55（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来解：（1）连接AC，AB是O的直径，ACB90，在RtABC中，AB10，BC2AC4，tanBPCtanBAC；（2）的值不会发生变化，理由如下：PCDACB90，1+PCB2+PCB，12，3是圆内接四边形APBC的一个外角，3PAC，10/55CBDCAP

7、，在RtPCD中，tanBPC，；（3）由（2）知BDAP，AP+2BP2（AP+BP）2（BD+BP）2PD，由tanBPC，得：cosBPC，AP+2BPPCAB10，AP+2BP的最大值为105在图1至图3中，O的直径BC30，AC切O于点C，AC40，连接AB交O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB11/55（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；（2）如图2，若射线AP过圆心O，交O于点E，F，求tanF的值；（3）如图3，作DHPB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值解：（1）如图1，连接OP，AC切O于点C，ACBCBC30，AC40，AB50由即解得CD2

8、4，当OPCD时，点P，O的距离最小，此时（2）如图2，连接CE，12/55EF为O的直径，ECF90由（1）知，ACB90，由AO2AC2+OC2，得（AE+15）2402+152，解得ACBECF90，ACEBCFAFC又CAEFAC，ACEAFC，（3）CH的最小值为解：如图3，以BD为直径作G，则G为BD的中点，DG9，DHPB，点H总在G上，GH9，当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，此时，13/55，即CH的最小值为6如图，在RtABC中，C90，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G（1）求证：BC是O的切

9、线；（2）求证：AD2ABAF；（3）若BE8，sinB，求AD的长，解：（1）如图1，连接OD，则OAOD，ODAOAD，AD是BAC的平分线，OADCAD，ODACAD，ODAC，ODBC90，14/55点D在O上，BC是O的切线；（2）如图2，连接OD，DF，EF，AE是O的直径，AFE90C，EFBC，BAEF，AEFADF，BADF，由（1）知，BADDAF，ABDADF，AD2ABAF；（3）如图3，连接OD，由（1）知，ODBC，BDO90，设O的半径为R，则OAODOER，BE8，OBBE+OE8+R，15/55在RtBDO中，sinB，sinB，R5，AE2OE10，ABBE

10、+2OE18，连接EF，由（2）知，AEFB，AFEC90，sinAEFsinB，在RtAFE中，sinAEFAF，由（2）知，AD2ABAF18AD，7如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一16/55点，且BCCD，CEAD于点E（1）求证：直线EC为圆O的切线；（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，求证：PC2PFPA若PC5，PF4，求sinPEF的值证明：（1）CEAD于点E，DEC90，BCCD，C是BD的中点，又O是AB的中点，OC是BDA的中位线，OCAD，OCECED90，OCCE，又点C在圆上，CE是圆O的切线；（2）连接AC，17/55O

11、CCE，ECO90，AB是直径，ACB90ECO，ECAOCB，OCOB，OCBOBCACE，ABFACF，OBCABFACEACF，EBCECF，且EBCCAP，ECFCAP，且CPFCPA，PCFPAC，PC2PFPAAB是直径，点F在圆上，AFBPFE90CEA，EPFEPA，PEFPAE，18/55PE2PFPAPEPC在直角PEF中，sinPEF8如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的M交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为（2，0），CD8（1）求M的半径；（2）动点P在M的圆周上运动如图1，当EP平分AEB时，求PNEP的值；如

12、图2，过点D作M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由解：（1）如图1中，连接CM19/55AMCD，OCOD4，设CMAMr，在RtCMO中，CM2OC2+OM2，r242+（r2）2，解得r5，M的半径为5（2）如图2中，连接AP，BPAB是直径，20/55APBAEB90，PE平分AEP，AEPPEB45，PAPB，AB10，APB90，PAPBAB5，PANAEP45，APNAPE，APNEPA，PNPEPA250如图3中，连接PM，DMDQ是M的切线，DQDM，MDQMOD90，21/55DMOQMD，DMOQMD，DM2MOM

13、Q，MPMD，MP2MOMQ，PMOPMQ，PMOQMP，DM2MOMQ，253MQ，MQ，9如图，已知AB，CD为O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE（1）求证：AEBC；（2）若AE2，求O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积22/55（1）证明：连接BD，AB，CD为O的直径，CBDAEB90，点B恰好为的中点，AC，ABE90A，CDB90C，ABECDB，AEBC；（2）解：过点A作弦AE垂直于直径CD于F，AABE，A30，在RtABE中，cosA，23/55AB4，O的半径为2（3）连接OE，A30，EOB60，EOB是等边三角

