专题03 平行四边形、矩形菱形与正方形-2017-2018学年下学期期末复习备考八年级数学之热点

1、2017-2018学年下学期期末复习备考之热点难点突破练(八年级数学苏教版)专题03平行四边形、矩形菱形与正方形【知识梳理】1旋转及其性质：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.旋转前、后的图形全等旋转三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度(小于360)后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等中心对称与中心对称图形：中心对称的性质关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点

2、的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等等平行四边形的概念、性质与判定：平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等.对角线：平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的判定方法：两组对边分

3、别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形矩形的定义与性质：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的性质角：矩形的四个角都是直角；对角线：矩形的对角线相等；由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）矩形的判定方法：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”菱形的性质与判定：（1）菱形的定义：有一组邻边相

4、等的平行四边形叫做菱形（2）菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的判定方法：菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+组邻边相等二菱形）；四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”.正方形的性质与判定：（1）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；（2）正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为

5、直角三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.【例题精讲】考点一、有关平行四边形的角的计算问题例1如图，在口ABCD中，CD边上有一点E,连接AE,BE,ZDAE=12,ZAEB=33。，则ZEBC度数是()A.18B.21。C.33。D.45。【答案】B【解析】试题解析：作EFBC交AB于F,如图所示:丁四边形MCD是平行四边形.EF/BC,.AD/EF眈,:.XAU=ZIAE=12ZBZJ=ZZEC,.ZEEO/EEF=33ABCF=ABPDACPE.VAB=AC,.CF=PD-PE.【结论运用】过点E作EQ丄BC,垂足为Q,如图,图四边形ABCD是矩形，AD=B

6、C,ZC=ZADC=90.AD=8,CF=3,.BF=BC-CF=AD-CF=5.由折叠可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF.DF=5.VZC=90,DC=；J=D=4.EQ丄BC,ZC=ZADC=90,.ZEQC=90=ZC=ZADC,四边形EQCD是矩形，EQ=DC=4.ADBC,AZDEF=ZEFB.VZBEF=ZDEF,.ZBEF=ZEFB,BE=BF.由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ,.PG+PH=4,PG+PH的值为4.点睛：本题主要考查四边形的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和平行线的性质等知识，也考查了用面积法证明几何问题，运用已有的经验解决问题的

7、能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题.考点八、矩形中的动点问题例8如图所示，在梯形ABCD中，ADBC,ZB=90,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动.经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？经过多长时间，四边形PQBA是矩形？【答案】(1)6秒；(2)6.5秒；(3)7秒.【解析】分析：(1)设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可;设经过t

8、s时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；设经过t(s)，四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可.详解：(1)设经过x秒，四边形PQCD为平行四边形即PD=CQ所以24-x=3x，解得：x=6.设经过y秒，四边形PQBA为矩形，即AP=BQ，所以y=26-3y，解得：y=戈.设经过t秒，四边形PQCD是等腰梯形.过P点作PE丄AD,过D点作DF丄BC,.ZQEP=ZDFC=90四边形PQCD是等腰梯形，PQ=DC.AB=FE=DF.在RtAEQP和RtAFCD中,PQ=DCPE二DF/.RtAEQPR-tAFCD(HL)./.EQ=FC/FC=BC-A

9、B=26-24=2.又丁BQ=EC-CQ=更-出EQ=AP-心-(26-3-t)=4t-2C.4t-26=2二经过0PQ=CD.点睛：此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是找出等量关系即可得解.考点九、菱形的有关计算问题例9如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点0,过点0的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E,F.（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长.【答案】（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）由四边形ABCD是菱形，可得ABCD,OA=OC，继而证得A0E9AC0F,则可证得结论.（2）利用平行四边形的判定和性质解

10、答即可.详解：（1）T四边形ABCD是菱形，.AO=CO,ABCD,AZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO.在0人已和4OCF中，ZEAO=ZFCO,A0=C0,ZAE0=ZCF0,.A0E9AC0F,AAE=CF；（2）VE是AB中点，BE=AE=CF.BECF,A四边形BEFC是平行四边形，VAB=2,EF=BC=AB=2.点睛：此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.考点十、菱形的有关证明问题例10如图，已知ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC,过点D作DEAB,DE与AC、AE分别交于点0、点E,联结EC.（1）求证：四边

