2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷和答案

1、2021年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3分）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表：气体氧气氢气氮气氦气液化温253195.8268度183其中液化温度最低的气体是（）A氦气B氮气C氢气D氧气2（3分）如图，在ABC中，B50，直线DE经过点A，DAB50（）A40B50C60D703（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）第1页（共51页）ABCD4（3分）下列计算正确的是（）A3a2+4a27a4C18+12（）45（3分）已知关于x的不等式组BD1a1无实数解，则a的取值范围是（）

2、AaBa2CaDa26（3分）某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，由图中的信息，得出以下3个判断（）该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为3：2：7若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为1080人若从该校初一学生中抽取120人作为样本，调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取30、20、70人A3个B2个C1个D0个7（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）以AB第2页（共51页）为一边在第一象限作正方形ABCD（）Ayx+4Byx+4Cyx+4Dy48（3分）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，根据

3、我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，下面d及的值都正确的是（）AdBdCdDd，8sin22.5，4sin22.5，8sin22.5，4sin22.59（3分）以下四个命题：任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，4，3，2，1场，则由此可知；两个正六边形一定位似；有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小王的捐款数不可能最少，比其他的都少其中真命题的个数有（）A1个B2个C3个第3页（共51页）D4个10（3分）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其

4、图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）（b，a是实数），若0mn2，则ab的取值范围是（）A0abB0abC0abD0ab二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程）11（3分）因式分解：x3y4xy12（3分）正比例函数yk1x与反比例函数y的图象交于A，B两点（，2），则k1+k213（3分）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）（用含的代数式表示），圆心角为度14（3分）动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，则20年后存活

5、的有只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是15（3分）已知菱形ABCD的面积为2，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD上的动点连接AE，则线段PE与PC的和的最小值为，最大值为16（3分）若把第n个位置上的数记为xn，则称x1，x2，x3，xn有限个有序放置的数为一个数列A定义数列A的“伴生数列”B是：y1，y2，y3，yn，其中yn是这个数列中第n个位置上的第4页（共51页）数，n1，2，k且yn并规定x0 xn，xn+1x1如果数列A只有四个数，且x1，x2，x3，x4依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是三、解答题（本大题共8小题，满分72分解答应写出文字说明，证明过程或演算

6、步骤）17（10分）计算求解：1（1）计算（）（2）解方程组）+tan30；18（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BEDF且分别交对角线AC于点E（1）求证：ABECDF；（2）当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状（无需说明理由）（1910分）某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀）进行整理、描述和分析第5页（共51页）大学一年级20名学生的测试成绩为：39，50，39，49，30，49，

7、49，43，43，37，37，43，43，25大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下表所示：年级平均数众数中位数优秀率大一大二a39.5b4443cmn请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：（1）上表中a，b，c，m，n；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；（2）已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过1000人；（3）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，

8、用列举法求两人在同一年级的概率第6页（共51页）（208分）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EFMN综合实践课上（EF与MN之间的距离），已知河对岸EF上有建筑物C、D，且CD60米，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45方向，再沿河岸走20米到达B处，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）21（7分）下面图片是七年级教科书中“实际问题与一元一次方程”的探究3探究3电话计费问题下表中有两种移动电话计费方式月使用费/元主叫限定时主叫超时费/被叫间/min（元/min）方式一方式二58881503500.250.19免费免费考虑下列问题：月使用费固定收：主叫

9、不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费第7页（共51页）（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，决定用函数来解决这个问题（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：x表示问题中的，y表示问题中的并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图

10、象，（并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）第8页（共51页）22（7分）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，A品牌比B品牌便宜12元今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？23（10分）已知AB是O的任意一条直径（1）用图1，求证：O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）已知O

11、的面积为4，直线CD与O相切于点C，过点B作BDCD，如图2求证：BC22BD；改变图2中切点C的位置，使得线段ODBC时，OD2第9页（共51页）24（12分）已知抛物线yax2+kx+h（a0）（1）通过配方可以将其化成顶点式为，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴（填上方或下方），即4ahk20（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；（2）若抛物线上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明，不妨设x1x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可

12、自己画出简单示意图）（3）利用二次函数（1）2）结论，求证：当a0，a+c）a+b+c），（bc）24a（a+b+c）第10页（共51页）答案与卡片一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1参考答案：268253195.8183，其中液化温度最低的气体是氦气故选：A2参考答案：B50，C70，BAC180BC180507060，DAB50，DAB+BAC+EAC180，EAC180DABBAC180506070，故选：D3参考答案：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：B4参考答案：3a2+4a27a4，故选项A错误；当a0时