14、形，OBOE2，SEOB2，S阴S扇形SEOB10如图，AB为O的直径，CDAB于点G，E是CD上一点，且BEDE，延长EB至点P，连接CP，使PCPE，延长BE与O交于点F，连结BD，FD（1）连结BC，求证：BCDDFB；（2）求证：PC是O的切线；（3）若tanF，AGBG，求ED的值24/55解：（1）证明：因为BEDE，所以FBDCDB，在BCD和DFB中：BCDDFBCDBFBDBDDB所以BCDDFB（AAS）（2）证明：连接OC因为PECEDB+EBD2EDB，COB2EDB，所以COBPEC，因为PEPC，所以PECPCE，所以PCECOB，25/55因为ABCD于G，所以C

15、OB+OCG90，所以OCG+PEC90，即OCP90，所以OCPC，所以PC是圆O的切线（3）因为直径AB弦CD于G，所以BCBD，CGDG，所以BCDBDC，因为FBCD，tanF，所以tanBCD，设BG2x，则CG3x连接AC，则ACB90，由射影定理可知：CG2AGBG，所以AG因为AGBG所以，解得x，所以BG2x所以BC所以BDBC，CG3x2，因为EBDEDBBCD，26/55所以DEBDBC，所以，因为CD2CG4所以DE，11如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，BAO的角平分线交y轴于点D点C为直线l上一点，以AC为直径的G经过点

16、D，且与x轴交于另一点E（1）求出G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为G上的一点，连接AF，且满足FEA45，请求出EF的长？解：（1）连接GD，ECOAB的角平分线交y轴于点D，GADDAO，GDGA，GDAGAD，GDADAO，GDOA，27/55BDGBOA90，GD为半径，y轴是G的切线；A（2，0），B（0，），OA2，OB，在RtAOB中，由勾股定理可得：AB设半径GDr，则BGGDOA，BDGBOA，r，r2（r），r，AC是直径，AECAOB90，ECOB，EC2，AE，OE2，C的坐标为（，2）；28/55（2）过点A作AHEF于H，连接CE、CF，AC是

17、直径，AC2AECAFC90FEA45FCA45在RtAEH中，由勾股定理可知：AFCF，设OEaAE2aCEOBACEABO，CE2，CE2+AE2AC2，22+（2a）2a或a（不合题意，舍去）AE在RtAEH中，由勾股定理可得，AHEH，在RtAEH中，由勾股定理可知：FH2AF2AH2（）2（29/55）22，FH，EFEH+FH12如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，0），点P在AB上，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P，D，B三点作Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连结EF，BF（1）求直线AB的函

18、数解析式；30/55（2）求证：BDEADP；（3）设DEx，DFy请求出y关于x的函数解析式解：（1）设直线AB的函数解析式为ykx+4，将点B（4，0）代入ykx+4，得：4k+40，解得：k1，则直线AB的函数解析式为yx+4；（2）由已知得：OBOC，BODCOD90，又ODOD，BODCOD（SAS），BDOCDO，CDOADP，BDEADP；（3）如图2，连结PE，ADP是DPE的一个外角，ADPDEP+DPE，BDE是ABD的一个外角，BDEABD+OAB，ADPBDE，DEPABD，DPEOAB，31/55OAOB4，AOB90，OAB45，DPE45，DFEDPE45，DF是

19、Q的直径，DEF90，DEF是等腰直角三角形，DF即yDE，x13如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OPm32/55（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形（2）连结PB，求tanBPC的值（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值（4）作点O关于PC的对称点O，在点P的整个运动过程中，当点O落在APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围解：（1）COA90PC是直径，PBC90A（0，4）B（3，4）ABy轴当A与P重合时

20、，OPB90四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）BPCBOCABOCABOBOCBPCBOCABO33/55tanBPCtanABO（3）PC为直径M为PC中点如图2，当OPBM时，延长BM交x轴于点NOPBMBNOC于NONNC，四边形OABN是矩形NCONAB3，BNOA4设M半径为r，则BMCMPMrMNBNBM4rMN2+NC2CM2（4r）2+32r2解得：rMN4M、N分别为PC、OC中点mOP2MN34/55如图3，当OMPB时，BOMPBOPBOPCO，PCOMOCOBMBOMMOCMCO在BOM与COM中BOMCOM（AAS）OCOB5AP4mBP2AP2+AB2（

21、4m）2+32ABOBOCBPC，BAOPBC90ABOBPCPCPC2BP2（4m）2+32又PC2OP2+OC2m2+52（4m）2+32m2+5235/55解得：m或m10（舍去）综上所述，m或m（4）点O与点O关于直线对称POCPOC90，即点O在圆上当O与O重合时，得m0当O落在AB上时，则m24+（4m）2，得m当O与点B重合时，得m0m或m14已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（3，0），C（3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交E于点D，连接OD（1）求证：直线OD是E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交E于点G，连接BG；当tanACF时，求

