专升本高数第一轮第三章一元函数积分学

1、专升本高数第一轮第三章一元函数积分学本章主要内容3.1 不定积分3.2 不定积分的计算3.3 定积分3.4 定积分的计算3.5 广义积分3.1.1 不定积分的概念3.1.2 不定积分的根本公式和 运算法那么3.1 不定积分微分法:积分法:互逆运算 不定积分的概念定义1 假设在某一区间上，F(x)=f(x) ，那么在这个区间上，函数 F(x) 叫做函数 f(x) 的一个原函数。一、不定积分的定义定理1 假设函数f(x)在某区间上连续，那么f(x)在该区间上的原函数一定存在。定理2 假设函数f(x)有原函数，那么它就有无数多个原函数.定理3 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。关于原函数，

2、先研究三个问题：a.函数f(x)应具备什么条件，才能保证其原函数一定存在？ b.假设函数f(x)有原函数，那么原函数一共有多少个？ c.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？定理1：假设F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的所有原函数都可以表示成F(x)+CC为任意常数。定义2 假设F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的所有原函数F(x)C称为f(x)的不定积分，记为x 称为积分变量f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式其中 称为积分号，C 称为积分常数例1 求以下不定积分(1)(2)解：(2)(3)(3)(1)例2 用微分法验证等式：证明：因为是cos(2x

3、+3)的一个原函数，所以即例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知得曲线簇 y=x2+C,将x=1,y=3代入，得 C=2所以 y=x2+23.1.2 不定积分的根本公式和运算法那么一、不定积分的根本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式。序号12345根本积分表67891011例4求以下不定积分(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)例5 验证解：当x0时，当x0时，所以 关于不定积分，还有如下等式成立：2.1.或或.不为零的常数因子，可移动到积分号前。.两个

4、函数的代数和的积分等于函数积分的代数和k0二、不定积分的运算法那么可推广到有限多个函数之和的情况例6 求解：原式=直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分根本公式直接计算出不定积分的方法。例7 求解：原式例8 求解：原式=例9 求解：原式=说明：以上几例中的被积函数都需要进展恒等变形，才能使用根本积分公式。3.2 不定积分的计算 利用根本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法与分部积分法3.2.1 换元积分法 一、第一类换元积分法凑微分法 有一些不定积分，将积分变量进展一定的变换后，积分表达式由于引进中间变

5、量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由根本积分公式求出不定积分来。例如想到根本积分公式假设令u2x，把2x看成一个整体新的积分变量，这个积分可利用根本积分公式算出来定理1 设f(u)具有原函数F(u) ，u(x)可导 那么有第一类换元积分法第一类换元公式凑微分法那么有换元公式注意 使用此公式的关键在于将第一类换元法又称为凑微分法。例10 求解：原式=例14 求解：说明：正余弦三角函数积分的偶次幂时，一般应先降幂。凑微分常见类型二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用根本积分公式的形式。但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个

6、代换 x(t)，而积分目的：去根号或化为根本积分公式可用根本积分公式求解。定理2 设f(x)连续，x(t)是单调可导的连续函数，且其导数(t)0，x(t)的反函数t=-1(x)存在且可导，并且那么根式代换例19 求解：考虑到被积函数中的根号是困难所在，故令当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令x=tn（其中n为各根指数的最小公倍数）例20 求解：令例21 求解:令那么 原式三角代换小 结注意：三角代换的目的是化掉根式。三角代换常有以下规律可令可令可令小结两类积分换元法：一凑微分二三角代换、根式代换、倒数代换三角代换常有以下规律可令可令可令考虑积分解决思路利用分部积分法问题的提出3.2

7、.2 分部积分法分部积分公式下面利用两个函数乘积的求导法那么，得出求积分的根本方法分部积分法。对此不等式两边求不定积分即分部积分过程：应用分部积分法时，可按下述步骤计算： (凑微：定出) (分部：利用分部积分公式) 积分例25 求积分解:令假设令显然， 选择不当，积分更难进展。假设u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰中选取u和dv是一个关键。选取u和dv一般要考虑下面两点：(1)v要容易求得；(2)要比容易积出例26 求积分解假设被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为u。例27 求积分解:令假设被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u。被积函

8、数类型及u和dv的选取法类型：类型：类型：任意选取3.3 定积分(Definite Integrals)定积分是积分学的一个重要概念，在科学研究和生产实践中应用十分广泛，如平面图形面积、变力所作的功等均可归结为定积分问题。abxyo实例1 (求曲边梯形的面积)一、定积分的概念abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积四个小矩形九个小矩形曲边梯形如下图，近似分割曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限 解决问题的方法步骤：“分割，近似，求和，取极限2、定积分的定义定义1被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和 (2)定积分的

