等边三角形具有轴对称性和旋转对称性

1、 HYPERLINK http:/ 等边三角形具有轴对称性和旋转对称性，四平八稳的图形却可以构造出千姿百态的图形，是三角形中最具魅力的图形。因为正三角形的一半是特殊的直角三角形，所以正三角形的问题又常常转化为直角三角形来解决。今撰斯文，欲展示正三角形的众多性质，你读罢定会感慨频频。一、三垂线例1 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：OD+OE+OF等于正三角形的高。证明：连结OA,OB,OC，设正三角形高为h，因为所以，因为AB=BC=CA，所以OD+OE+OF=h.例2 如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，

2、求证：AD+BE+CF=BD+CE+AF.解法一利用勾股定理，有,类似地还有其他2个等式，三个式子相加，化简得到：, 即 化简：，a是正三角形的边长。解法二如图，过O作MNBC，交AB、AC于点M、N，过M作MHBC交BC于点H,则,同理,.又：在这种辅助线下，还可以设DO=x，OE=y，OF=z，于是正三角形的高是x+y+z，从而边长可以被表示，MD,MH,BM可以表示。进而AD可以表示，这样表示BE,CF也不难了，AD+BE+CF就可以被x,y,z来表示。可以肯定AD+BE+CF表示后的结果一定是周长的一半。解法三如图，延长EO、FO交边于G,H，过G,H作边的平行线GM,HN，则.例3

3、如图O是正三角形ABC内任意一点，过O点作三边的垂线，垂足分别为D、E、F，求证：。解：过O作BC的平行线，将三角形分成上下两部分，如图，上部分相当于证明O在BC上时，黄色部分面积为正三角形面积的一半。证明如下：设AB=2a，设OF=x，则AD=，则黄色面积=.如图，对于下半部分的证明类似。故结论得证。二、三交线如图，在正三角形ABC的三边上依次取BD=CE=AF，连AD、BE、CF，交点是P、Q、R，这个图的内部有三条交线，里面形成一个正三角形，两个正三角形的面积之比取决于BD和DC之比。如果去掉一条交线，又会得到一个熟知的图形。例4 如上图及已知，当BD:DC=1:n时，求小正三角形与大正

4、三角形面积的比。（自编题）解：过D作DGCF，则可证，进而，又，所以，在ABD中设BD=1，AB=n+1，ABD=60，由两个正三角形相似得，小与大的面积之比是。例5 如上图，正三角形ABC中，BD=CE，BE、AD交于P写出这个图形尽量多的性质。（自编题）解：有2对全等三角形；有6对相似三角形；APE=60；、。三、到三顶点的距离例6 如图，P在正三角形ABC内，P到三个顶点的距离分别是3、4、5，求ABC的面积（精确到0.01）。 HYPERLINK http:/ 解：如图，将APC绕A点顺时针旋转60至AQB，设QB=PC=3，QP=AP=4，PB=5，易证APC=AQB=150,如左图

5、，作BHAQ，因BQH=30，故BH=1.5，由勾股定理可以求出AB，进而求出面积的近似值。四、正三角形拼图1、三角板拼图例7 如图1是由四块全等的含有30角的直角三角板拼成的正方形，已知里面小正方形的边长为如图2，取其中的三块直角三角板拼成等边三角形ABC，再以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系（自编题）（1）求等边ABC的面积；（2）求BC边所在直线的解析式；（3）将第四块直角三角板与CDE重合，然后绕点E按逆时针方向旋转60后得ECD ，问点C是否落在直线BC上？请你作出判断，并说明理由解略。2、两个正三角形拼菱形例8 两个正三角形拼成一个菱形ABCD，（1）此菱形有哪些性质

6、？（2）在BC、CD上各取一点E、F，使BE=CF，求证：AEF是正三角形。解：（1）较长对角线是较短对角线的倍；过A点的高平分BC；有120的内角。在菱形中只要满足这三条之一的，必满足其余。（2）略3、三个正三角形拼梯形例9 如图，三个正三角形拼成等腰梯形，此梯形有哪些性质？（自编题）解：有60的底角；下底是腰的一半；周长是腰的5倍；对角线AC垂直腰BC；对角线平分60的底角；上底等于腰。一个等腰梯形具有这6个结论中的任意2个，必同时满足其余的结论。五、正三角形内的正方形例10 如图，正ABC中，BC=，在BC上取一点A1，作A1A2BC交BC于A2，在ABC内部作正方形A1A2 A3A4。

7、过A3点作AB的垂线交AB于C4，在ABC内部作正方形C1C2 C3C4，其中C1在AB上，C2在AC上，并且所作的两个正方形边长相等。又过C3点作AC的垂线交AC于B4，交A3A4于B3，在ABC内部作正方形B1B2 B3B4，其中B1在AC上。（自编题）（1）求A1A2的长；（2）求证：正方形B1B2 B3B4的边长与正方形A1A2 A3A4的边长相等；（3）求证：B2在BC上。 解：(1)设正方形的边长为x，则，所以，解之x=2。（2）易证是正三角形，所以，即，故正方形的边长与正方形的边长相等。（3），又因为，由勾股定理得，故,即B2在BC上。六、两个正三角形组合两个正三角形可以组成许多