11、形ADCE是平行四边形；（2）当ZBAC=90。时，求证：四边形ADCE是菱形.【答案】证明见解析【解析】分析：（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可;(2)由ZBAC=90,AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.详解：(1)证明：AEBC,DEAB,四边形ABDE是平行四边形，AE=BD,AD是边BC上的中线，BD=DC，.*.AE=DC，又AEBC,四边形ADCE是平行四边形.(2)证明：ZBAC=90,AD是边BC上的中线.AD=CD四边形ADCE是平行四边形，四边形ADCE是菱形.点睛：本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜

12、边中线定理根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.考点十一、有关正方形的计算问题例11已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(与点A、C不重合)，过点P作PE丄PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC,垂足为点F.当点E落在线段CD上时(如图)，求证：PB=PE；在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述(1)中的结论是否仍然成立(只需写出结论，不需要证明)；在点P的运动过程中，APEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的

13、长，如果不能，试说明理由.EC【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为：；（2）画图见解析，成立；（3）能，1.【解析玲析：（DCD过点F作FG丄EC于过点P作FH丄DC于H,如團I.婪证PB=PEjRS证到PGBAPHE即可连接珈如團2.易证BOF空1%则有BO=PF,只需求出B0的长即可.（3）根將条件即可画出符合萝求的圍形，同理可得中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC上和点E在纟琳殳DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求岀符合要求的AP的长.详解：（1）证明：过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H，如图1.图1四边形ABCD是正方形，PG丄BC

14、，PH丄DC,AZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45.APG=PH，ZGPH=ZPGB=ZPHE=90.PE丄PB即ZBPE=90,AZBPG=90-ZGPE=ZEPH.在厶PGB和APHE中，wPGB=1PH卜:PG=PHBPG=PH.PGB9APHE(ASA)，PB=PE.连接BD，如图2.四边形ABCD是正方形，ZB0P=90.TPE丄PB即ZBPE=90,ZPB0=90-ZBP0=ZEPF.TEF丄PC即ZPFE=90,AZBOP=ZPFE.在厶BOP和APFE中，.BOP=mePB=PE.B0P9APFE(AAS),BO=PF.四边形ABCD是正方形，.0B=0C,ZB0C=

15、90,BC=、OB.BC=1,.OB=:,V.PF=:.点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为(2)当点E落在线段DC的延长线上时，符合要求的图形如图3所示.同理可得：PB=PE,PF=】.(3)若点E在线段DC上，如图1.AD图1VZBPE=ZBCE=90,AZPBC+ZPEC=180.VZPBC90.若厶PEC为等腰三角形，则EP=EC.ZEPC=ZECP=45,.ZPEC=90。，与ZPEC90。矛盾，当点E在线段DC上时，APEC不可能是等腰三角形.若点E在线段DC的延长线上，如图4.若厶PEC是等腰三角形,.ZPCE=135.CPCE,.ZCPE=ZCEP=22.5&.ZAPB=1

16、804-90&-22.=67.54.Zprc=904+Zfbr=904+Zcer,.ZPBR=ZCER=22.5,二ZAEP=6T.矿,.ZABP=ZJiPB.AP=AB=1.-AP的长为1.点睛：本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.考点十二、四边形的综合型问题例12问题发现如图1,点E.F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，ZEAF=45，连接EF、贝yEF=BE+DF，试说明理由；类比引申如图2,在四边形ABC

17、D中,AB=AD,ZBAD=90，点E.F分别在边BC、CD上,ZEAF=45，若ZB，ZD都不是直角，则当ZB与ZD满足等量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）联想拓展如图3,在厶ABC中，ZBAC=90,AB=AC,点D、E均在边BC上,且ZDAE=45，猜想BD、DE、EC满足的等量【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转90至厶ADG，可使AB与AD重合，证出AFGAFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；把厶ABE绕点A逆时针旋转90至厶ADG，可使AB与AD重合，证出AFEAAFG，根据全等三角形的性质

