新北师大版八年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等腰三角形（提高）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做

2、顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在ABC中，ABAC，ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,A是顶角，B、C是底角2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形； (2)BC； (3)BDCD，AD为底边上的中线.(4)ADBADC90，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线

3、是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.A1802B，BC .（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60.性质2：等腰三角形的顶角平分

4、线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到以下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.要点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边

5、. 要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.3. 含有30角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证

6、明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题一般证明步骤如下：（1） 假定命题的结论不成立； （2） 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.类型一、等腰三角形中的分类讨论1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为( ) A60 B120 C60或150 D60或120【答案】D；【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以

7、是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答(1)顶角为锐角如图，按题意顶角的度数为60； (2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0不符合题意； (3)顶角为钝角如图，则顶角度数为120，故此题应选D【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是忽视了顶角为120这种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形举一反三：【变式1】已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边【答案】 解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长13337； (2)3为底边长时，则两个腰长的和13310，则一

8、腰长 这样得两组：3，3，7 5，5，3 而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：337，故不能组成三角形，应舍去 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5【变式2】在ABC中，A=40，当B= 时，ABC是等腰三角形【答案】40、70或100提示：分为两种情况：（1）当A是底角，AB=BC，根据等腰三角形的性质求出A=C=40，根据三角形的内角和定理即可求出B；AC=BC，根据等腰三角形的性质得到A=B=40；（2）当A是顶角时，AB=AC，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可求出B类型二、等腰三角形的操作题2、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形（要求标出

9、每个等腰三角形的内角度数）【思路点拨】根据等腰三角形的判定定理在左图ABC中的边BC上取一点D，使BD=AD即可；在右图ABC中的边AC上取一点D，使BD=CD即可【答案与解析】解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使ADB=110，ADC=70，BAD=35，CAD=40，如图（2）所示：在AC上取一点D，使ABD=32，CBD=16，ADB=32， BDC=148【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，关键是根据题意画出图形，注意应先确定等腰三角形的各个角的度数，再根据度数画出图形举一反三：【变式】（2015温州模拟）如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直

10、线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数 【答案】解：如图1：直线把75的角分成25的角和50的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形；如图2，直线把120的角分成80和40的角，则分成的两个三角形都是等腰三角形 类型三、等腰三角形性质与判定的综合应用3、（2016春威海期末）在ABC中，AB=AC，BAC=120，ADBC，垂足为G，且AD=ABEDF=60，其两边分别交边AB，AC于点E，F（1）求证：ABD是等边三角形；（2）求证：BE=AF【思路点拨】（1）连接BD由等腰三角形的性质和已知条件得出BAD=DAC=120=60，再由AD=AB，即可得出结论；（2）由A

11、BD是等边三角形，得出BD=AD，ABD=ADB=60，证出BDE=ADF，由ASA证明BDEADF，得出BE=AF【答案与解析】（1）证明：连接BD，AB=AC，ADBC，BAD=DAC=BAC，BAC=120，BAD=DAC=120=60，AD=AB，ABD是等边三角形；（2）证明：ABD是等边三角形，ABD=ADB=60，BD=ADEDF=60，BDE=ADF，在BDE与ADF中，BDEADF（ASA），BE=AF【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键举一反三：【变式】如图在RtA

12、BC中，ACB=90，B=30，AD是BAC的平分线，DEAB于点E，连接CE，则图中的等腰三角形共有 个【答案】4；提示：根据等腰三角形的判定，由已知可证BAD=CAD=B=30，即证ADB是等腰三角形；又证CD=DE，AE=AC，即证CDE，AEC是等腰三角形；再证ECB=B=30，即证BEC是等腰三角形即图中的等腰三角形共有4个 4、如图，RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为DAF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF【思路点拨】根据三角形的内角和定理得出CAF+CFA=90，FAD+AED=90，根据角平分线和对顶角相等得出CEF=CFE，根据等腰三角形的判定

13、推出即可【答案与解析】 证明：ACB=90，CDAB，CDA=90，CAF+CFA=90，FAD+AED=90，AF平分CAB，CAF=FAD，CFA=AED=CEF，CE=CF【总结升华】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出CEF=CFE举一反三：【变式】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边形的周长为（）A. 30a B. 32a C. 34a D. 无法计算【答案】A；提示：设右下角第二个小的等边三角形的边长是x，则剩下的7个等边三角形的边长是x； x； x+a； x+a； x+2a ；x+2a；

