中国科技大学概率论与数理统计习题集

1、1目录符号表2第一章事件的概率1第二章随机变最及其分布7第三章随机变最的数字特征16第四章参数估计23第五章假设检验2949)仏p)PMU(a,b)N(2)Exp(X)符号表集合X的示性函数.IA(x)=1,当A;IA(x)=0,当xA二项分布，0/?1参数为入的泊松分布区间(a?6)(-ooa6oc)上的均匀分布，概率密度函数/U)=xb)均值为方差为以的正态分布指数分布，均值为1/A.概率密度函数为/(x)=Ae_Ar7(0 xoc) 1第一章事件的概率写出下列随机试验的样本空间：随机抽查10户居民，记录家中有计算机的户数.统计某本书中印刷错误的字数.同时掷n枚锁币.观察国徽向上的个数.以

2、原点为圆心的单位圆内随机抽取点.设有儿B、C三个事件，试用集合运算表示下列事件.只有B发生.(2)A,B发生，但C不发生.(3)至少一个事件发生.(4)至少两个事件发生.仅有两个事件发生.(6)至多一个事件发生.(7)至多两个事件发生.设X为随机变量，其样本空间0,2,记事件4=1/2x1,B=1/4x0/=1,2,”，假设刀：1Pi=l.求这些事件至少有一件不发生的概率.这些事件均不发生的槪率.这些事件恰好发生-件的槪率.假设某厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进-步调试.经调试后的仪器以槪率0.8可以出厂，以槪率0.2被定为不合格品不能出厂.假设该厂生产了n(n2)

3、台仪器(各台生产过程相互独立).试求下列事件的槪率：全部能出厂.恰有两件不能出厂.至少有两件不能出厂.要验收批乐器共100件.从中随机地抽取3件进行测试(设3件乐器的测试相互独立)，如果3件中任意件音色不纯.就拒绝接收这批怎器设件音色不纯的乐器经测试查出的槪率为0.95,而件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的槪率为0.01如果这100件乐器中有4件是音色不纯的问这批乐器被接收的槪率是多少？有甲、乙两只口袋.甲袋中有5只白球2只黑球，乙袋中有4只白球5只黑球.先从甲袋中任取两球放入乙袋，然后再从乙袋中任収-球，求此球是白球的槪率.某工厂的笫一、二、三号车间生产同一种产品，产量各占总产量的1/2,1

4、/3,1/6,次品率分别为1%,1%和2%.现从该厂产品中随机抽取一件产品求该产品是次品的概率.若发现该产品是次品，求它是号车间生产的概率.考卷中的某选择题有四个答案，Jt中只有个是止确的.某考生可能知道哪个是止确的，也可能是乱猜-个.假设此考生知道正确答案的概率为p,而且在不知答案的情况时是随机地选择个答案如果己知他答对了这道题，问他确实知道止确答案的槪率是多少？设有来自三个地区的考生报名表共50份.三个地区分别有10,15和25份.其中-女生的报名表分别为3份，7份和5份，现随机地选个地区，从该地区的报名表中先后抽出2份.求先抽到的1份是女生报名表的概率.己知后抽到的1份是男生报名表，求先

5、抽到的1份是女生报名表的概率.装有m(m3)个白球和n个黑球的罐了中失左-球，但不知是什么颜色的球.为猜测它是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球.结果都得到的是白球，试求失公的球是白球的概率.假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为0.98,而正常人经检查被误诊为有乙肝的概率为0.05,设某城市乙肝患病率为0.05.现从该城市居民中随机抽出一人进行检査，如果其被诊断为乙肝患者，求该人确实患有乙肝的概率.盒中有三枚硬币，一枚是双止面的硬币，另外两枚是正反面硬币(其中一枚是均匀的硬币，一枚是止面出现概率为75%的不均匀硬币).当从这三枚硬币中随机选取-枚抛掷时，它出现正面问它是双正面硬币的概率是多