18、得出EF=FG，即可得出答案；把厶ACE旋转到ABF的位置，连接DF,证明AFEAAFG(SAS),贝EF=FG，ZC=ZABF=45，BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断.圏1/AB=AD,二把AABE绕点A逆时针旋转沁至AABG,可使AB与AD重合，如團1,/Zadc=Zb=90.ZFDG=10O点FD.G共线则ZDAG=ZBJiE,AE=AG,ZFAG=ZFAD+ZGAD=ZFJir+ZBAE=900-450=45。二上EAF,即Zeaf/fg；在AEAF和AGAF中，AF=AF，ZEAF=ZGAF，AE=AG，.AFG9AAFE(SAS),.EF=FG=BE+DF；(2)ZB+

19、ZD=180。时，EF=BE+DF；VAB=AD，.把厶ABE绕点A逆时针旋转90。至厶ADG，可使AB与AD重合，如图2,:nbai90NEAFH451.NBAE+NDAFH451:NEAFUNFAP.NADC+NBU18CK.NFDGU18CKlnrFpGB.mAAFE昔頁#jaehnfaehkfa9af=afaafe唸aafg(m巴&讦3LH-益?“K卑K旨CUIBF(3)BD2+CE2HDE2,輻&和”苗AACExw=ABFsert7Fm=NFABUNCAE.NBACH9CKNDAEH451.NBAD+NCAEH451h-:nfabhncae.NFAINDAEH45r则在ADF和AAD

20、E中,AD=AD,ZFAD=ZDAE,AF=AE,.ADF9AADE,.DF=DE,ZC=ZABF=45。，.ZBDF=90。，BDF是直角三角形，.BD2+BF2二DF2,BD2+CE2二DE2.【达标测试】20172018学年第二学期期末复习备考中心对称图形一一平行四边形单元测试满分120分；考试时间：60分钟一、单选题（本题共12小题，每题3分，满分36分）如图，DABCD的周长是28cm,AABC的周长是22cm，则AC的长为（）R吃6cmB.12cmC.4cmD.8cm【答案】D【解析/-ABCD的周长是28；AB十.AABC的周长是22cm?.AB+BC+AC=22cjil,.AC

21、=（AB+BC+-AC）-（AB+AC）=22-14=Scm,故选：D-如图，平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,DC的中点，贝惬中共有平行四边形的个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】解；T四边形歸爼是平行四边形血炉防.丁&尸分别朋，皿的中点，二砖铮on,：.四边形血呵是平行四边形，四边形跑是平行四边形，四边形出期是平行四边形二平行四边形的个数共有4个故选BAMTOC o 1-5 h z如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则叮门等于（）.VD3234A.匕B.二C.5D.5【答案】C【解析】试题解析：

22、四边形MBND是菱形,MD=MB.四边形ABCD是矩形，ZA=90.设AB=x，AM=y，则MB=2x-y,（x、y均为正数）.在RtAABM中，AB2+AM2二BM2,即x2+y2=（2x-y）2，4解得x=：y,5.MD二MB=2x-y=y,AMy3WD_5y_5-.故选C.如图，在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点0,ZA0B=60,AC=6cm,则AB的长是（）A.3cmB.6cmC.10cmD.12cm【答案】A【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得0A=OB=OD=OC,由ZA0B=60。，判断出厶AOB是等边三角形,根据等边三角形的性质即可求出AB的长.解：四边形ABC

23、D是矩形，0A=0C=0B=0D=3,VZA0B=60,AOB是等边三角形，AB=OA=3,故选A.已知等腰三角形的两条中位线长分别为3和5,则此等腰三角形的周长为（）A.22B.26C.22或26D.23【答案】C【解析】当与底边平行的中位线长为3时，底边长为6,腰长为10,三角形的周长为26；当与底边平行的中位线长为5时，底边长为10，腰长为6,三角形的周长为22,故选C.如图，已知四边形ABCD形状大小确定,R、P分别是BC、CD上的点,E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减小C.线段E

24、F的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关【答案】C【解析】如图所示：连接AR,因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变.故选：C.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点0,下列结论中不正确的是当AB=BC时，四边形ABCD是菱形当AC丄BD时，四边形ABCD是菱形当0A=0B时，四边形ABCD是矩形当ZABD=ZCBD时，四边形ABCD是矩形【答案】D.【解析】试题解析：职根据邻边相等的平行四边形是菱形可臥得到该结论正确,艮根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确FJ根