13、，a，当a0时，2；18+12（）181836；a1（a+1）；故选：D第11页（共51页）5参考答案：解不等式2x38得：x2，解不等式4，关于x的不等式组无实数解，不等式的解集为2a+26，解得：a2，故选：D6参考答案：该校来自城镇的初一学生的扇形的圆心角为：3609060210，该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为90：60：2103：2：6，故正确；若已知该校来自牧区的初一学生为140人，则初一学生总人数为140120120120，故错误；30（人），20（人），70（人），故正确，不符合题意；故选：C7参考答案：过D点作DHx轴于H，如图，点A（3，0），7）OA3，OB4，四

14、边形ABCD为正方形，第12页（共51页）ABAD，BAD90，OBA+OAB90，ABO+DAH90，ABODAH，在ABO和DAH中，ABODAH（AAS），AHOB4，DHOA3，D（7，5），设直线BD的解析式为ykx+b，把D（7，3），4）代入得直线BD的解析式为yx+7故选：A，8参考答案：如图，连接AD，过点O作OPBC于点P，第13页（共51页）则CPPD，且COP22.5，设正八边形的边长为a，则a+2解得a4（1），在eqoac(,Rt)OCP中，OC，d2OC，由d4CD，则32（，8sin22.5故选：C9参考答案：任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分，正确

15、，符合题意；由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，则每个队均与A队赛过，所以E队还没有与B队赛过，是假命题两个正六边形一定相似但不一定位似，故原命题错误，不符合题意；有13人参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，但可能只比最少的多，正确，符合题意，正确的有3个，第14页（共51页）故选：B10参考答案法1、函数是一个二次项系数为1的二次函数，此函数的开口向上，开口大小一定，抛物线与x轴交于两点（m，4），0），a0，b7，ab0，（ab）2a8+b22ab4（ab时取等号），即a2+b23ab（当ab时取等号），当ab时，ab才有可能最大，二次函数过A（0，b），a）两点，

16、点A，B关于抛物线的对称轴对称，抛物线与x轴交于两点（m，0），2），抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，当抛物线与x轴只有一个交点时，此时mn，抛物线的解析式为y（x）2x63x+，ab，ab（）2，7ab故选：C，解法2、二次函数的图象经过（0，a）两点，第15页（共51页）bmn，a（5m）（3n），（abmn（3m）3n）（3mm2）3nn2）（m）2+（n）2+3mn3，0（m）2+，0（n）2+，mn，ab不能取3mn，故选：C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答

17、过程）11参考答案：x3y4xy，xy（x24），xy（x+2）（x3）12参考答案：正比例函数yk1x与反比例函数y的图象交于A，若A点坐标为（2k1，2），k12，k26，k1+k38，故答案为813参考答案：设底面圆的半径为rcm，第16页（共51页）由勾股定理得：r2r2312，根据题意得265，解得n216，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216故答案为：12，21614参考答案：若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，设共有这种动物x只，则活到20岁的只数为2.8x，故现年20岁到这种动物活到25岁的概率为，故答案为：0.8a，15参考答案：根据图形可画出图形，

18、如图所示，过点B作BFAC交AE的延长线于点F，FCAE，EBFACE，点E是BC的中点，ACEFBE（AAS），第17页（共51页）BFAC，AE平分BAC，BAECAE，BAEF，ABBFAC，在菱形ABCD中，ABBC，ABBCeqoac(,AC)，即ABC是等边三角形；ABC60，设ABa，则BD，菱形ABCD的面积ACBD2a2，即ABBCCD2；四边形ABCD是菱形，点A和点C关于BD对称，PE+PCAP+EP，即，当点A，P，E三点共线时，此时AE；点P和点D重合时，PE+PC的值最大，过点D作DGBC交BC的延长线于点G，连接DE，第18页（共51页）ABCD，ABC60，DC

19、G60，CG1，DGEG6，DE，此时PE+PC2+；即线段PE与PC的和的最小值为；最大值为2+故答案为：；2+16参考答案：当n1时，x0 x71x2，y20，当n2时，x8x3，y23，当n3时，x2x5，y30，当n2时，x3x5x6，y41，第19页（共51页）“伴生数列”B是：3，1，0，2，故答案为0，1，5，1三、解答题（本大题共8小题，满分72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17参考答案：（1）原式3（3（43）+138+12；）+（2）原方程整理为，12得：13x3900，解得x300，把x300代入得：y400，方程组的解为18参考答案：（1）证明：四边形ABC

