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文档简介
1、1.1.2 余弦定理例1、在ABC中,若(a - ccos B)sin B=(b -ccosA)sin A,判断ABC的形状。思路一:用余弦定理,将其中的三角函数换成边长之间的关系,然后进行计算,找到边长之间的关系。思路二:用正弦定理,将其中的边换算成正弦函数,找到角之间的关系,然后判断三角形的形状例1、在ABC中,若(a - ccos B)sin B=(b -ccosA)sin A,判断ABC的形状。解:(a - ccos B)sin B=(b -ccosA)sin A, 根据正、余弦定理,得整理得: 或 a=b.故ABC为直角三角形或等腰三角形。例1、在ABC中,若(a - ccos B)
2、sin B=(b -ccosA)sin A,判断ABC的形状。解:(a - ccos B)sin B=(b -ccosA)sin A, 根据正弦定理,得整理得: 故ABC为直角三角形或等腰三角形。1、在ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知 。(1)求 的值;(2)若 ,ABC的周长为5,求b的长。2、在ABC中,若a =2bcosC,则ABC的形状为_。2b=2等腰三角形练一练应用举例例1:如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m, BAC=51,ACB=75.求A、B两点的距离(精确到0.1m).A
3、BC测量距离解:根据正弦定理,得答:A,B两点间的距离为65.7米. 2如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算油泵顶杆BC的长度(如图)已知车厢的最大仰角为60,油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 ,AC长为1.40m,计算BC的长 (1)什么是最大仰角? 最大角度最大角度最大角度最大角度(2)例题中涉及一个怎样的三角形?(3)在ABC中已知什么,要求什么?BACD抽象数学模型 已知ABC的两边AB=1.95,AC=1.40,夹角A= ,求第三边的长。1.95m1.40mCAB 已知ABC的两边AB1.95m,AC1.40m, 夹角A6620,求BC
4、解:由余弦定理,得答:BC长约1.89m。 问题1:什么叫仰角与俯角?仰角:目标视线在水平线上方的叫仰角;俯角:目标视线在水平线下方的叫俯角.测量高度例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法分析:由于建筑物的底部B是不可到达的,所以不能直接测量出建筑物的高.由解直角三角形的知识,只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角,就可以计算出建筑物的高.所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长.解:选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a,测角仪器的高是h.
5、那么,在ACD中,根据正弦定理可得例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB的方法.基线:在测量上,根据需要适当确定的线段叫做基线例4 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角8,求此山的高度CD.分析:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长.根据已知条件,可以计算出BC的长.解:在ABC中,CAB=15, ACB=25-15=10.根据正弦定理,CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为104
6、7米.公路CDAB82515105km例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?CBA327567.510554.0测量角度例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?解:在 ABC中,ABC1807532137,根据余弦定理,由正弦定理得:CBA327567.510554.0DABCcba如何计算三角形面积?同理可得面积计算例8、如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?CAB解:设a=68m,b=88m,c=127mbac1、本节课通过举例说明了解三角形在实际中的一些应用. 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法.2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题
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