25、据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；风不能得到一个角是直角，故错误，故选D.考点：1.矩形的判定；2平行四边形的性质；3菱形的判定.平面直角坐标系中，已知ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,1)，C(m,n),则点D的坐标是()A.(2，l)B.(2，l)C.(1，2)D.(1，2)【答案】A【解析】试题分析：平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点对称，故B、D也关于原点对称，菱形的对角线互相垂直平分，：D(2,1).故选A.考点：菱形的性质；坐标与图形性质.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F,过

26、F作FH丄AE于H,过H作GH丄BD于G,下列有四个结论：AF=FH，ZHAE=45,BD=2FG,厶CEH的周长为定值，其中正确的结论A.B.C.D.【答案】D【解析】（1）如图1,连接FC，延长HF交AD于点L,在正方形ABCD中，ZADF=ZCDF=45,AD=CD,DF=DF,.ADF9ACDF,.FC=AF,ZECF=ZDAF,VZALH+ZLAF=90,.ZLHC+ZDAF=90,VZECF=ZDAF,.ZFHC=ZFCH,.FH=FC,.FH=AF；如图1,VFH丄AE,FH=AF,.ZHAE=45；如图2,连接AC交BD于点0,则由正方形的性质可得：BD=20A,HF丄AE,H

27、G丄BD,.ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,ZAFO=ZGHF.VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90,A0F9AFGH.OA=GF.BD=20A,.BD=2FG；延长AD至点M,使AD=DM,过点C作CIHL，则:LI=HC,.ZIMC=ZECM=45,由已知条件可得：ZDEM=ZDEA=ZFHC=ZDIC，由此可得ZMEC=ZCIM,又.MC=CM,.CE=IM,同理，可得：AL=HE,HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.CEH的周长为8,为定值.故(1)(2)(3)(4)结论都正确.如图，AABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC,点G是AB边上一点，点H在

28、厶ABC内4部,BDGH，且BD=GH则图中阴影部分的面积是(C.5D.6【答案】B【解析】试题分析；iSAABC底边BC上的高为hAAGH底边GH上的高为11；、ACOI底边領上的高为山11111则有h=h：+h所以.S巫円*+汇：三=丄GH-111+丄GH-ln=-鈕Ch+hJ=-GH-h因为四边1212形BDHG是平行四边形，且BD=4BC,可得GH=BD=4BC,所以S=4X(-BCh)=4日.考点：三角形的面积公式；平行四边形的性质.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于0点，在BD上截取BE=BC，连接CE,点P是CE上任意若正方形ABCD的边长为1,则PM+PN=(A.1B

29、.二C.-D.1+二【答案】C【解析】如图，连接BP，过点E作EF丄BC于点F,.PM丄BD于M,PN丄BC于N,111.S二EFBC=S+S=_BEPM+_BCPN,EBC=ABPEABPC.PM+PN=EF,在ABEF中，ZEBC=45,ZEFB=90,BE=BC=1,.PM+PN=1.故选C.FAZc点睛：本题的解题要点是，连接BP,过点E作EF丄BC于点F,通过面积法证明到PM+PN=EF,这样结合已知条件就把问题转化成在等腰直角BEF中由已知斜边BE的长求直角边EF的长了.如图，在平面直角坐标系中，以A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平

30、行四边形顶点坐标的是()A.(3,1)B.(-4,1)C.(1,-1)D.(-3,1)【答案】B【解析】如图所示：mi以AC为对角线，可以画出口AFCB,F(-3,1)；以AB为对角线，可以画出口ACBE,E(1,-1)；以BC为对角线，可以画出口ACDB，D(3，1)，故选B.二、填空题(本题共7小题，每题3分，满分21分)如图，在口ABCD中，BE丄AB交对角线AC于点E，若Zl=20。，则Z2的度数为_.【答案】110.【解析】根据平行四边形的性质可得ABCD，根据平行线的性质可得Z1=ZCAB=20，因BE丄AB，可得ZEBA=90。，所以Z2=ZEBA+ZCAB=90+20=110.

