最全面地解三角形讲义

1、标准文案解三角形【高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程.2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题.基础梳理abc正弦定理：=、=2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变sinAsinBsinC形为：a:b:c=sinA：sinB:sinC;a=2Rsin_A，b=2Rsin_旦c=2Rsin_C；abcsinA=2RsinB=乐，sinC=等形式，以解决不同的三角形问题.余弦定理：a2=b2+c22bccos_A,b2=a2+c22accos_B,c2=a2+b22abc

2、os_C.余弦定.22222.22.22b+caa+cba+bc理可以变形为：cosA=一一,cosB=,cosC=一才l.2bc2ac2ab111abc1面积公式：&ab=qabsinC=qbcsinA=gacsinB=4R=2(a+b+c)r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R,r.已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知a,b,A,贝UA为锐角A为钝角或直角17图形Aczta矿足ABAB关系式absinAa=bsinAbsinAababacb)的两根之差的平方等于ABC的面积S=103,c=7.求角C;求a,b的值.在厶ABC中，角A、B、C

3、的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=.7，且4sin2B-cos2C=7.22求角C的大小；(2)求厶ABC的面积.A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m，ZACB=45。，/CAB=105后,就可以计算出A，B两点的距离为(A.502m.25_2mD.(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在从A处望B处的仰角为a，从B处望A处的俯角为卩，则a,卩的关系为（）.A.a3B.a=3C.a+=90D.a+卩=180若点A在点C的北偏东30,点B在点C的南偏东60,且ACBC则点A在点B的（）.A.北偏东15B.北偏西15C.北偏东10D.北偏西10一船

4、向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度是每小时（）.A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里18.海上有A,B,C三个小岛，测得A,B两岛相距10海里，/BAO60,/ABO75，则B,C间的距离是海里.19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里.问：乙船每小时

5、航行多少海里？参考答案例题答案题型一正弦、余弦定理【例题1】解/B=45v90且asinBvbva,ABC有两解.由正弦定理得sinA=B-45-山b则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,bsinC_2sin75_2sin(4530)_.6.2c=sinBsin45sin452当A=120时，C=180-(A+B)=15,bsinC_.2sin15_2sin(45_30)_、_6-.2c=sinBsin45sin45故在ABC中,A=60,C=75,c=A=120,C=15,c=6-、22【例题2】解(1)由余弦定理知:cosB=22.2ac-b2ac2.2cosC=

6、aby2ab将上式代入吨cosCa2+c2-b22ab2aca2加2_c2整理得:a2+c2-b2=-ac22.2cosB=a_=旦2ac2acb2acB为三角形的内角，二B=23Q(2)将b=-13,a+c=4,B=代入322222b=a+c-2accosB,得b=(a+c)-2ac-2accosB2f1b=16-2ac1-，.ac=3.I2丿Saabc=丄acsinB=.24【例题3】解（1）TcosA=亡_二=主=-丄22bc2bc又A(0,180),A=120.(2)由a=-.3,得b+c=3-bc,又b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号)，3-bc2bc(当且仅当c=b时取等号)

7、.即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.(3)由正弦定理得：bc2R,sinAsinBsinC.asin(30_C)2RsinAsin(30_C)b_c2RsinB_2RsinC一3/13.(cosCsinC)=sinAsin(30-C)=222sinB-sinC HYPERLINK l bookmark10 o Current Document .33.sin(60_C)-sinCcosCsinC)1二44=2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document _332cosCsinC22【变式】1.,22.解(1)由正弦定理得sinA/B=60,C=

8、75,A=45,&=asinB_8Xsin60=4话sinAsin455、由正弦定理得sinC=csnBbbsinB=1.4又30vCv150,C=90.A=180-(B+C)=60,a=Jc2_b2=4V3.10,3解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,222由余弦定理知，a+b-c=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sinCeosC=4cos2化简得：tan从而2C=2.22tanC2tanC=+2C1-tan-25.-37.解6.二或兰33(1)由余弦定理及已知条件，得22a+b-ab=4.又因为ABC的面积等于3，

9、I所以-absinC=3，所以ab=4.2联立方程组22a+bab=4,解得/ab=4,=2=2(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时，A=，B=，a=U，b=.2633b=2a,联立方程组22a-+b_ab=4,b=2a,2.3当cosA工0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得所以ABC的面积S=1absinC=L2.23题型二判断三角形形状【例题】解方法一已知等式可化为(A+B)-sin(A-B)22asin(A-B)-sin(A+B)=b-sin222acosAsinB=2bcosBsinA由正弦

10、定理可知上式可化为：22sinAcosAsinB=sinBcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin2B,由0v2A,2Bv2二得2A=2B或2A=：-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.2方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理，可得2.b2ca2.2a2cb2ab=ba2bc2aca2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.【变式】解方法一J2cos2B-8cosB+5=0,22(2cosB-

