1.-积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

1、第十五章 积分方程积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科(例如偏微分方程边值 问题)和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆 积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外， 还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线 性积分方程。1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一 . 积分方程一般概念1. 积分方程的定义与分类线形积分方程 在积分号下包含未知函数 y(x)的方程bx y x F xK (x, ) y( )d(1)a称为积分方程。式中(x),F(x)和 K(x,)是已知

2、函数， ,a,b是常数，变量 x和可取区间 (a,b) 内的一切值； K(x,)称为积分方程的核， F(x)称为自由项，称为方程的参数。如果 K(x,) 关于 x,是对称函数，就称方程 (1) 是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次 的，就称为线性积分方程，方程 (1) 就是线性积分方程的一般形式；如果 F(x)0 ，就称方程 (1)为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。一维弗雷德霍姆积分方程( Fr 方程) 第一类 Fr 方程bK(x, ) y( a)dF(x)第二类 Fr 方程y(x) F(x)ba K(x, a) y( ) d第三类 Fr 方程( x) y( x) F(x)

3、bK(x, a)y( )dn 维弗雷德霍姆积分方程(P) y(P) F (P)K(P,P1)y(P1)dP1称为 n维弗雷德霍姆积分方程，式中 D 是 n维空间中的区域， P,P1 D，它们的坐标分别是 (x1,x2, ,xn)和(x1,x2, ,xn) , (P)= (x1,x2, ,xn),F(P)=F(x1,x2, xn)和 K(P,P1)=K(x1,x2, ,xn, x1,x2, ,xn) 是已知函数， f(P)是未知函数。关于 Fr 方程的解法，一维和 n(1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑 一维 Fr 方程。沃尔泰拉积分方程 如果积分上限 b 改成变动上限，上面三类

4、 Fr 方程分别称为第一、 第二、第三类沃尔泰拉积分方程。由于第三类 Fr 方程当 (x)在(a,b)内是正函数时，可以化成F (x)b K ( x, )(x) y(x)a ( )y( ) d(x)a ( x) ( )它是含有未知函数(x)y(x),以 K(x, ) 为积分方程的核的第二类 Fr 方程。所以本章重点(x) ( )研究一维第二类 Fr 方程。2. 积分方程与微分方程之间的关系 某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微 分方程的初值问题：d2ydx2y( )dyA(x)B(x)y f (x)dxy0,y ( ) y02)若从方程 (2)中解出d2

5、 ydx2然后在区间 (a,x)上对 x 求积分两次，利用初始条件，经过简单的计算不难得出 *，y(x)xaxA(xa(xa) (x )B( ) A( ) y( )d)f ( )d A( )y0 y0(x) y0K(x, ) (x)B( ) A( )A( )F(x)上式就可写为如下的形式 :x0(x ) f ( )d A( )y0y0(x) y0这是一个第二类沃尔泰拉方程，核 例 1 初值问题xy(x) a K(x, )y( )d K 是 x 的线性函数。F(x)(3)变为积分方程d2 y dx2 y(0)y f(x)1,y (0)x0 ( x)y(微分两次就可把积分方程第一次求导的结果中令

6、x=a,就得给定初始条件。在例 1 中，对(5)式求导，得出dyy(x)反之，应用积分号下求导法则，)d 1x0(4)(5)x) f( )d(3)化为微分方程 (2)。在(3)及其xx dx0 y( )d 0 f( )ddx0 0再求导一次得出原微分方程 (4)，并从方程 (6)和(5)给出初始条件 y(0)=1, y (0) 0对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。 例 2 从问题(6)* 在计算过程中应用了公式xxaL a f (x)d14xL2 43dx1a4 2 4a3nn当 f ( ) f ( )1 a (x(n 1)! a)n 1f ( )dn2)n 1() 0 时成立 。

7、d2 y y 02 y 0 dx y(0) 0, y(a) 0出发，积分两次，导出关系式x y(x) 0 (x 从此立刻可知条件 y(0)=0 成立。从第二端点条件 a 0(a )y()y( )d Cx y(a)=0 决定 C：)dCa所以有关系式xy(x) 0a (ax)y( )dax(a )y( )d a(7)K(x,(a a x(a ax),),则方程 (7)变为a0 K(x, )y( 要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程 (8)求导两次，就得到 d 2y xy(x) (a x)y(x) y(x)dx2 a在积分方程 (7)中，令 x=0 和 x=a,可以直接推出边值条件 y(0)=