31、【答案】2J3如图，在矩形ABCD中，BC=2AB.以点B为圆心，BC长为半径作弧交AD于点E，连接BE.若AB=1，则DE的长为.D【解析】试题解析：四边形ABCD是矩形，BC=2AB，AB=1，AD=BC=2,ZA=90，BE=BC=2,AE=BE2AB2=12=耳3,故答案为：2一：3如图，四边形ABCD是菱形，AC=24,BD=10,DH丄AB于点H,则线段BH的长为.【答案】【解析】解:T四边AECD是菱开爲丿匚囂，10,.AO=-12?Q圧皐M丄丧孔二3=血=屈+=13,120：曲_屈,：.AOX年。那.盟$.-.12X10=13X.砖13如图，以长方形0ABC的顶点0为原点，0A

32、所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知0A=3,0C=2,点E是AB的中点，在0A上取一点。，将4BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为.【答案】（0，4），（0，0）.【解析】试题分析：连接EF，.0A=3,0C=2,AB=2,：点E是AB的中点，ABE=1，VBF=AB，ACF=BE=1，VFE=FP,RtAFCP9RtAFBE,PC=BF=2,P点坐标为（0,4）或（0,0）,即图中的点P和点P.故答案为:(0,4),(0,0).I1CsEJJJrezoDA:考点：1.正方形的性质；2.坐标与图形性质；3

33、.全等三角形的判定与性质.如图，在ABCD中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至ADE处，AD与CE交于点F.若ZB=52,【答案】36【解析】试题分析：四边形ABCD是平行四边形,.*.ZD=ZB=52,由折叠的性质得：ZD=ZD=52,ZEAD=ZDAE=20,.ZAEF=ZD+ZDAE=52+2O=72,ZAED=180-ZEAD-ZD=108,.ZFED=10872=36；故答案为：36.点睛：本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出ZAEF和ZAED是解决问题的关键.如图，DABCD中，AC=8,BD

34、=6,AD=a，则a的取值范围是.【答案】1VaV7.【解析】平行四边形ABCD,0A=0C=4,OB=OD=3,.1VaV7.故答案为1aV7.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB,AD1于点M,N；分别以M,N为圆心，以大于-MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；作AP射线，交边CD【答案】15.【解析】试题解析：由题意可知，AQ是ZDAB的平分线,ZDAQ=ZBAQ.四边形ABCD是平行四边形，.CDAB,BC=AD=3,ZBAQ=ZDQA,.ZDAQ=ZDAQ,AQD是等腰三角形，.*.DQ=AD=3.DQ=2QC,13QC=2dQ=2,

35、3l)CD=DQ+CQ=3+-=-平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2XC:+3）=15.故答案为：15.三、解答题（共7小题，满分63分）（8分）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.（写出一种即可）关系：ADBC,AB=CD,ZA二ZC,ZB+ZC=180.已知：在四边形ABCD中，,；求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】已知：（或或或），证明见解析.【解析】试题分析：根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明.其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；解法二是证明两组对边平行的四边形是平行

36、四边形；解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形.试题解析：已知：，均可，其余均不可以.解法一：已知：在四边形AECD中，AD/BC,ZA=ZC?求证：四边形AECD是平行四边形.证明：/AB/BC,.ZA+ZB=180,ZC+ZD=180.Za=Zc.Zb=Zd.二四边形証cd是平行四边形.解法二：已知：在四边形ABCD中，ADBC，ZB+ZC=180,求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：ZB+ZC=180,.ABCD,又ADBC,四边形ABCD是平行四边形；解法三：已知：在四边形ABCD中，AB=CD，ZB+ZC=180,求证：四

37、边形ABCD是平行四边形.证明：ZB+ZC=180,.ABCD,又AB=CD,四边形ABCD是平行四边形；解法四：已知：在四边形ABCD中，ZA=ZC,ZB+ZC=180,求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：ZB+ZC=180,.ABCD,/.ZA+ZD=180,又VZA=ZC,AZB=ZD,四边形ABCD是平行四边形.考点：平行四边形的判定.(9分)如图，已知ABC,直线PQ垂直平分AC,与边AB交于E,连接CE,过点C作CF平行于BA交PQ于点F,连接AF.求证：AEDACFD；求证：四边形AECF是菱形.若AD=3,AE=5,则菱形AECF的面积是多少？【答案】(1)证明见解析；(2