14、 x+3a，根据题意得到方程2x=x+3a，求出x=3a，即可求出围成的六边形的周长类型四、含30角的直角三角形5、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使ACB=15然后朝着旗杆方向前进到点D，测得ADB=30，量得CD=13m，求旗杆AB的高 【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半解答即可【答案与解析】解：ACB=15，ADB=30，CAD=ADB-ACB=30-15=15，即CAD为等腰三角形，AD=CD=13，在ADB中，ABDB，ADB=30，AB=A

15、D=13=6.5(m)【总结升华】本题考查了直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键举一反三：【变式】已知：如图，在RtABC中，C=90，BAD=BAC，过点D作DEAB，DE恰好是ADB的平分线，求证：CD=DB【答案】解：DEAB，AED=BED=90，DE是ADB的平分线，3=4，又DE=DE，BEDAED（ASA），AD=BD，2=B，BAD=2=BAC，1=2=B，AD=BD，又1+2+B=90，B=1=2=30，在直角三角形ACD中，1=30，CD= AD= BD类型五、反证法6、

16、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等【思路点拨】先假设它们的对边相等，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立【答案与解析】 证明：假设它们所对的边相等；则根据等腰三角形的性质定理，“等边对等角”所以等它们所对的角也相等；这就与题设两个角不等相矛盾；因此假设不成立，故原结论成立【总结升华】本题结合等腰三角形的性质考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤举一反三：【变式】用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设 .【答案】三角形三个内角中最多有一个锐角北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择

17、题1如图，在ABC中，若ABAC，BCBD，ADDEEB，则A等于( )A30 B36 C45 D542用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（ ） A. a，b没有一个为0B. a，b只有一个为0C. a，b至多有一个为0D. a，b两个都为03. 如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于F，过F作DEBC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( ) BDF，CEF都是等腰三角形； DEDBCE；ADDEAEABAC； BFCF.A1个B2个 C3个D4个4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A顶角的一半B底角的一半 C90减去顶角的一半D90减去底角的一半5如图

18、，在ABC中，ACB=90，BE平分ABC，EDAB于D如果A=30，AE=6cm，那么CE等于（）Acm B2cm C3cm D4cm6. 如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A3.5B4.2C5.8D7 二.填空题7（2016通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为 8. 用反证法证明“若|a|b|，则ab”时，应假设 9. 等腰三角形的周长为22，其中一边的长是8,则其余两边长分别为_. 10.（2015春盐城校级月考）如图，在RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=4cm动点D从点A出发，以

19、每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，ABD为等腰三角形11如图，钝角三角形纸片ABC中，BAC110，D为AC边的中点现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F若点F恰好在BA的延长线上，则ADF _12. 如图，在ABC中，ABC120，点D、E分别在AC和AB上，且AEEDDBBC，则A的度数为_三.解答题13. 用反证法证明：一条线段只有一个中点14（2016秋宜昌期中）一个等腰三角形的三边长分别为x，2x3，4x6，求这个三角形的周长15.（2015秋东台市期中）如图，ABC中，C=90，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按CABC的路径运

20、动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求ABP的周长（2）问t为何值时，BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按CBAC的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动当t为何值时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分？ 【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】设A，则由题意ADE1802，EDB，BDCBCD90，因为ADEEDBBDC180，所以45.2. 【答案】A； 【解析】由于命题：“a，b至少有一个为0”的反面是：“a，b没有一个为0”，故选A.3. 【答案】C ；【解析】正确.4. 【

21、答案】A； 【解析】解：ABC中，AB=AC，BD是高，ABC=C=在RtBDC中，CBD=90-C=90-=.故选A5. 【答案】C； 【解析】解：EDAB，A=30，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90，BE平分ABC，ED=CE，CE=3cm；故选：C6. 【答案】D; 【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；ABC中，C=90，AC=3，B=30，AB=6，AP的长不能大于6故选D二.填空题7. 【答案】69或21； 【解析】解：分两种情况讨论：若A90，如图1所示：BDAC，A+ABD=90，ABD=48，A=9048=42，AB=AC，ABC=C=（1

22、8042）=69；若A90，如图2所示：同可得：DAB=9048=42，BAC=18042=138，AB=AC，ABC=C=（180138）=21；综上所述：等腰三角形底角的度数为69或21故答案为：69或218. 【答案】a=b； 【解析】a，b的等价关系有a=b，ab两种情况，因而ab的反面是a=b.9. 【答案】7，7或8，6； 【解析】边长为8cm的可能是底边，也可能是腰.10.【答案】5，6，； 【解析】解：在RtABC中，ACB=90，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，由运动可知：AD=t，且ABD时等腰三角形，有三种情况：若AB=AD，则t=5；若BA=BD