8、有趣的图形，有些图形的结论还鲜为人知呢。例11 如图ABC和BDE均为正三角形，AE和CD交于P。（1）当A、B、D共线时，求证：APB=DPB=60；（2）当A、B、D不共线时，CPB=EPB=60吗？为什么？解：两个问题的证明完全一样。作ABE和CBD的高BG、BH，有这两个三角形全等可知，BG=BH，所以BP平分APD（或CPE），因ABE和CBD可以看作绕B点旋转90重合的，所以对应边AE和CD所成的角为60，即APC=60，故结论成立。思考：如果将EBD沿BD反射，结果又会怎样呢？例12 如图，AOB和BCD均是正三角形，点O是坐标原点，A(2,0)，C是x轴上一点，D、O在BC异侧

9、，问：当C点运动时，D点运动的轨迹是什么？（也可以问：当C点运动时，直线AD是否固定？为什么）解：可以证明OBCABD，所以BAD=60，所以D点运动的轨迹是直线。思考：(1)将条件“D、O在BC异侧”改为“D、O在BC同侧”，结论又如何呢？(2)如下图，如果将条件“C是x轴上一点”改为“C是y轴上一点”，“正三角形BCD”改为“正三角形CAD”，BD和AB的关系如何呢？(3)如下图，如果将条件“C是x轴上一点”改为“C是OB上一点”，“正三角形BCD”改为“正三角形CAD”，DB和OA的关系如何呢？例13 判断命题“ABC和ABD有公共边AB，且C、D在AB同侧，如果AD和BC相交且相等，那

10、么ABCABD”是否成立？解：如果我们画出如下的图形，可能很难判断命题的真假。注意，并不能因为是“边边角”就判断是假命题，关于“边边角”的更多内容，请参见“ HYPERLINK http:/ t _blank 引人入胜的SSA”。本命题确为假命题。以前，我举的反例是：在正三角形BCE中，A是CE上的点（非中点），将ABE绕AB的中点旋转180得到ABD，这就是反例。后来找到了用两个正三角形来组成反例的图形：如图，APC和BPD均为正三角形，A、P、D共线，这个图形就是反例。思考：用两个等腰三角形来代替APC和BPD可以吗?七、正三角形分割例14 用多种方法将正三角形分割成4个等腰三角形。解：至

11、少有以上4种分割方法。值得惊奇的是居然有一种不对称的分割。思考：还有其它方法吗？例14-2 以下两个图形是一个等腰RtABC和一个等边DEF，要求把它们分别分割成3个三角形，使得ABC分出的3个三角形与DEF分出的3个三角形分别相似。解：我想到以下几种方法，一定还有其它方法哦，想到了再补充。追加：2011年4月28日江东区的数学教研活动中，专题研究了本题，同行们又得出了以下4种不同的分割方法：八、找等腰点例15 已知正三角形ABC，在平面上找一点P，使ABP、BCP、CAP均为等腰三角形，这样的P点有 种不同的位置。解：如图，在BC的中垂线上符合条件的点有4个，而边的中垂线有3条，故共有10个

12、不同的位置（其中形内只有一点）。九、正三角形网格正三角形网格能发挥正方形网格力不能及的作用，在正三角形网格图中，能呈现五彩缤纷的数额学问题。例16 如图，在正三角形网格中有个格点ABC及格点O，请画出ABC以点O为旋转中心逆时针旋转120的像。解：ABC就是所求的像。我们常常在正方形网格里将一个图形旋转90，为什么不可以在正三角形网格里将一个图形旋转60或120呢？例17 如图把边长为4的正三角形各边四等分，连结各分点得到16个小正三角形（1）在图1中，画出以小正三角形的顶点为顶点的一个正六边形ABCDEF，并求这个正六边的周长 （2）请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还

13、是假命题？如果是真命题，请你把它改写成“如果，那么”的形式；如果是假命题，请你在图2中画图说明解：略。例18 在如图的正三角形网格中，画出格点三角形，使三边之比为，这样的三角形面积是值有 种。我的答案只有如图3种，不知是否还有？例19 如图，在正三角形网格中，一个小正三角形的面积为1，给定2个格点A、B，请你再找一个格点C ，使得ABC的面积为2，这样的C点共有 种不同的位置。解：利用平行线面积不变的原理，如图共可以找到8个不同的位置.例20 如图是一个由基本图形经过若干次平移后得到的图形，这个基本图形可以是（）解：答案是C，只要将6个C的图形组合在一起即可。十、杂题例21 如图正三角形ABC

14、中，D是边BC上一点，E是AC上一点，ADE=60，（1）若BD=3，CE=2，求AE；（2）当AB=8时，求CE的最大值。解：（1）设AB=x，由ABDDEC得，x:(x-3)=3:2，x=9，所以AE=9-2=7.（2）设BD=x，EC=y，由ABDDEC得，x:y=8:(8-x)，则，所以y的最大值是2.例22 如图，正三角形ABC的边长为a，P是中位线DE上一点，直线BP、CP交边于G、F，则= 。方法一：用特殊位置法解当P与D重合时，.方法二：设GE=m，DF=n，PE=x，则.由GPEGBC得，由FPDFCB得，分别解得，故，所以，.例23 如图，AEF和CDF是正三角形ABC内的两个正三角形，已知，求的值。自己编的，解答留给读者吧。例24 如图ABC是边长为6的正三