8、y(a)=0 。 注意：在这个例中，K 在 x=处不连续，并当 x 增加而过 时有一跳跃 -1。x这是第二类 Fr 方程。y(x)d(8)2KK是x的一个线性函数，即满足K2 0，且K 在端点x=0,x=a处等于零。x2K(x,)=K(,x),即核是对称的。3 如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题： d2 y dx2 y(0)Ad y By 0 dx0,y(a) 0 则除 A=0 外，可得在 x= 不连续的一个核。 二、格林函数及其物理意义格林函数 在区间a,b上，考虑微分方程 Ly+(x)=0的边值问题，式中 L 是微分算子：Ld dxdpddx齐次边界条件

9、为在端点 x=a, x=b 处，满足为了得出这个问题解的形式，首先构造函数d2p2dx d y 0， dx G,使对一给定数 ，dp d q dx dx其中 ,为常数。G1 (x), xG2 (x), x并且满足条件：函数G1和G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当 x时，LG2=0。函数 G 满足边界条件，即 G1满足在 x=a 的边界条件， G2满足在 x=b 的边界条件函数 G 在 x=连续，即 G1( )=G2()。1G 的导数以 x= 为一不连续点，其跳跃是1 ，即p( )G2 ( ) G1( )1p( )可以证明，若以例如 G(x,)可取式中 A 是由关系式为参数的这个函数yG(

10、x, )G 存在，则原问题的解有如下的形式：( )G(x, )d11Au(x)v( ),A11Au( )v( x),Au( )v ( ) v( )u ( )Ap( )(2)(3)G(x, )x(l )T0l(l x),T0l ,决定的一个常数， u(x)是 Ly=0 满足在 x=a 处所给定的齐次边值条件的一个解， v(x)是在 x=b 处满足边值条件的一个解。则 G(x,)显然满足条件 (i)(iv) 。此外，还可证明，对由(3)定义的 G(x, ),由关系式 (2)确定的函数 y 满足微分方程 (1)并且满 足 u(x)在 x=a 与 v(x)在 x=b 所规定的相同的齐次边界条件。满足条

11、件( i ) (iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式 Ly 和边界条件相联系的格 林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。线性积分方程的一个典型实例 考虑一条长为 l 的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦 的位置在 Ox轴的线段 Ol 上。在点 x施加单位力，于是弦的每一点 得到一个离差，在点 处所产生的离差以G(x, )表示(图15.1)。函数G(x, ) 为两点(x和 )函数，在点 x施加外力，在点 计量离差，称 G 为影 响函数。如果弦的两端固定在 x轴上 A,B 两点，弦的张力为 T0,则在点 x 外处施加的单位力作用下，弦成图 15.1 所示的

12、形状。根据虎克 (Hooke)定律与力的平衡条件，在点 处有这就是弦的影响函数。从能量守恒定律可导出 G(x, )的互易原理：在点 x 处施加外力在点 处产生的离差等于在 点 处施加大小相同的力在点 x 处产生的离差，即G(x, )=G( , x)如果在弦上施加的力 F 是连续分布的，并设线性强度是 p( ),则作用于弦上点 和 + 之 间的一小弦段的力就接近于 p( ) 。把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状ly(x) 0G(x, )p( )d1 设在某个力的作用下，弦成已知形状 y=y(x),求定力分布强度 p( ),就得到含未知函数 p( ) 的第一类 Fr 积分方程2 设作用力随

13、时间ly 0G(x, )p( )d t 改变，且在点 的强度是 p( )sin t( 0)(1)则弦的运动是由方程y=y(x)sin描写的周期运动。( ) 为弦在点 的线性密度，则在时刻 还受惯性力设作用外，t,点 与 +之间的小弦段除受力 p( )sin t 的的作用，( ) d2 2y( ) dt2(则等式 (1)可化为如下的形式：ly(x)0 K(x,)y( ) 2 sin)y( )dF(x)(2)式中如果函数 p( )给定，那么 注意，由于 F(x)的定义，有l F(x) 0G(x, K(x, )=G(x, )F(x)也就给定，这样积分方程 (2)就是确定函数 y(x)的 Fr 方程。

14、)p( )d( ),若密度( )= 是常数，而2y(x)F(x)有二阶的连续导数，x (l0T0lx)y()dF(0)= F(l)=0则方程 (2)的解为 x x(l ) y( )d F(x) x T0ly(x)2l2c(lxx) 0 y()d2cxllx(l )y( )d F(x)(3)式中T0把(3)式微分两次就得到y (x)另一方面，可以证明这个微分方程的任一在(x)三、2cy (x) Fx=0 及 x=l 处等于 0 的解是积分方程 (2)的解。具有可分离核(退化核)的 Fr 方程 可分离核(退化核) 若核 K(x, )可分解为如下的形式： nK(x, ) fk (x)gk ( )k1

