弹性力学应变分析

1、 第三章 应变分析 外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。第一节 位移与应变第二节 应力与应变的关系1 在外力作用下，物体整体发生位置和形状的变化，我们如何来描述？2第三章 应变分析第一节 位移与应变 在外力作用下，物体整体发生位置和形状的变化，一般说来各点的位移不同。3第三章 应变分析第一节 位移与应变 如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移； 如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变

2、，物体发生刚体转动等刚体移动。4 如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在微线段间夹角的变化，称为切应变。5 我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后为PA，P点的位移为(u,v)，A点x方向的位移为y方向上的位移为dxdx6PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的，因此PA正应变为PA的转角为dxdx7 我们从物体中取出y方向上长dy的线段PB，变形后为PB，B点y方向的位移为x方向上的位移为PB的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的，因此PB正应变为8线段PA的转角是线段PB的转角是于是，直

3、角APB的改变量为A有时用张量分量PAB9 这样，平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变、y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化切应力来描述，称为应变分量。10 同样，空间一点的变形我们用该点x、y、z方向上的正应变和xy、yz、zx方向构成的直角的变化切应变来描述。张量形式为11 空间的应变分量共九个分量，是一个对称张量，和应力张量一样，它们遵从坐标变换规则，同样存在着三个互相垂直的主方向，对应的主应变值是该张量的特征值。这些互相垂直的主方向构成的直角在该应变张量的变形时，角度不变，由主平面组成的单元体，由正方体变为直角长方体。在主方向构成的坐标系中，张量分量构成对角阵，切应变分量为

4、零。12第三章 应变分析 第二节 应力应变的关系应力应变的物理关系: 在线弹性力学中，应力应变的物理关系成线性的广义胡克关系，对于各向同性材料，其中，只有两个弹性常数.张量形式为13 当坐标系为主方向时，切应力为零，切应变也为零，公式简化为上三式相加可得到：其中分别为体积应变和体积应力。14如果用应变来表示应力，有下列关系：其中称为拉密常数。张量形式为15其矩阵形式为= D 注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表达式不再成立，具有更多的弹性常数。其中16 总 结 应力是物体内部的内力，是看不见的，而变形是可以测

5、量和观察的，尤其在平面应力状态，我们经常通过实验的办法，测出应变，然后，通过应力应变的物理关系，求得应力。通过加力前后物体表面网格的变化，也可大致判断应变的大小等情况，从而判断应力的情况。17应变和位移的关系： 已知位移，可以通过微分关系很方便的求得应变，但是反过来，已知应变求位移就要通过积分，困难大得多。 有应变就有位移，但是有位移不一定就有应变，应变是位置的相对变化决定的，位移中有刚体位移和刚体转动与相对位置的变化同时发生，这就给分析带来很大的困难。18 若记坐标变形前后的坐标x, y, z为Xi、xi，位移为ui=Xi-xi,上式可以缩记为：一般称为Cauchy应变，保留的是一阶项，适用于小应变的情况，在有限变形时，应变有多种定义，常见的有：GreenAlmansiEuler19 对于应力应变= D的这种较为简单的关系，注意这里我们假定材料是线弹性、各向同性的，于是应力应变的关系是线性的，其中弹性常数只有两个。在各向异性的情况下，D的上述表达式不再成立，具有更多的弹性常数。其中横观各向同性是常见的一种。 在一定条件下，材料不再保持为弹性变形，将出现塑性变形，这时应力应变的关系，不再是上述的简单关系，这将是塑性力学研究的内容。20 材料的应力应变关系通常是十分复杂的，线弹性是一种简化方法。对于很多工程问题