9、值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即注意:(1)定义中区间的分法和 的取法是任意的。 曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值3、定积分的几何意义abxyooyabxO y x一般情况下，定积分 表示曲线y=f(x)与x 轴介于a、b之间的各局部面积的代数和。b y = f(x)a例1 利用定义计算定积分xy01采用“以直代曲的方法解：(1) 分割(2)近似(3)求和(4)取极限小 结.定积分的实质：特殊和式的极限.定积分的思想和方法：求和积零为整取极限精确值定积分化整为零分割直不变代曲变近似对定积分的补充规定:二、定积分的性质性质1性质2(k为常数)补充：不管a,b,c的相对位

10、置如何, 上式总成立。(积分区间的可加性)性质3性质4性质5推论证明：此性质可用于估计积分值的大致范围性质6证明：由闭区间上连续函数的介值定理知，在区间a,b上性质7定积分中值定理至少存在一个点，使假设函数f(x)在闭区间a,b上连续，那么在积分区间a,b上至少存在一点，使积分中值公式积分中值公式的几何解释：3.4 定积分的计算3.4.1 微积分根本定理3.4.3 定积分的分部积分法3.4.2 定积分的换元积分法3.4.4 定积分的应用微积分根本定理 为了得到微积分根本定理，先研究积分上限函数的导数。设函数f(x)在区间a,b上连续，并且设x为a,b上的一点，考察定积分记作积分上限函数一、积分

11、上限函数及其导数是x的函数或称可变上限积分注积分上限函数的性质 定理1 假设 在a,b上连续，那么积分上限函数 在a,b上具有导数，且它的导数是例3 设解：，求二、微积分根本定理微积分根本定理也可叫做牛顿-莱布尼茨公式，它是用求原函数的方法计算定积分的数值。定理 微积分根本公式证明： 假设 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间a,b上的一个原函数，那么令令牛顿莱布尼茨公式微积分根本公式说明：一个连续函数在区间a,b上的定积分可用它的任意一个原函数在区间a,b端点上的值来表示。例6 求 原式解：例7 设 , 求 . 解：例8 求 解：3.微积分根本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数小

12、结由牛顿莱布尼茨公式，定积分的求值问题可以转化为不定积分的问题，但有时运算过程冗长复杂。假设采用定积分换元法，比较简便，下面讨论定积分换元法。 定积分的换元积分法的函数，而只要把新变量积分限也相应的改变。换成新变量把变量(1)用应用换元公式时应注意:时，(2)求出的一个原函数不必象计算不定积分那样再要把原变量限分别代入然后相减就行了。后，变换成的上、下例1 计算解令证明：例5当在上连续，且有为奇函数，那么为偶函数，那么思考：几何意义？几何解释：偶函数 奇函数 奇函数例4 计算解原式偶函数单位圆的面积定积分的分部积分公式推导3.4.3 定积分的分部积分法例1 计算解：令那么例2 计算解：定积分的

13、分部积分公式小 结 在一些实际问题中，常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了因此，我们对定积分作如下两种推广，从而形成“广义积分的概念问题提出3.5 广义积分(improper integral) 问题的提出Introduction)前面遇到的定积分是确定的常数，且在上连续。那么如何计算以下两种类型的积分？是普通的积分，定义4设函数f(x)在区间a,+)内连续，b是a,+)内任一实数，假设极限 存在，那么称此极限值为函数f(x)在区间a,+)内的广义积分，记做并称此时广义积分收敛，否那么，假设 不存在，那么称此时广义积分发散.同样可定义在区间(

14、-,b上的广义积分符号 称为f(x)在区间(-，+)上的广义积分，假设对任意实数c ，广义积分 和 都收敛，那么称广义积分收敛或存在，否那么称为发散例1 计算广义积分这个广义积分值的几何意义是：当a- ,b+ 时，虽然图中阴影局部向左、右无限延伸，但面积却有极限值。简单地说，它是位于曲线 的下方，x 轴上方的图形面积。例2 讨论广义积分 敛散性。3.4.4 定积分的应用 一、微元法在应用定积分解决实际问题时，关键是将实际问题归结为定积分。定积分 的定义导出有四步，先将a,b分成n个小区间，然后在每个小区间上作近似替代 ，再求代数和 ，最后取极限解：两曲线的交点面积元素选 为积分变量例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积。解：两曲线的交点选 为积分变量(2,-2)(8,4)例2 计算由曲线和直线所围成