15、则称 K(x, )为可分离核或称为退化核。 不妨假定 n 个函数 fk(x) (k=1,2, ,n)在有关区间上是线性 无关的。例如，如果核是关于 x 和 的任一多项式，那么这个核就是退化核，核 sin(x+ )也是退化 核。具有可分离核的第二类 Fr 方程解法 具有可分离核的第二类 Fr 方程by(x)a K(x, )y( )d F(x) (1)by(x) fk(x) a gk( )y( )d F(x) (2) ak1的解法如下，首先设bckgk(x)y(x)dx(k=1,2, ,n)a则ny(x) F(x)ck fk(x)k1于是给定积分方程 (1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出

16、常数 c1,c2, ,cn。再用 gi 乘(2)式两边且积分，令aijbagi(x) fj(x)dx，bbia gi(x)F(x)dx(i=1,2, ,n , j=1,2, ,n)则 c1,c2, ,cn 满足方程组cinaij cj bij1(i=1,2, ,n)即j1(1a11)c1 a12c2a1ncnb1a21c1 (1 a22 )c2a2ncnb2(3)an1c1an2c2(1 ann )cn bn矩阵形式为(IA)c=b式中 I 为 n 阶单位矩阵，A=( aij ),c= (c1,c2, ,cn) , b=(b1,b2, ,bn) 。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是：方程的系

17、数行列式=det(I A ) 0如果 F(x) 0,则 bi=0(i=1,2, n)，那末方程 (3)为齐次方程组。因此 ,当 0 时，y(x) 0是积 分方程(1)的平凡解(零解) ，且是唯一解。当 =0 时，至少有一个 ci可以任意指定，其余的 cj 可以求出，于是积分方程 (1) 存在无穷多个解。使 =0 的 值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函 数。如果对于 的一个给定的特征值，可以从常数 c1,c2, ,cn 中任意指定 r 个，那么可得到 r 个线性无关的对应特征函数。如果 F(x)不恒为零 ,但与 g1(x), g2(x), ,gn(x)正交，即 b

18、i=0 (i=1,2, n)。那末方程组 (3)仍为 齐次的， 以上的讨论也适用， 除非这里积分方程的解也包含函数 F(x)。这样平凡值 c1= c2= = cn=0导出解 y=F(x)。对应于 的特征值的解是 F 与特征函数的任意倍数之和。最后，如果 (3)式右边的 bi至少有一个不为零，当行列式 0时，方程组 (3)存在唯一的非 平凡解，于是可得到积分方程 (1)的唯一的非平凡解，当 =0时，则方程 (3)或者是不相容的， 这时积分方程 (1)没有解；或者 n 个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程 (1)有无穷多个 解。例 解积分方程1y(x)0(1 3x )y( )d F(x) (1

19、)解 可把这个方程改写为y(x)= (c1 3c2x)+F(x)(2)式中11c1 0 y( )d ，c2 0 y( )d决定 c1,c2 的方程组是(1)c1c210F(x)dxc1(1)c210 xF(x)dx(3)其系数行列式为则积分方程 (1)存在唯一解的条件是F(x)=0,若 =2，则方程组 (3) 为12211(42)4由(3)解出 c1,c2并代入 (2)得到(1)的解。特别，若 2,则唯一解是平凡解 y(x)=0。数 = 2 为问题的特征值。这两个方程是不相容的，除非函数1c1 3c2F(x)dx1c1 3c2xF(x)dx0F(x)满足条件10(1 x)F(x)dx 0这时两

20、个方程相同。若 = 2，则方程组 (3) 为c1c11F(x)dx01c2 xF(x)dxc2这两个方程也是不相容的，除非函数 F(x)满足条件1 (1 3x)F(x)dx 0 这时两个方程也是相同的。现在具体讨论积分方程 (1)的解。1 先考虑齐次方程(即 F(x)=0)的情形。若 2，则唯一解是平凡解 y(x)=0。 当=2 时，代数方程组只给出一个条件 c1=3c2。这时，解是y(x)=c1(1-x)式中 c1=3c2=6c2是任意常数， 1-x 是对应于特征值 =2 的特征函数。 当=- 2 时，解是y( x)=c2(1- 3x) 式中 c2= c1=- 2c1是任意常数， 1- 3x