23、，则AD=2AC，即t=6；若DA=DB，则在RtBCD中，CD=t3，BC=4，BD=t，即（t3）2+42=t2，解得：t=，综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，11.【答案】40； 【解析】ADFD，FADAFD70，所以ADF40.12.【答案】15； 【解析】设A，BEDEBD2，CBD1202，CBDC30，而AC60，所以30 60，解得15.三.解答题13.【解析】 已知：一条线段AB，M为AB的中点求证：线段AB只有一个中点M证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AMAN，又因为AM=AB=AN=AB，这与AMAN矛盾，所以线段AB只有一个中点M

24、14.【解析】解：x=2x3，则x=3，4x6=6，3+3=6，3、3、6不能构成三角形；x=4x6，则x=2，2x3=1，1、2、2任意两边之和大于第三边，这个三角形的周长为1+2+2=5；2x3=4x6，则x=，2x3=0，此三角形不存在综上可知：这个三角形的周长为515【解析】解：（1）C=90，AB=10cm，BC=6cm，有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按CABC的路径运动，且速度为每秒1cm出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cmC=90，有勾股定理得PB=2cmABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；（2）若P在边AC上时，BC=CP=6

25、cm，此时用的时间为6s，BCP为等腰三角形；若P在AB边上时，有两种情况：若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，所以用的时间为12s，故t=12s时BCP为等腰三角形；若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P运动的路程为187.2=10.8cm，t的时间为10.8s，BCP为等腰三角形；若BP=CP时，则PCB=PBC，ACP+BCP=90，PBC+CAP=90，ACP=CAP，PA=PCPA=PB=5cmP的路程为13cm，所以时间为13s时，BCP为等腰三角形t=6s或13s或12s或 1

26、0.8s 时BCP为等腰三角形；（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8t，AQ=162t，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分，8t+162t=12，t=4；当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t8，AQ=2t16，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分，t8+2t16=12，t=12，当t为4或12秒时，直线PQ把ABC的周长分成相等的两部分北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直角三角形-知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系2. 能够运用勾股定理解决

27、简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：， .（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥

28、拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.（是自然数）是直角三角形的三条边长；（是自然数）是直角三角形的三条边长； （是自然数）是直角三角形的三条边长.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要点

29、三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆

30、命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有

31、直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、（2016春卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个

32、三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形【答案】5或【解析】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长=5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长=，三角形的边长分别为3，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或，故答案为5或【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去2、（2015春黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B

33、与点D重合，折痕为EF，求DE的长【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE从而设BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解【答案与解析】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=ABBE=10 x，ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10 x）2+16x=（cm）答：DE的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC的度数【答案与解析】解： ABAD， A90，在RtABD中， BD4， ，可知ADB30，在BDC中， ， BDC90， AD

34、CADB+BDC30+90120【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理 举一反三：【变式1】ABC三边满足，则ABC是（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D；提示：由题意，因为，所以ABC为直角三角形.【变式2】（2015春厦门校级期末）在四边形ABCD中，AB=AD=2，A=60，BC=2，CD=4求ADC的度数【答案】解：连接BD，AB=AD=2，A=60，ABD是等边三角形，BD=2，ADB=60，BC=2，CD=4，则BD2+C

35、D2=22+42=20，BC2=（2）2=20，BD2+CD2=BC2，BDC=90，ADC=150类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从BCA共走了(10+20)=30，另一只猴子从BDA也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决【答案与解析】解：设树高CD为，则BD10，AD30(10)40，在RtACD中，解得：15答：这棵树高15【总结升华】本题利

36、用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如图所示，由题意可得： ， 在RtAAB中，根据勾股定理得： 则AB15 所以需要爬行的最短路程是155、（2015春武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里它们离开港口1小时后相距20海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，

37、能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=161=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=121=12海里，因为AB=20海里，所以AB2=OB2+OA2，即202=162+122，所以OAB是直角三角形，又因为1=45，所以2=45，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A平行四边形的对角线互相平分 B有两对邻角互补的

38、四边形是平行四边形 C平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等 D两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握举一反三：【变式】下

39、列命题中，逆命题是真命题的是（）A对顶角相等 B如果两个实数相等，那么它们的平方数相等 C等腰三角形两底角相等 D两个全等三角形的对应角相等 【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C类型五、直角三角形全等的判定“HL”7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分DAE，AEBE，垂足为E求证：AD=AE【思路点拨】证明线段相等，可证线段所

40、在的三角形全等，结合本题，证ADBAEB即可【答案与解析】证明：AB=AC，点D是BC的中点，ADB=90，AEEB，E=ADB=90，AB平分DAE，EAB=DAB； 在ADB与AEB中，ADBAEB（AAS），AD=AE【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件8、如图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图过A的直线与斜边BC相交时