11、1)-8cosB+5=0.24cosB-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.31解得cosB=-或cosB=-(舍去).cosB=-.22/0vBv二,B=.3Ta,b,c成等差数列，a+c=2b.2cosB=2ac1化简得a2+c2-2ac=0,22,aC2=a飞一(丁)2ac解得a=c.又b=,ABC是等边三角形3方法二/2cos2B-8cosB+5=0,22(2cosB-1)-8cosB+5=0.24cosB-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=-或cosB=-(舍去)22cosB=1,TOvBv-,B=_,23Ta,

12、b,c成等差数列，a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=3.3sinA+sin_A=,3,2笄2TTI-sinA+sincosA-cossinA=.3.33化简得卜皿+宁孙.3sin.A+二=二62A=,3C=,ABC为等边三角形3题型三测量距离问题【例题】解在厶ACD中，已知CD=a,ZACD=60,/ADC=60，所以AC=a.v/BC30,/BDC=105/CBD=45在厶BCD中，由正弦定理可得BC=asin105sin45a.在厶ABC中，已经求得AC和BC又因为/ACB=30。，所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为AB=AC+BC2AC-BC

13、-cos30=a.【变式】解在厶ACD中,/DAC=30，/ADC=60/DAC=30，所以CD=AC=0.1km.又/BCD=1806060=60。，故CB是ACAD底边AD的中垂线，所以BD=BA又t/AB=15,ABAC在ABC中，sin/bcasin/ABC所以AB=AGin60sin153；2+620(km),同理，BD=3蔦、6(km)故BD的距离为3;2+.、620km.题型四测量高度问题【例题】解如图，设CD=xm,贝UAE=x20m,tan60CD丽(m)在厶AEC中,x-20=#解得x=10(3+3)m.故山高CD为10(3+3)m.【变式】解在厶BCD中,ZCB=n-a卩

14、，BCcd由正弦定理得sinZBDCsinZCBD所以bc=CDZCBD亠嗒sinZCBDsina+S亠二stan0sinS在RtABC中,AB=BCanZAC=sina+J题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】解在厶ABC中,AB=5,AC=9,ZBCA=30.ABAC由正弦疋理得sinzACBsinZABCABAC-sinZBCA9sin30sinZABC=ABC/AD/BC/BAD=1809是sinZBAGsinZABC=兀同理，在ABD中,AB=5,sin/9ZBAD=W，ZADB=45，由正弦定理:ABBDsinZBDAsinZBAD解得BD=乎.故BD的长为【变式】解在厶

15、ADC中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos/ADGAD盏CC1002：；6：；96=2二/ADC=120,./ADB=60.2X10X62/ADB=60,在厶ABD中,AD=10,/B=45,ABAD由正弦定理得前/adB矿.ab=ADsin/ADBsin10sin60sin4510 xf=562巩固训练1.8.10.3;3.5-.3或2,3;9.(1)证明因为a2=b(b+c),等腰；2.45;4.3；;35.60;6.45或135;7.乞;6即a2=b2+bc.所以在ABC中，由余弦定理可得a2七2-b2_c2加c_b十c2accosB=2ac2aa23365a=sin

16、A2ab2b2sinB所以sinA=sin2B,故A=2B.(2)解因为a=.3b,所以由a2=b(b+c)可得c=2b,TOC o 1-5 h zcosB=，J“24b2-b2=3,2ac2所以B=30,A=2B=60,C=90.所以ABC为直角三角形.512解(1)由cosB=,得sinB=,1313由cosC=-,得sinC=-.55所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=(2)由Saabc=,得丄xABXACxsinA=33.222由(1)知sinA=33,故ABXAC=65.65又ac=ABsinB=20AB,sinC13故20AE2=65,AB=13.1

17、32所以bC=ABsinA=sinC2x-b=0的两根，解(1)设xi、X2为方程ax2-2c2_b2贝UX1+X2=2c_-b,X1X2=-b.4(c2b2aM=4.aa22/(x1-x2)=(x1+X2)-4x1X2=2,22,a+b-c=ab.222又cosC=ab乂=壬1,2ab2ab2又:C(0,180),C=60.(2)S=-absinC=103，ab=402由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,22即c=(a+b)-2ab(1+cos60).72=(a+b)2-2X40X1+1I2丿a+b=13.又ab由，得a=8,b=5.解(1)vA+B+C=180,由4sin2A_B-

18、cos2C=7,22TOC o 1-5 h z2c7得4coscos2C=，22.4.1cosC-(2cos2C-1)=7,2221整理，得4cosC-4cosC+仁0,解得cosC=-,20vCv180,C=60.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,222即7=a+b-ab,7=(a+b)-3ab,由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,Sabc=丄absinC=-X6X=.2222abac14-解析由正弦定理得EACeTsnCB，又一B=30ab=AC-sin/ACBsinB50X#=502(m)答案解析根据仰角与俯角的定义易知a=3-答案B解析如图.答案B17.解析如图所示，依题意有/BAC=60,/BAD=75，所以/CAD=ZCDAf15，从而CD=CA=10（海里）,在RtABC中，得AB=5（海里），于