21、是对应于=- 2的特征函数 。方程 (2)表明原积分方程 (1)的任一解表示为如下形式： y(x)=F(x)+c3(1- x)+c4(1- 3x)式中 c3 3 (c1 c2)， c4(3c2 c1) 。于是推出原积分方程 (1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与 F(x)的和来表达。2在非齐次的情形(即 F(x)不恒等于零)下，若 2，则积分方程 (1)存在唯一解。当=2 时，积分方程 (1)没有解，除非在区间 0,1上 F(x)正交于 =2 所对应的特征函数1- x* ,即10(1 x)F(x)dx 01 在此条件下，再利用 c1-3c2= 0 F(x)dx ,给出积分方程 (1)的解

22、。1y(x) F(x) 2 0F(x)dx c1(1 x) 式中 c1=6c2 是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。1(1 3x)F(x)dx 021F(x) 3 0 F(x)dx c2(1 3x)3类似地，当 =- 2时，积分方程 (1)没有解，除非在区间 0,1上 F(x)正交于 1-3x,即 这时存在如下的无穷多个解：y(x)式中 c2=-2 c1 是任意常数。四、希尔伯特 - 施密特的理论当齐次 Fr方程的核 K(x,)不可分离，特别， K(x,)对于 x和 x,分别由不同的分 析表达式给定时， 其特征值一般有无穷多个 n(n=1,2, ),每个特征值对应的特征函数除一个乘 数外是确

23、定的；在例外的情形，一个给定的特征值 k 可以对应于两个或更多个独立的特征函 数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。具有对称核的 Fr方程的性质 如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个 核就叫做对称核。1具有对称核的齐次 Fr 方程的特征函数系是正交的。2具有实对称核的 Fr 方程的特征值都是实数。 注意，核不对称的 Fr 方程可以具有虚的特征值。希尔伯特 施密特定理 设为一平方可积函数，则形如bf (x) a K(x, ) ( )da的函数 f(x),可由对称核齐次 Fr 方程by(x) a K(x, )y( )da在a,b上的特征函数 y1(x), y2(x), 的线性组合表达，

24、如果特征函数有无穷多个，那末所得的无 穷级数在区间 a,b上绝对且一致收敛。施密特公式 考虑非齐次第二类 Fr方程by(x) F(x) a K(x, )y( )da式中 K(x, )是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k0(axb，ab )上是两变量 x,的连续函数 ,F(x) 是已知的一致连续函数， y(x) 是未知函数，而是参数，则有施 密特公式y(x) F(x)Fn yn(x) (n，即不是特征值)(1)n 1 n右边的级数是绝对且一致收敛的，式中 Fn 由下式决定： bbFn a yn(x)2dx a F(x)yn (x)dx(n=1,2, ) (2)aa 核的展开定理 一个

25、对称核 K(x, )可展开为级数在下一段会看到，这个情形是原积分方程中核K(x,)=1-3x的对称性的一个推论。yn (x)yn ( )n 1 n这个级数对任意固定的 ，有m2 b m yn(x)yn ( ) lim K(x, ) dx 0 man 1 n 具有非对称核的积分方程 设核 K(x, )不是对称的，但可表为如下形式K(x, )=r( )G(x, )式中 r( )在( a,b)内连续且不变号，而 G(x, )是对称的，这时有以下性质：1 对应于不同特征值 m和 n的两个特征函数 ym(x)和 yn(x)在a,b上关于权函数 r(x)是正 交的，即ba r(x)ym(x)yn(x)dx

26、 0a2 K(x, )的特征值都是实数。3 若非齐次第二类 Fr 方程有一个解，则这个解由 (1)给出，并以权函数 r(x)去乘 (2)式两 边所包含的被积函数。 具有埃尔米特核的积分方程 设核 K(x, )为一复核，如果K( ,x) K(x, )1 交的：对应于不同特征值 m和 n的两个特征函数 ym(x)和 yn(x)在 a,b上是按埃尔米特意义正 bym(x)yn(x)dx 0 a23在a,b上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。 设特征函数按埃尔米特意义是标准化的：则称K(x, )为埃尔米特核，式中 K(x, )表示K(x, )的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方 程有以下性质：bay

27、m(x)yn (x)dx0, m n1, m n如果非齐次第二类 Fr 方程有一个解，那末这个解由 (1)给出，并且 (2) 式改为 bbFn Fn a yn (x)yn(x)dx a yn(x)F(x)dx(n=1,2, )aa具有反对称核的积分方程 设K(x, )满足条件K( ,x)= K(x, )则称 K(x, )为反对称核，这时 iK(x, )是埃尔米特核。因此，具有反对称核的积分方程by(x) F(x) a K(x, )y( )da如果以 i 代替 ，则得到具有埃尔米特核的积分方程by(x) F(x) a iK(x, )y( )da 由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都