41、，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长【答案与解析】（1）证明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，EBA+EAB=90，CAF=EBA，在ABE和CAF中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，ABECAFEA=FC，BE=AFEF=EA+AF（2）解：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，ABE+EAB=90，CAF=ABE，在ABE和CAF中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，ABECAFEA=FC=3，BE=AF=10EF=AF-CF=10-3=7【总结升华】此题根据已知条件容

42、易证明BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道BEAAFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题 北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直角三角形巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1若直角三角形的三边长分别为3，4，则的值为( )A.5B. C.5或D.72（2015诏安县校级模拟）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）Aa=7，b=24，c=25 Ba=1.5，b=2，c=2.5C Da=15，b=8，c=173五根小木棒，其长度分别为7，

43、15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）4. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：能组成一个三角形 能组成三角形能组成直角三角形 能组成直角三角形其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D45.已知如图，ADBC，ABBC，CDDE，CDED，AD2，BC3，则ADE的面积为（） A. 1 B. 2 C. 5 D. 无法确定 6. 下列定理中，有逆定理的是（ ） A四边形的内角和等于360 B同角的余角相等 C全等三角形对应角相等 D在一个三角形中，等边对等角二.填空题7如图，在的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，这样的点

44、C共 个8在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是则_ 9.（2016春普宁市期末）如图，已知ABCD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定ABCDBE，则需要添加的一个条件是 10.（2015春滑县期末）如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为 三角形11. 如图，已知AD是ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BFAC，FDCD.则BAD_.12.在ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PRAB，PSAC，垂足分别是R，S，PR=PS，AQ=PQ，则下面三

45、个结论：AS=AR；PQAR；BRPCSP其中正确的是 三.解答题13.（2016春黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状14.如图，有一直角三角形ABC，C=90，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时ABC才能和APQ全等15.（2015春建昌县期末）已知：如图，有一块RtABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m现在要将这块绿地扩充成等腰ABD，且扩充部分（ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充

46、后等腰ABD的周长（1）在图1中，当AB=AD=10m时，ABD的周长为 ；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，ABD的周长为 ；（3）在图3中，当DA=DB时，求ABD的周长【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】可能是直角边，也可能是斜边.2.【答案】C； 【解析】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意故选：C3.【答案】C；【解析】.4.【答案】C；【解析】因为，两边之和等于第三边

47、，故不能组成一个三角形，错误；因为，所以能组成三角形，正确；因为，所以，即，正确；因为，所以正确.5.【答案】A； 【解析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出ADE的面积过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出RtEDFRtCDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可6. 【答案】D.二.填空题7. 【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求.8【答案】4； 【解析】，故.9【答案】AC=DE；【解析】解：AC=DE，理由是：ABDC，ABC=DBE=90，在RtABC和RtDBE中，RtABCRtDBE（HL）故答

48、案为：AC=DE10.【答案】直角；【解析】解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10ca2+b2+c26a8b10c+50=0即a26a+9+b28b+16+c210c+25=0（a3）2+（b4）2+（c5）2=0a=3，b=4，c=5a2+b2=c2三角形为直角三角形11.【答案】45； 【解析】证ADC与BDF全等，ADBD，ABD为等腰直角三角形.12.【答案】 【解析】解：连接AP，在RtASP和RtARP中，PR=PS，PA=PA，所以RtASPRtARP，所以AS=AR正确；因为AQ=PQ，所以QAP=QPA，又因为RtASPRtARP，所以PAR=PAQ，于是RAP=QPA

49、，所以PQAR正确；BRPCSP，根据现有条件无法确定其全等故答案为：三.解答题13.【解析】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a210a+25）+（b224b+144）+（c226c+169）=0，即：（a5）2+（b12）2+（c13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，52+122=169=132，即a2+b2=c2，C=90，即三角形ABC为直角三角形14.【解析】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：当P运动到AP=BC时，C=QAP=90，在RtABC与RtQPA中，RtABCRtQPA（HL），即AP=BC=5cm；当P运动到与C点重合时，AP=AC，

50、在RtABC与RtQPA中，RtQAPRtBCA（HL），即AP=AC=10cm，当点P与点C重合时，ABC才能和APQ全等综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，ABC才能和APQ全等15.【解析】解：（1）如图1，AB=AD=10m，ACBD，AC=8m，DC=6（m），则ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BDBC=106=4（m），故AD=4（m），则ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，DA=DB，设DC=xm，则AD=（6+x）m，

