2022年人教九数知识点归纳总结

1、其次十一章 二次根式 学问点一：二次根式概念 1. 概念 : 形如 a a 0这样的式子叫做二次根式 a b也是二次根式 ,“ ”称为二次 根号；其中 a 可以是数 , 也可是单项式和多项式； 2. 求二次根式中字母的取值范畴的基本依据 ： 被开方数不小于零；分母中有字母时,要保证分母不为零； 3. 性质 基本性质一： a 0 a 0 基本性质二： a 2 = a a 0 2基本性质三： a a积的性质： ab = a b a 0,b 0 商的性质： ab = ab a 0,b 0 注 ：一般地,二次根式化简的结果中分母中不含根号,而且根号内的数就是一个自然 数,且自然数的因数中,不含有除 1

2、 以外的自然数的平方数, 被开方数带分数时,仍要先化为假分数再利用性质化简； 学问点二：二次根式的乘除 1. 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根 a b= ab a 0,b 0 2. 两个二次根式相除,等于把被开方数相除,作为商的被开方数 a ba a 0,b 0 b留意 : 假如被开方数是带分数,应先化成假分数； 学问点三：二次根式的加减 1. 最简二次根式的两个条件 ： （1）被开方数不含分母 即因数是整数,因式是整式 ； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 2. 同类二次根式 : 几个二次根式化成最简二次根式以后,假如被开方数相同,这几个二次根 式就叫做同类二次根式

3、与二次根式的系数无关 ； 3. 二次根式的加减 : 在二次根式加减或其它运算时,把根号前的乘数看作它的系数 先化为最简二次根式,再合并同类二次根式,与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变； 其次十二章 一元二次方程 学问点一：一元二次方程概念 1第 1 页,共 12 页1. 定义： 方程的两边都是整式 , 只含有一个未知数 , 并且未知数的 最高 次数是 2 次 , 我们把这 样的方程叫做一元二次方程； 2. 一般形式： ax2 +bx+c=0a , b,c 为常数且 a 0 ；一般地 , 任何一个关于 x 的一元二次方 程都可以化为 ax2+bx

4、+c=0 的形式；其中 ax2, bx, c 分别称为 二次项 , 一次项 , 常数 项 ,a, b 分别称为二次项系数,一次项系数； b 和 c 可以为 0, 但 a 不能为 0, 由于一元 二次方程必需有二次项 , 一次项和常数项没有的时候就是 b 和 c 为 0 的情形 留意 : 二次项,二次项系数,一次项,一次项系数,常数项都是 包括符号 的； 3. 一元二次方程的解： 使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解 或 根 ； 判别式 ： =b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0a 0 根的情形： 1 当 0 时 , 方程有两个不相等的实数根； 2 当 =0 时 ,

5、方程有两个相等的实数根； 3 当 0 时 , 方程无实数根； 依据根的情形 , 也可以逆推出 的情 形 , 这方面的学问主要用来求取值范畴等问题； 学问点二：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理 1. 一元二次方程的 求根公式 : 2. 一元二次方程 根与系数的关系 : 如方程 ax2 +bx+c=0a 0 的两根分别为 补充规律 : 两根均为负的条件 : x1x20, x1x20 两根均为正的条件 : x1x20, x1x20 两根一正负的条件 : x1x2 0 x1,x2, 就 x1x2= b/a, x1 x2=c/a 当然 , 以上仍必需中意一元二次方程有根的条件 :b 2-4ac 0

6、学问点三：一元二次方程的解法 1. 直接开平方法 2. 配方法 : 通过配方 , 将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式 , 右边是一个非负常数 , 运用直接开平方求出方程的解的方法 步骤 : , 即转化成 x+b 2=aa 0 的形式 , 再利用开平方 1 把方程化成一元二次方程的一般形式； 2第 2 页,共 12 页2 把二次项系数化为 1 方程两边都除以二次项系数 ； 3 把含有未知数的项放在方程的左边 , 不含未知数的项放在方程的右边； 4 方程的两边同加上 一次项系数一半的平方 这是关键 ； 5 方程的左边化成完全平方的形式 6 利用直接开平方的方法去解； , 方程的右边化成非负数

7、； 假如整理后左边是完全平方式 , 假如右边是个负数 , 就指出原方程无实根； 3. 公式法 步骤 : 1 把方程化成一元二次方程的一般形式； 2 写出方程各项的系数； 3 运算出 b2-4ac 的值,看 b2-4ac 的值与 0 的关系 , 如 b2-4acr2 ,圆心距为 d,就有 两圆外离, dr1+r2 ； 两圆外切, d=r1+r2 ； 两圆相交, r1-r2dr1+r2 ； 两圆内切, d=r1-r2 ； 两圆内含, 0dr1-r2； 学问点五：正多边形和圆 概念： 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 中心 ,外接圆的半径叫做正多边形的 半径 ,正多边形每一边所对的圆心角叫做