20、D是平行四边形，ABCD，ABCD，BAEDCF，BEDF，BECDFA，180BEC180DFA，AEBCFD，在ABE和CDF中，第20页（共51页），ABECDF（AAS），（2）连接ED，BF，由（eqoac(,1)）知ABECDF，BEDF，BEDF，四边形BEDF是平行四边形，1当四边形ABCD是矩形时，四边形BEDF是平行四边形，2当四边形ABCD是菱形时，四边形ABCD是菱形，ACBD，EFBD，四边形BEDF是菱形19参考答案：（1）将一年级20名同学成绩整理如下表：成绩人数251302377392435494502a41.1，（255+302+374+397+435+494

21、+502）第21页（共51页）c42.3，n（3+5+8+3）20100%65%，故答案为：41.1，43，55%；从表中优秀率看，二年级样本优秀率达到65%高于一年级的55%，所以用优秀率评价，估计二年级学生掌握党史知识较好（2）样本合格率为：92.5%，估计总体的合格率大约为92.5%，估计参加测试的两个年级合格学生约为：124092.51147（人），估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能超过1000人；（3）一年级满分有6人，记为A，B，记为C，D，E，画树状图如图：共有20种等可能的结果，两人在同一年级的结果有8种，两人在同一年级的概率为20参考答案：如图，过C、D分别作CPMN、

22、Q，设河宽为x米由题意知，ACP为等腰直角三角形，第22页（共51页）APCPx（米），BPx20（米），在eqoac(,Rt)BDQ中，BDQ55，tan55xx+40，（tan551）x40，所以河宽为答：河宽为米米21参考答案：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间；方式一：y方式二：y故答案为：主叫时间，计费；（2）大致图象如下：；由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同第23页（共51页）22参考答案：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为（x+12）元/个由题意得：，即，96（x+12）120 x，x48经检验，x48是原分式方程的解且符合题意A

23、足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个设今年购进B足球的个数为a个，则有：50.45050.3a+54a264036a120，最多可购进33个B足球23【解答】（1）证明：如图，设P是O上点A，过点P作PPAB，交O于点P，若M与圆心O不重合，连接OP，OP，在OPP中，OPOP，OPP是等腰三角形，又PPAB，PMMP，第24页（共51页）则AB是PP的垂直平分线，若M与圆心O重合，显然AB是PP的垂直平分线，这就是说，对于圆上任意一点P，因此O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；（2）证明：设O半径为r，由r24可得r2，AB4，连接AC，则BCA90，C是切点，连接OC，OC

24、CD，BDCD，OCBD，OCBDBC，而OCBOBC，第25页（共51页）DBEOBC，又BCABDC90，ACBCDB，BC2ABBD4BD，；证明：由证明可知CBDOBC，与切点C的位置无关，又ODBC，BDOB，又OCB是等腰三角形，BC与OD互相垂直平分，又BDC90，四边形BOCD是边长为2的正方形，24参考答案：（1）yax2+kx+ha（x2+x）+hax）2（）2+ha（x+）5+ha（x+）2+，顶点式为：，当顶点在x轴下方时20（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；第26页（共51页）故答案为：，下方，；（2）若设x1x3且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有

25、以下三种情况：当A，B都在对称轴左侧时，函数值随x的增大而减小，点B在x轴下方，所以抛物线顶点必在x轴下方当A，B都在对称轴右侧时，函数值随x的增大而增大，点A在x轴下方，所以抛物线顶点必在x轴下方当A，B在对称轴两侧时，B分布在x轴两侧，B哪个点在x轴下方，同或如图所示：第27页（共51页）（3）证明：令yax2+（bc）x+（a+b+c），a0，当x20时，y1a+b+c；当x71时，y24（a+c）而（a+c）（a+b+c）0，y1y20，yax2+（bc）x+（a+b+c）上存在两点（3，2a+2c），a+b+c）分别位于x轴两侧，由（1）（2）可知，yax4+（bc）x+（a+b+c

26、）顶点在x轴下方，即，又a0，6a（a+b+c）（bc）20，即：（bc）84a（a+b+c）第28页（共51页）考点卡片1正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“”叫做负数，一个数前面的“+”“”号叫做它的符号2、0既不是正数也不是负数0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数3、用正负数表示两种具有相反意义的量具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量2有理数大小比较（1）有理数的大小比较比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；

27、也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小（2）有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小【规律方法】有理数大小比较的三种方法第29页（共51页）1法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数两个负数比较大小，绝对值大的反而小2数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数3作差比较：若ab0，则ab；若ab0，则ab；若ab0，则ab3数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等平时要注意多观察，留意身边的小知识4