28、是纯虚数。伴随核与自伴随核 设u(x)是一复核K(x,)(它不一定是埃尔米特核 )对应于特征值 的一个特征函数， v(x)是核 K( ,x) 对应于特征值 的一个特征函数，若 ，则u(x)v(x)dx这里K( , x)称为K(x, )的伴随核。如果 K( ,x)= K(x,)，那么K(x, )称为自伴随核，显然实对 称核与埃尔米特核都是自伴随核。五、第二类 Fr 方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解逐次逼近法 在某种情形下，第二类 Fr方程可用逐次逼近法来解。为此，设方程y(x) F(x)a K(x, )y( )d (1)a 的解可用 的幂级数来表达：2y(x)=y0(x)+y1(x) +y2(x)

29、 2+(2)如果级数 (2)在区间a,b上关于 x是一致收敛的，那末把它代入 (1)中，可逐项积分，比较 的系数就得到确定 yn(x)的递推公式by0(x)=F(x),yn(x) a K(x, )yn 1( )d (n=1,2, ) (3)式中 yn(x) (n=1,2, )都是连续函数。 若 充分小，则级数(2)关于 x绝对且一致收敛， 于是级数 (2)是连续函数并且是积分方程 (1)的解。叠核 预解核 诺伊曼级数解 设 K(x, )为核，经递推公式 bK1(x, )=K(x, ),Kn(x, ) a Kn 1(x, 1)K( 1, )d 1 (n=2,3,4, ) (4) a产生的 Kn(

30、x, )称为已知核 K(x, )的 n 次叠核。它满足下面公式 bKp q(x, ) a Kp(x, 1)Kq( 1, )d 1 式中 p,q 为任意正整数。由于 F(x)和 K(x, )分别在a,b上和 k0(axb，ab)上连续，所以各有极大值 m 和 M ：F(x) m，|K(x, ) | M当 1 时，级数Kn 1(x, ) n 在 k0 内绝对且一致收敛，记作M (b a) n 0 n 1(5)(6)R(x, ; )Kn 1(x, ) nn0如果用自由项 F(x)来表达 yn(x),则由 (3),(4)推出byn(x) a Kn(x, )F( )da 并把它代入级数 (2)得到by(

31、x) F(x)a Kn 1(x, ) nF( )da n0因为级数 (5)在 k0 内一致收敛，所以对 a,b上任一固定值 x,它在区间内关于 一致收敛，故得 积分方程 (1)的解y(x) F(x) 式中不依赖于自由项 F( )的函数 R(x, 曼级数。R( , ; )F( )d1M (b a)(7)称为核的(或 Fr 方程的)预解核，级数 (5)称为诺伊 存在性与唯一性定理 如果把级数 (5)改写为R(x, ; )由(5)上式化为改变符号可写为K(x, )R(x, ;nKn 2(x, )0) K(x, )K(x, )ba K(x, 1)R( anbn a K(x, 1)Kn 1( 1, )d

32、 a0; )d 1R(x,y; ) K(x,y)ba K(x, )R( ,y; )d a因此，当把方程 (1)中 F(x)换为 K(x,y)时，上式表明存在预解核 R(看作两个变量 x,y 与参数 的 函数)是方程 (1)的唯一解。例 举例说明预解核的实际算法。设积分方程 (1)中K(x, )=1 3x由公式 (4)算出它的各次叠核：K 2 (x, )10(13x 1 )(1 3 1 )d 1 1K3(x,所以 K3KK1 ，从此容易推出4Kn10K(x, 1)K2( 1, )d 1K n 2n3),于是有R K1K 22K3(1416 )K132(x14(1(1) 3x3x )416 )K2

33、1 2 (114 值得注意的是，由此式可以给出一切 当R(x, ; ) 32 (x) 3(1)x 2)2时才收敛。值(=2 除外)的预解核，但相应的诺伊曼级数只六、弗雷德霍姆的理论Fr 方母 预解核 R(x, 值都是收敛的。)可以用关于的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一切若预解核表成R(x,; ) D(x, ; ) ; ) ( )(1)式中D(x, ; ) K(x,2) 1! D1(x, ) 2! D2(x, )(2)()21 c1 c21! 1 2! 2(3)()称为 Fr 分母，它与变量 x,无关。式中系数 cn与函数 Dn(x,)可由下列递推公式逐次算出： bbc1 a K ( x, x)dx, D1(x, ) c1K(x, ) a K(x, 1)K( 1, )d 1 aabbc2 a D1(x,x)dx, D2 (x, ) c2K(x, ) 2 a K(x, 1)D1( 1, )d 1 aabbcn a Dn 1(x,x)dx, Dn(x, ) cnK(x, ) n a K(x, 1)Dn 1( 1, )d 1 aa那末方程by(x)