上海高二数学矩阵及其运算

1、矩阵的概念11 形如35136232在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量212838213628水平方向排列的数组成的向量列向量 ；由 m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为512 1 阶矩阵，可记做A2 1 ；矩阵 3623213821表示。3矩阵中的每一个数叫做矩阵的51字母 aij 表示，如矩阵36232138214当一个矩阵中所有元素均为5当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为矩阵及其运算a1,a2,12 这样的矩形数表叫做 矩阵 。an 称为 行向量 ；垂直方向排列的数组成的向量m n 阶矩阵 ， m2836 为 3 3 阶矩阵，可记做28元素 ，在一个 m n 阶矩阵Am n

2、 中的第2836 第 3 行第 2 个数为a322821 。0 时，我们称这个矩阵为 零矩阵 。如 00方矩阵 ，简称 方阵 ，n 阶矩阵可记做Amn ，如矩阵A3 3 。有时矩阵也可用 Ai m 行第 j j n 用0 为一个 2 3 阶零矩阵。0b1b2bn称为B 等字母列数可用n 行列 ，可称此方阵为 n51212823m阶方阵 ，如矩阵36383632423212841n这个矩阵称为均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为11 ，其余元素均为零的方阵，叫做 单位矩阵 。如矩阵00为21阶单位矩阵，矩阵1000 1 0 为 3 阶单位矩

3、阵。0016、如果矩阵 A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么 A与B叫做同阶矩阵；如果矩阵 A与矩阵B是同阶矩阵, 当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A Bo2 3m324,我们叫41 n2x 3y mz 17、对于方程组 3x 2y 4z 2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵4x y nz 42做方程组的 系数矩阵；而矩阵 34应用举例：3m1242叫做方程组的增广矩阵。1n 42aB,求a、b的值及矩阵A。2 x例1、矩阵A,B2x a 2b例2、写出以下线性方程组的增广矩阵:们2x 3y 14x y 6x 2y 3z 2 02x 3

4、y 2z 5 02x y z 3 0例3、线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组:们2102203213 023sincos0例4、矩阵为单位矩阵，且sincos1一,，求 sin 2的值。矩阵的根本变换： 1互换矩阵的两行或两列； 2把某一行同乘除以一个非零的数； 3某一行乘以一个数加到另一行。个列向显然，通过以上三个根本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：4x 3yz 5例 1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组 7x 2y z 4 的解。5x 2y3z 8ax 3y 2例 2、运用矩阵变换方法解方程组： a 、 b 为常数2

5、x y b课堂练习：用矩阵变换方法解以下问题：xy21假设方程组(k 1)x (k的解x与y相等，求k的值。1)y 43x 2y z 03解方程组：x y 2z 55x 7y 8z 1矩阵运算对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进展何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要容 . 1 相等定义 如果两个矩阵A aij ， Bbij满足：mnsp行、列数一样，即 m s, n p ；(2)对应元素相等，即aj = bij (i = 1,2,，m； j = 1,2,，n ),那么称矩阵A 与矩阵 B 相等，记作A = B

6、由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m n 矩阵相等，等价于元素之间的 m n 个等式 .例如，矩阵a12 a13a21a22a2321那么A = B,当且仅当a11 = 3a12 = 0 ， a13 = -5a21 = -2 ， a22 = 1a23 = 4c11c21c22因为B,C这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C中的元素c1i, c12, C21, C22取什么数都不会与矩阵B相等.2加法定义 2.3 设 A aijbij是两个 m n 矩阵，那么称矩阵b11a12b12anb1na21b21a22b22a2 nb2nam1bm1am2bm2amnbmnC =为A与B的和，记作aijb

7、j由定义2.3可知，只有行数、列数分别一样的两个矩阵，才能作加法运算同样，我们可以定义矩阵的减法:D = A - B = A + (- B ) = ajbj称D为A与B的差.3例1设矩阵A =24，求A +1B, A - B.cos例2、矩阵Acostantantan tanJ101（o,2），(2,)，求 sinF的值。矩阵加法满足的运算规那么是什么?设A, B, C, O都是m n矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规那么.加法交换律：A + B = B + A;.加法结合律：(A + B ) + C = A + (B + C );.零矩阵满足：A + O = A;.存在矩阵-A,满足：A