38、)证明见解析；(3)24【解析】试题分析；(1)由作图知；FQ为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE,ADFD,由CF”期得到Zeac=Zfca,Zcfd=Zjied/利用A弘证得AAED空CFD;(2)由厶AEDACFD,得到AENF,由EF为线段A2的垂直平分线，得到EC=EA,FT二F山从而有EC二E卫二FC二FA,利用四边相等的四边形是菱形利足四边形AECF为菱形；在RtAADE中由勾股定理得到ED=4;故EW8,址电从而得到菱形AECF的面积.试题解析：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，AE=CE,AD=CD,TCFAB,ZEAC=ZFCA,ZCFD=ZAED，在AED与厶

39、CFD中，TZEAClZFCA,AD=CD,ZCFD=ZAED,AAEDCFD；VAEDCFD,AAE=CF,VEF为线段AC的垂直平分线，EC=EA,FC=FA,AEC=EA=FC=FA,A四边形AECF为菱形；在RtAADE中，.AD=3,AE=5,ED=4,EF=8,AC=6,S=8X6三2=24,菱形AECF的面积菱形AECF是24.考点：1.菱形的判定；2全等三角形的判定与性质；3.线段垂直平分线的性质.(9分)如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F,连结BE.如果，求证：ZAFD=ZEBC；如图，若DE=EC且BE丄AF，求ZDAB的度

40、数；若ZDAB=90且当BEF为等腰三角形时，求ZEFB的度数(只写出条件与对应的结果)【答案】(1)干劲儿目前并解析；(2)60；(3)30或120.【解析】试题分析：(1)直接利用全等三角形的判定方法得出厶DCEABCE(SAS),即可得出答案；利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出ZDAB的度数；利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出当F在AB延长线上时，以及当F在线段AB上时,分别求出即可.试题解析：(1)T四边形ABCD为菱形，.DC=CB,在。已和厶BCE中，DC=CBZDCE=ZBCEEC=EC.DCE9ABCE(SAS),.ZEDC=ZEBC，.DCAB,.ZEDC=ZAFD

41、，.ZAFD=ZEBC；(2)VDE=EC，.ZEDC=ZECD，设ZEDC=ZECD=ZCBE=x，则ZCBF=2x，由BE丄AF得：2x+x=90,解得：x=30.ZDAB=ZCBF=60（3）分两种情况：如图1,当F在AB延长线上时,TZEBF为钝角，只能是BE=BF，设ZBEF=ZBFE=x,可通过三角形内角形为180得：90+x+x+x=180,解得：x=30,.ZEFB=30；如图2,当F在线段AB上时，ZZEFB为钝角，只能是FE=FB，设ZBEF=ZEBF=x，则有ZAFD=2x,可证得：ZAFD=ZFDC=ZCBE,得x+2x=90,解得：x=30,.ZEFB=120,综上：

42、ZEFB=30或120.考点：四边形综合题.（9分）如图，点0是4ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、0C、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.A（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，0M=3,Z0BC和ZOCB互余，求DG的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】试题分折：根擔三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF/BC且EFBC,丄DG/BC且D&4EG从而得到DE=EF,DG/EF,再制用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可先判断岀ZEOCO,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可.

43、试题解析：（1）TD、G分别是AB、AC的中点，DGBC,DG=：BC,TE、F分别是OB、OC的中点，：EFBC,1EF=BC,DE=EF,DGEF,四边形DEFG是平行四边形；（2）VZOBC和ZOCB互余，ZOBC+ZOCB=9O,ZBOC=9O,TM为EF的中点，OM=3,EF=2OM=6.由（1）有四边形DEFG是平行四边形，DG=EF=6.考点：平行四边形的判定与性质.（9分）如图，ABC和厶ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F,且BF=DC，连接EF、EB.(1)求证：ABE9AACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】证明：ABC和厶ADE都是等边三角形,.AE=AD,AB=AC,ZEAD=ZBAC=60.ZEADZBAD=ZBACZBAD即：ZEAB=ZDAC.ABE9AAC