8、正多边形的 中心角 ,中心到正多边形的一 边的距离叫做正多边形的 边心距 ； 学问点六：弧长,扇形和圆锥面积 1.弧长运算公式： 在半径是 R 的圆中,由于 360的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 n的圆心角所对的弧长为 2.扇形： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做 扇形 ； 性质： 圆心角越大,扇形面积越大,反之亦然； 面积运算公式： 在半径是 R 的圆中,由于 360的圆心角所对的扇形面积就是圆面积 S= R2,所以圆心角为 n的扇形面积是 3.母线： 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的 母线 ； 4.圆锥的侧面积： 设圆锥的母线长为 R,

9、底面圆的半径为 r,就其侧面积（扇形）为 S= *r*R圆锥的底面积： S=*r 2 圆锥的全面积： S=侧面积 +底面积 = *r* R+ *r 2=r （R+ r ） 6第 6 页,共 12 页其次十五章 概率初步 学问点一：概率的概念 1. 随机大事： 在确定条件下,可能发生也可能不发生的大事,称为 随机大事 ； 如：任意掷一枚均匀的硬币,可能正面朝上,也可能不是正面朝上,是反面朝上； 性质： 一般的,随机大事发生的可能性是有大小的,不同的随机大事发生的可能性的大 小有可能不同； 2. 概率： 在大量重复试验中,假如大事 A 发生的频率会稳固在某个常数 p 邻近,那么这个 常 数 p 就

10、叫做大事 A 的概率,记为 PA=p （0 PA 1）；也有： PA= 大事 A 可能 发生的结果数全部可能发生的结果总数； 性质： 必定大事发生的概率为 不行能大事的概率为 1,记作 P 必定大事 1； 0,记作 P（不行能大事） 0； 假如 A 为不确定大事,那么 P（ A）在 0 和 1 之间； 学问点二：概率运算 1. 用列举法求概率： 一般地 , 假如在一次试验中 , 有 n 种可能的结果 , 并且它们发生的可能性 都相等 , 大事 A 包含其中的 m 种结果 , 那么大事 A 发生的概率为 PA=m/n ； 用列举法求概率的条件 : 1 试验的全部结果是有限个 n ； 2 各种结果

11、显现的可能性相等； 2. 列表法： 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能显现的结果数目较多 时,为不重不漏地列出全部可能的结果,通常接受 列表法 ； 3. 树形图： 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素（例如从 3 个口袋中取球）时,列方形表 就不便利了,为不重不漏地列出全部可能的结果,通常接受 树形图 ； 4. 利用频率估量概率： 当试验次数很大时 , 一个大事发生频率也稳固在相应的概率邻近；因 此 , 我们可以通过多次试验 率； , 用一个大事发生的频率来估量这一大事发生的概 其次十六章 二次函数 学问点一：二次函数概念 1. 定义： 一般地,形如 y=ax2+bx+ ca

12、,b, c 是常数, a0 的函数,叫做 二次函数 ；其 中, x 是自变量, a, b,c 分别是函数表达式的二次项系数,一次项系数和常数项； 2. 图象： 二次函数的图象是 抛 抛物线 ,每条抛物线都有 对称轴 ,抛物线与对称轴的交点叫做 7第 7 页,共 12 页物线的 顶点 ,顶点是抛物线的 最低点或最高点 ； 性质： 一般地,抛物线 y=ax 2 的对称轴 是 口向上,顶点是抛物线的最低点, y 轴,顶点是原点,当 a 0 时,抛物线的开 a 越大,抛物线的开口越小,反之亦然；当 a 0 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点, a 越大,抛物线的开口越大, 反之亦然； 一般的,

13、抛物线 y=ax-h2+k 与 y=ax 2 形状相同,位置不同,把抛物 y=ax2线 向 上（下）向左（右）平移,可以得到抛物线 y=ax-h2+k ；平移的方向,距离根 据 h, k 的值来准备： （1） a 0 时,开口向上；当 a 0 时,开口向下； （2）对称轴是直线 x=h； （3）顶坐标是（ h,k ）； 3. 配方法： 一般地,我们可以用配方求抛物线 y ax 2bx c a 0 的顶点与对称轴 y ax 2 bx c a x b 24ac b 2 ,因此,抛物线 y ax 2bx c 2a 4a 的对称轴是 x b,顶点坐标是（ b, 4ac b 2 ）； 2a 2a 4 a