22、所有F点的坐标（直接写出）；求的最大值，F2（5，0）36/55解：（1）证明：如图1，连接DE，BC为圆的直径，BDC90，BDA90OAOBODOBOAOBDODBEBEDEBDEDBEBD+OBDEDB+ODB即：EBOEDOCBx轴EBO90EDO90点D在E上直线OD为E的切线（2）如图2，当F位于AB上时，过F作F1NAC于N，37/55F1NACANF1ABC90ANFABCAB6，BC8，AC10，即AB：BC：AC6：8：103：4：5设AN3k，则NF14k，AF15kCNCAAN103ktanACF，解得：k即F1（，0）如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2MC

23、A于M，AMF2ABC设AM3k，则MF24k，AF25kCMCA+AM10+3ktanACF解得：AF25k2OF23+25即F2（5，0）38/55故答案为：F1（，0），F2（5，0）方法1：如图4，过G作GHBC于H，CB为直径CGBCBF90CBGCFBBC2CGCF当H为BC中点，即GHBC时，的最大值方法2：设BCG，则sin，cos，sincos（sincos）20，即：sin2+cos22sincossin2+cos21，sincos，即的最大值39/5515如图F为O上的一点，过点F作O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交

24、O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G（1）求证：MFG为等腰三角形（2）若ABMD，求证：FG2EGMF（3）在（2）的条件下，若DF6，tanM，求AG的长40/55（1）证明：连接OFDM是O的切线，DMOF，MFG+OFA90，BMAD，AHG90，OAF+AGH90，OFOA，OFAOAF，MGFAGH，MFGAGF，MFMG，MFG是等腰三角形（2）证明：连接EFABDM，MFAFAB，FABFEG，MFGMGF，FEGMFG，EGFMGF，EGFFGM，41/55FG2EGGM，MFMG，FG2EGMF（3）解：连接OBM+D90，FOD+D90，MFOD，tanMtanFO

25、D，DF6，OF8，DMAB，MABH，tanMtanABH，可以假设AH3k，BH4k，则ABBG5k，GHk，AGk，在RtOHB中，OH2+BH2OB2，（83k）2+（4k）282，解得kAG，42/5516如图，AB是O的直径，弦CDAB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EGAC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EGFG，连接CE（1）求证：ECFGCE；（2）求证：EG是O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若的值，求EM（1）证明：如图1中，ACEG，GACG，43/55ABCD，CEFACD，GCEF，ECFECG，ECFGCE；（2）证明：如图2中，连接

26、OE，GFGE，GFEGEFAFH，OAOE，OAEOEA，AFH+FAH90，GEF+AEO90，GEO90，GEOE，EG是O的切线44/55（3）解：如图3中，连接OC设O的半径为r在RtAHC中，tanACHtanG，AH3HC4，在RtHOC中，OCr，OHr3，HC4，（r3r）2+（4，）2r2，GMAC，CAHM，OEMAHC，AHCMEO，EM17如图，AB为O的直径，CDAB于点E，F是CD上一点，且BFDF，延长FB至点P，连接CP，使PCPF，延长BF与45/55O交于点G，连结BD，GD（1）连结BC，求证：CDGB；（2）求证：PC是O的切线；（3）若tanG，且A

27、EBE，求FD的值解：（1）BFDF，BDFDBF，在BCD与DGB中，BCDDGB（AAS），CDGB；（2）如图1，连接OC，COB2CDB，CFBCDB+DBF2CDB，COBCFB，PCPF，46/55COBCFBPCF，ABCD，COB+OCE90，PCF+OCEPCO90，OCCP，OC是半径，PC是O的切线；（3）如图2，连接AD，AB是O的直径，ADB90，ABCD，BDEAG，tanG，tanA，即AE3DE，同理可得：DE3BE，AEBE3DEDE解得：DE，47/55CD2DE2，BEBD，BCDFDB，BDCFBD，BCDFDB，BCBD，FD18如图，O是ABC的外接圆，AB为O的直径，过点A作AD平分BAC交O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DGAB于点G，连接BD（1）求证：AEDDGB；（2）求证：EF是O的切线；（3）若，OA4，求劣弧的长度（结果保留）（1）证明：AB为O的直径，ACBADB90，BCEF，AEDACB90，48/55AD平分BAC，EADDAB，ADEABD，DGAB，BGDAED90，AEDDGB；（2）证明：连接OD，OAOD，OADADO，DOFOAD+ADO2DAF，EAF2DAF，EAFDOF，AEOD，