51、DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，AC=8m，BC=6m，AB=10m，故ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习线段的垂直平分线巩固练习（提高）【巩固练习】一选择题1.如图，在RtACB中，C=90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D若AC=9，则AE的值是（）A、63B、43 C、6D、42.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5 C、4D、33.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP甲、

52、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确4.如图，在RtABC中，C=90，B=30AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BE C、CE=DED、CAE=B5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平

53、分D、CD平分ACB6.（2015秋陆丰市校级期中）如图，点P是ABC内的一点，若PB=PC，则（）A点P在ABC的平分线上 B点P在ACB的平分线上C点P在边AB的垂直平分线上 D点P在边BC的垂直平分线上二填空题7（2016长沙）如图，ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则BCE的周长为 8.如图，在ABC中，B=30，ED垂直平分BC，ED=3则CE长为_9.（2015西宁）如图，RtABC中，B=90，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_10.如图，AB=AC，BAC=120，AB的垂直平分线交

54、BC于点D，那么ADC=_度11.如图:已知,在ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则ADE的周长等于_12.如图，ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则ABD的周长为_cm三解答题： 13.如图，在ABC中，ABC=45，CDAB，BEAC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，ABE=CBE（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA214.（2015秋扬州校级月考）如图，ACB=90，AC=BC，D为ABC外一点，且AD=BD，DEA

55、C交CA的延长线于E点求证：DE=AE+BC15.（2016秋农安县期末）如图，在ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F（1）若CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若MFN=70，求MCN的度数【答案与解析】一选择题1【答案】C；【解析】BE平分ABC，CBE=ABE，ED垂直平分AB于D，EA=EB，A=ABE，CBE=30，BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，AE=6故选C2【答案】B;【解析】直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，PB=PA，而已知线段PA=5，PB=53.【答案】D；【解析】CP是线段

56、AB的中垂线，ABC是等腰三角形，即AC=BC，A=B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，A=ACD，B=BCE，A=B，A=ACD，B=BCE，AC=BC，ACDBCE，AD=EB，AD=DC，EB=CE，AD=DC=EB=CE4【答案】B；【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE故该选项正确；B、因为AEAC，AE=BE，所以ACBE故该选项错误；C、根据等角对等边，得BAE=B=30；根据直角三角形的两个锐角互余，得BAC=60则CAE=BAE=30，根据角平分线的性质，得CE=DE故该选项正确；D、根据C的证明过程故该选项正确5.【答案】A；【解析】AC=AD，BC=B

57、D，点A，B在线段CD的垂直平分线上AB垂直平分CD6.【答案】D；【解析】解：PB=PC，P在线段BC的垂直平分线上，故选D二填空题7.【答案】13；【解析】解：DE是AB的垂直平分线，EA=EB，则BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：138.【答案】6；【解析】ED垂直平分BC，BE=CE，EDB=90，B=30，ED=3，BE=2DE=6，CE=69.【答案】；【解析】解：DE是AC的垂直平分线，CD=AD，AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4x，在RtBCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4x）2，解得x=故答案为：

58、10.【答案】60；【解析】由AB=AC，BAC=120，可得B=30，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而BAD=B=30，从而ADC=60度11.【答案】8；【解析】ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，AD=BD，AE=CEADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8ADE的周长等于812.【答案】13；【解析】AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足AD=DC，AC=2AE=6，ABC的周长为19，AB+BC=13(cm).ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)三解答题13.【解析】证明：

59、（1）CDAB，BEAC，BDH=BEC=CDA=90，ABC=45，BCD=180-90-45=45=ABCDB=DC，BDH=BEC=CDA=90，A+ACD=90，A+HBD=90，HBD=ACD，在DBH和DCA中 DBHDCA（ASA），BH=AC （2）连接CG，ABC=45，CDAB（CDB=90），BCD=45=ABC，DB=CD，F为BC的中点，DF垂直平分BC，BG=CG，ABE=CBE，BEAC，EC=EA，在RtCGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，CE=AE，BG=CG，BG2-GE2=EA214. 【解析】证明：连接CD，AC=BC，AD=BD，C在AB的

60、垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上，CD是AB的垂直平分线，ACB=90，ACD=ACB=45，DEAC，CDE=ACD=45，CE=DE，DE=AE+AC=AE+BC15. 【解析】解：（1）DM、EN分别垂直平分AC和BC，AM=CM，BN=CN，CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，CMN的周长为15cm，AB=15cm；（2）MFN=70，MNF+NMF=18070=110，AMD=NMF，BNE=MNF，AMD+BNE=MNF+NMF=110，A+B=90AMD+90BNE=180110=70，AM=CM，BN=CN，A=ACM，B=BCN，MCN=1802（A+