8、 -A = A + (-A ) = O.3.数乘定义2.4设矩阵Aaj mn，为任意实数，那么称矩阵CCj为数与矩阵A的数乘，其中Cjaj (i 1,2,m; j 1,2, n),记为由定义2.4可知，数 得到A的负矩阵.3例3设矩阵A =4C = A乘一个矩阵A,需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当1 705 ,用2去乘矩阵A,求2A.60=-1 时， A = - A,数乘矩阵满足的运算规那么是什么?数k , l和矩阵A = aj m n , B = bj m n满足以下运算规那么:.数对矩阵的分配律：k (A+ B ) = kA + kB；.矩阵对数的分配律：(k + l ) A =

9、 kA + lA；.数与矩阵的结合律：(kl ) A = k (lA ) = l (kA );.数1与矩阵满足：1A = A.3243例4设矩阵A = 512 ，求 3A - 2B.74.乘法矩阵乘积的定义设 A= aj是一个m s矩阵，B= bj是一个s n矩阵，那么称 m n矩阵C = q为矩阵A与sB 的乘积，记作 C = AB.其中 Cj = aMj + 22b2j + + a s bs j=aikbkj (i = 1,2,，m； j = 1,2,，n ).k 1由矩阵乘积的定义可知：(1)只有当左矩阵 A的列数等于右矩阵 B的行数时，A, B才能作乘法运算 AB；(2)两个矩阵的乘积

10、 AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数；(3)乘积矩阵AB中的第i行第j列的元素等于 A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和， 故简称行 乘列的法那么.2例6设矩阵A =41980 , B =，计算 AB.7 105 TOC o 1-5 h z 2 422例7设矩阵A =, B =，求AB和BA.1 211由例6、例7可知，当乘积矩阵 AB有意义时，BA不一定有意义；即使乘积矩阵 AB和BA有意义时，AB和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进展矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵A O, B O

11、，但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵AB = O， 即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O,不能得出A和B中至少有一个是零矩阵的结论 .一般地，当乘积矩阵 AB = AC,且A O时，不能消去矩阵 A,而得到B = C.这说明矩阵乘法也不满足消去律 .那么矩阵乘法满足哪些运算规那么呢？矩阵乘法满足以下运算规那么：.乘法结合律：ABC = ABC；.左乘分配律： A B + C= AB + AC;j乘分配律：B + CA = BA + CA;.数乘结合律：kAB= k AB = Ak B，其中k是一个常数一0 11,例8： A,矩阵B ，求AB。1 02练习：计算以下矩阵的

12、乘法aa2(h b2 bn)。b1b2们(a1 a2an)；2bnan例 9、矩阵A f (x) ， B x 1 x ， Cx2a ，A=BC ，求函数f (x) 在1,2 上的最小值.例 10：将以下线性方程组写成矩阵乘法的形式12x4xy1；3y 722x y 3z 14x 2y 3z 1 。2x y 4z 1A 可交换的矩阵B 。例 11：假设 ABBA ，矩阵B 就称为与A 可变换，设A课堂练习与课后作业一、选择题、 “两个矩阵的行数和列数相等是“两个矩阵相等的 A、充分不必要条件B、必要不充分条件是 C、充要条件D、既不充分又不必要条件2x 3y 2、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程

13、组其中正确的选项是 x 2y 123x21 2y 121x23 2y 12 3 x 212 y 132 x 22 1 y 1213、假设 A 03 , B1 41 420 ,且2A 3X B ,那么矩阵X24、点A1, 2在矩阵06、假设点22 一A(,)在矩阵22cossinsin对应的变换作用下得到的点为1, 0，那么“=.cos7、假设点A在矩阵2对应的变换作用下下得到的点为2, 4，那么点A的坐标为.28、cossin9、cos sin设A为二阶矩阵,其元素满足,aijaji0 i=1行假a.A=B，那么+出.12, j=1 , 2,且 a2a212 ,那么矩阵 A=.2对应的变换作用下得到的点的坐标是10 0a5、是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，那么 a+b=.0 2b10:11、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2, 1),那么该线性方程组为12、计算：假设矢I阵Acos60sin60 TOC o 1-5 h z sin602) ,那么 A+AB=。-cos6033 4 2、一 1 1213、计算：5 4 6 =.11 02 2 114.线性方程组 x y 6 0对应的系数矩阵是，增广矩阵是3x 5y 4 023 0-15、矩阵 A 1