高中数学选修2-2配人教A版-课后习题word-第二章　推理与证明习题课-推理与证明的综合应用

1、习题课推理与证明的综合应用课后篇巩固提升1.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,而函数y=f(x)x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则其“缓增区间”I为() A.1,+)B.0,3C.0,1D.1,3解析因为y=f(x)的增区间为1,+),令g(x)=f(x)x=12x+32x-1,则g(x)=1232x20,可得-3x3,即y=f(x)x的减区间为-3,3,所以其“缓增区间”为1,3.答案D2.某班数学课代表给全班同学们出了一道证明题.甲和丁均说自己不会证明;乙说:丙会

2、证明;丙说:丁会证明.已知四名同学中只有一人会证明此题,且只有一人说了真话.据此可以判定能证明此题的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由题设知,丁和丙的说法矛盾,他们有一人说了真话,则甲、乙说了假话,又四名同学中只有一人会证明此题,甲会证明,乙、丙、丁都不会证明.故选A.答案A3.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字09和字母AF共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如,用十六进制表示:E+D=1B,则AB等于()A.6EB.72C.5FD.B0解析AB=110=61

3、6+14=6E.答案A4.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则x1,x2,xnD,有f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn,已知y=sin x在(0,)上是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为()A.332B.33C.3D.3解析由题意得,sinA+sinB+sinC3sinA+B+C3,则sin A+sin B+sin C3sinA+B+C3=3sin3=332,故选A.答案A5.已知函数f(x)(xR)满足f(-x)+f(x)=2,若函数y=x3+x+1与y=f(x)的图象的交点从左到右依次为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),

4、(x4,y4),(x5,y5),则x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+y5=()A.1B.4C.5D.8解析函数f(x)(xR)满足f(-x)+f(x)=2,f(x)的图象关于点(0,1)对称,而函数y=x3+x+1的图象也关于点(0,1)对称,x1+x5=x2+x4=2x3=0,y1+y5=y2+y4=2y3=2,x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+y5=5.故选C.答案C6.设数列a1,a2,a3,a4各项互不相同,且ai1,2,3,4(i=1,2,3,4).若下列四个关系a1=1;a21;a3=2;a44中恰有一个正确,则(10a1+a2)-(10a3

5、+a4)的最大值是.解析若正确,则也正确,则不符合题意;若正确,此时a4=4,a3=1,a1=3,a2=2,(10a1+a2)-(10a3+a4)=18;若正确,此时a3=2,a4=4,a2=1,a1=3,(10a1+a2)-(10a3+a4)=7;若正确,此时a4=2,a3=3,a1=4,a2=1,或a4=3,a3=4,a1=2,a2=1,(10a1+a2)-(10a3+a4)=9或-22.综上,(10a1+a2)-(10a3+a4)的最大值为18.答案187.课本上的探索与研究中有这样一个问题:已知ABC的面积为S,外接圆的半径为R,A,B,C的对边分别为a,b,c,用解析几何的方法证明:

6、R=abc4S.小东根据学习解析几何的经验,按以下步骤进行了探究:(1)在ABC所在的平面内,建立直角坐标系,使得ABC三个顶点的坐标的表示形式较为简单,并设出表示它们坐标的字母;(2)用表示ABC三个顶点坐标的字母来表示ABC的外接圆半径、ABC的三边和面积;(3)根据上面得到的表达式,消去表示ABC的三个顶点的坐标的字母,得出关系式.在探究过程中,小东遇到了以下问题,请你帮助完成:(1)为了使ABC的三边和面积表达式及外接圆方程尽量简单,小东考虑了如下两种建系方式;你选择第种建系方式.第1种第2种(2)根据你选择的建系方式,完成以下部分探究过程:设ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+D

7、x+=0;在求解圆的方程的系数时,小东观察图形发现,由圆的几何性质,可以求出圆心的横坐标为,进而可以求出D=;外接圆的方程为.解析设ABC的外接圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则D=-m-n,方程为x2+y2+(-m-n)x+Ey+F=0,代入(0,p),(n,0),可得p2+Ep+F=0,n2+(-m-n)n+F=0,F=mn,E=-p-mnp,外接圆的方程为x2+y2+(-m-n)x+-p-mnpy+mn=0.答案(1)1(2)Ey+Fm+n2-m-nx2+y2+(-m-n)x+-p-mnpy+mn=08.已知数列an中,a1=1,an+1=2an2+an(nN*).(1)

8、求a2,a3,a4的值,猜想数列an的通项公式;(2)运用(1)中的猜想,写出用三段论证明数列1an是等差数列时的大前提、小前提和结论.解(1)数列an中,a1=1,an+1=2an2+an,a2=23,a3=12,a4=25,猜想an=2n+1.(2)若通项公式为an的数列an,若an+1-an=d,d是常数,则an是等差数列.大前提1an+11an=12为常数,小前提数列1an是等差数列.结论9.点M22,22在圆C:x2+y2=1上,经过点M的圆的切线方程为22x+22y=1;又点Q(2,1)在圆C外部,容易证明直线2x+y=1与圆相交;点R12,12在圆C的内部,直线12x+12y=1

9、与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点P(a,b)与圆x2+y2=r2的位置关系与相应直线ax+by=r2与圆的位置关系的结论吗?并证明你的结论.解点P(a,b)在C:x2+y2=r2上时,直线ax+by=r2与C相切;点P在C内部时,直线ax+by=r2与C相离;点P在C外部时,直线ax+by=r2与C相交.证明如下:圆x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离为d=|r2|a2+b2.若(a,b)在圆内,则a2+b2r,所以直线与圆相离;若(a,b)在圆上,则a2+b2=r2,所以d=r,所以直线与圆相切;若(a,b)在圆外,则a2+b2r2,所以dr,所以直线与圆相交.10.已知函数f(x)=cos2x+cos2(x+)+cos2(x+),其中,为常数,且满足0.对于任意实数x,是否存在,使得f(x)是与x无关的定值?若存在,求出,的值;若不存在,请说明理由.解存在.假设存在,满足条件,则f(x)=1+cos2x2+1+cos(2x+2)2+1+cos(2x+2)2=32+1