14、 24. 最小（大）值： 一般地,由于抛物线 y ax bx c 的顶点是最低（高）点,所以当 2x b时,二次函数 y ax 2bx c 有最小（大）值 4ac b； 2a 4 a 学问点二：二次函数与一元二次方程 x 一般的,从二次函数 y ax 2bx c 的图象可知, （ 1）假如抛物线 y ax 2bx c 与 x 轴有公共点,公共点的横坐标 x ,那么当 x0 时,函数的值是 0,因此 x 2 x0 就是方程 ax bx c 0 的一个根； （ 2）二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点,有一个公共点,有两个 公共点,这对应着一元二次方程根的三种情形：没有实数根,有两

15、个相等的实数根,有两 个不等的实数根； 其次十七章 相像 学问点一：图形的相像 1. 定义： 形状相同的图形叫做 图 形放大或缩小得到； 相像图形 ；两个图形相像,其中一个图形可以看作由另一个 8第 8 页,共 12 页2. 成比例线段： 对于四条线段 a,b, c, d,假如其中两条线段的长度比与另两条线段的比 相等,如 a: b=c: d 或 a/b=c/d 即 ad=bc,那么这四条线段 a, b, c, d 叫 做 成比例线段 ,简称 比例线段 ； a, b, c, d 叫比例的项 , 其中 ,a , d 叫 外 项 ,b , c 叫 内项 ； 3. 相像比： 相像多边形对应边的比；

16、4. 性质： 相像多边形对应角相等,对应边的比相等； 学问点二：相像三角形 1. 概念 : 对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相像三角形 相像符号为“” ； 2. 推理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形 与 原三角形相像； B DA E B DO E CC注：全等确定相像 , 相像不愿定全等 （全等是相像中相像比为 1 时的特殊情 况）； 3. 三角形相像的判定 （1）定义判定：对应角相等,对应边成比例 （2）判定 1：两个角对应相等 判定 2：两边对应成比例且夹角相等 判定 3：三边对应成比例 （3） Rt相像的判定 : 除上述三个外 斜边与始

17、终角边对应成比例的两直角三角形相像； 4. 三角形相像的判定定理推论 推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相像； 推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相像； 推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相像； 推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相像； 9第 9 页,共 12 页推论五：假如一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分 成比例,那么这两个三角形相像； 推论六：假如一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成 比例,那么这两个三角形相像； 5. 补充 射影定理 : 在 Rt ABC 中, ACB=90 0,CD 是斜边 AB

18、上的高 ,就 AC2=AD ABBC2=BD ABCD2=AD BD6. 补充 三角形的重心 概念 : 三角形三条 中线的交点 叫做三角形的重心； 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍； 7. 相像三角形的周长与面积 （1）相像三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比, （2）相像三角形周长的比等于相像比,相像三角形面积的比等于相像比的平方； 8. 相像多边形 （1） 概念 : 对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相像多边形； （2） 性质 : 性质 1：相像多边形的对应角相等,对应边成比例； 性质 2：相像多边形的周长之比等于相像比 ;面积之比等于相像

19、比的平方； 学问点三：位似图形 1. 概念 : 假如两图形不仅相像 ,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位 似图形 ,这个点叫做 位似中心 ,这时的相像比又称为 位似比 ； 2. 性质 : 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3. 探究 : 利用位似可以把一个图形放大或缩小； 对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上； 在平面直角坐标系中,假如位似变换是以原点为位似中心,相像比为 k,那么位 似图形对应点的坐标的比等于 k 或 -k.； 其次十八章 锐角三角函数 学问点 1：锐角三角函数概念 1.定义： 在如图 Rt ABC 中,我们把锐角

20、 A 的对边与斜边的比叫做 A 的 正弦 ,记作 sin A ；把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦 ,记作 cos A ；把 A 的对边与邻边 的比叫做 A 的 正切 ,记作 tan A；即 , , 就锐角 A 的正弦,余弦,正切都叫做 2.特殊的三角函数值： A 的 锐角三角函数 ； 10 第 10 页,共 12 页学问点二：解直角三角形 1.概念： 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,就是 2.直角三角形中边与角的关系 （1）三边之间的关系： a2b22 c （勾股定理） （2）两锐角之间的关系： A+ B=90 （3）边角之间的关系： 3.实际应用 利用解直角三角形的学问解决实际问题的一般过程如下： 解直角三角形 ； （ 1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题） ； （ 2）依据条件的特点,适当选用