28、实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用【规律方法】实数运算的“三个关键”第30页（共51页）1运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等2运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右

29、依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算3运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度5列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式（2）列代数式五点注意：仔细辨别词义列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义如“除”与“除以”“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分分清数量关系要正确列代数式，只有分清数量之间的关系注意运算顺序列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来规范书写格式列代数时要按要求规范地书写像数

30、字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号注意代数式括号的适当运用正确进行代换列代数式时，有时需将题中的字母代入第31页（共51页）公式，这就要求正确进行代换【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量2要注意书写的规范性用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“”简写作“”或者省略不写3在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数（4含有字母的除法，一般不用“”除号），而是写成分数

31、的形式6合并同类项（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变（3）合并同类项时要注意以下三点：要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变7规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出第32页（共51页）不穷，

32、形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式（2）利用方程解决问题当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程8提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用9分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式（3）分式的混合运算，一般

33、按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的2注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式3注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但第33页（共51页）有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程10负整数指数幂负整数指数幂：ap1ap（a0，p为正整数）注意：a0；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（3）2（3）（2）的错误当底数是分数时，

34、只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数在混合运算中，始终要注意运算的顺序11二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用学习二次根式的混合运算应注意以下几点：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍12解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：从方程组中选一个系数比

35、较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来将变形后的关系式代入另一个方程，消去一第34页（共51页）个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求出x（或y）的值将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值把求得的x、y的值用“”联立起来，就是方程组的解（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得未知数的值将求出的未知数的值代

36、入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示13分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度路程时间；工作量问题：工作效率工作量工作时间等等列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力14一元一次不等式的应用第35页（共51页）（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案（

37、2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：弄清题中数量关系，用字母表示未知数根据题中的不等关系列出不等式解不等式，求出解集写出符合题意的解15解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集

38、方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到16待定系数法求一次函数解析式第36页（共51页）待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设ykx+b；（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数ykx+b，则需要两组x，y的值17一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有

39、不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数3、概括整合（1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键18反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立第37页（共51页）成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点（2）判断正比例函数yk1x和反比例函数y中的交点个数可总

40、结为：在同一直角坐标系当k1与k2同号时，正比例函数yk1x和反比例函数y直角坐标系中有2个交点；当k1与k2异号时，正比例函数yk1x和反比例函数y在同一在同一直角坐标系中有0个交点19二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx+c（a0）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x

41、轴交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；eqoac(,b)24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点20二次函数图象上点的坐标特征第38页（共51页）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（），抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x21二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：yax2+bx+c（a，b，c

42、是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：ya（xh）2+k（a，h，k是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）22抛物线与x轴的交点求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y0，即ax2+bx+c0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标第39页（共51页）（1）二次函数yax2+bx+c（a，b

43、，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c0根之间的关系b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点（2）二次函数的交点式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）23三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0且小于180（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个

44、内角移到一起，组合成一个平角在转化中借助平行线（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角24三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角第40页（共51页）三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对（2）三角形的外角性质：三角形的外角和为360三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三

45、角形中去（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角25全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形26平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等角：平行四边形的对角相等对角线：平行四边形的对角线互相平分（3）平行线间的距离处处相等第41页（共51页）（4）平行四边形的面积：平行四边形

46、的面积等于它的底和这个底上的高的积同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等27菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线（3）菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）28矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，

47、又是中心对称图形它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点第42页（共51页）（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半29正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴30正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆

48、分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆（2）正多边形的有关概念中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距第43页（共51页）31圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长（3）圆锥的侧面积：S2rlrl侧（4）圆锥

49、的全面积：SS+Sr2+rl全底侧（5）圆锥的体积底面积高注意：圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等32圆的综合题圆的综合题33命题与定理1、判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理3、定理是真命题，但真命题不一定是定理4、命题写成“如果，那么”的形式，这时，如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论5、命题的“真”假”是就命题的内容而言任何一个命题非真即假要说明一个命题的正确性，一般需要推

50、理、论证，而判断一个命题是假第44页（共51页）命题，只需举出一个反例即可34轴对称-最短路线问题1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点35特殊角的三角函数值（1）特指30、45、60角的各种三角函数值sin30；cos30；tan30；sin45；cos45；tan451；sin60；cos60；tan60；（2）应用中要

51、熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，第45页（共51页）二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多36解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度（2）解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）根据题目已知特点选用适当

52、锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案37解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决38解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角第4

53、6页（共51页）的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角39简单组合体的三视图（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等40抽样调查的可靠性（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况41用样本估计总体第47页（共51页）用样本估计总体是统计的基本思想1、用样本的频率分布估计总体分布：从