6、少？假定某种病菌在群体中的带菌率为10%.在检测时.带菌者和不带菌者被检测出阳性的概率分别为0.95和0.01.现有某人被测出呈阳性反应，该人确为带菌者的概率是多少？*该人又独立地做了次检测检测结果依然是阳性，问在两次检测均呈阳性的情况下，该人确为带菌者的槪率是多少？计算机模拟题从区间0：1中任取两个数.由理论计算知此两数的积小于|的概率为|+|ln2.试利用此结论与概率的统计定义.通过计算机模拟对1】2进行估计，比较模拟次数n=1000,5000,10000,100000时与实际值的误差，从这个比较中你是否可以在误差与模拟次数之间建立一个关系？(Buffon试验)平面上划有间隔为d的等距离平

7、行线，向平面上任意投-个长度为I(Zd)的针，由理论计算知针与平行线相交的概率为磊，试利用此结论与概率的统计定义，通过计算机模拟对7T进行估计.第二章随机变量及其分布一个罐了装有m个白球和比个黑球.无放回地抽取r个球(rm+n),记捕到的白球的个数为X,试求X的概率分布.一台设备由三大部件构成，假设各部件的状态相互独立，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10.0.20,0.30.令X表示同时需要调整的部件数.试求X的分布律和至少有-个部件需要调整的概率.袋了中有a个白球，b个黑球.现不放回地每次从袋子中取出一球.直到取出黑球为止，设此时已经取出了个白球，求的概率分布.将-颗f投了连

8、掷两次，以(表示掷出的最小数，求的槪率分布.射于的命中率为p.现其不断地向目标射击，假设各次射击相互独立.以表示笫一次命中目标所需的次数求(的概率分布.以&表示第r次命中目标所需的次数求&的概率分布.设共射击了72次，且第n次射击是命中的，以7/表示这n次射击中命中的次数，求z；的概率分布.同时掷两枚均匀散了直到至少出现个6点为止，求所掷次数的概率分布.某旅馆服务部统计旅客住宿的天数X及其概率分布如下：X1234p0.340.250.250.16试计算X的分布函数,P(X1),P(1X4)和P(X=2).试确定下列p(T)能否成为概率分布p(e)=P&)=晋，小詁I?严+1p(e)=Jf(u)

9、如x=0.1,2.3.设Fi(t)与F2(x)分别为随机变量X与X2的分布函数.为使F(x)=Fi(x)+bF2(+C是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中可取324(A)a=.b=.c=了(B)a=l,6=1.c=1.o假定X服从参数为n和p的二项分布，即X3(心P).在下述情形证明当k取值从0到冗时，P(X=k)先是单调递増，然后单调递减，且最大值点k满足：在(n+l)p是整数的情形,k等于(n+l)p-1或者(n+l)p.在(n+l)p是非整数的情形,k满足(n+l)p_1丘1)=|.试求P(Y1).设昆虫产卵个数服从参数为入的泊松分布，而每个卵孵化成幼虫的概率为卩试求个昆虫产

10、生m个后代的概率.假定X服从参数入的泊松分布，证明当。增加时，P(X=i)先是单调递增.然后单调递减.当2取不超过入的最大整数时得到其最大值.有繁忙的车站，每天有大量的汽车通过，设在一天的某段时间内汽车事故发生率为0.001.若某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问发生事故的次数不少于2的概率是多少？航空公司知道预定航班的人有5%的人最终不来搭乘航班，因此他们的政策是对于-个能容纳50个顾客的航班预售52张票，问每个出现的旅客都有位置的概率是多少？*设为取非负整数值的随机变量，试证明它服从儿何分布的充分必要条件是，对任意非负整数m和a有P(=772+“疋n)=P(g=in).试确定下列各式中

11、的常数c,使这些函数成为概率密度函数:/(x)=celxl,ocxoo.18.fM=fM=cxa|5bxclo./其他.其他.cx2e/a.o./设随机变量X的密度函数为(c(4x2以)，0 x2f(x)=SI0,其他.求常数c求P(l/2X3/2).设随机变量X只在(0,1)中取值，其累积分布函数F(x)满足：对任意0ab1,F(6)-F(a)仅与b-a有关.试证明X服从(0,1)上的均匀分布.设随机变量服从参数为1的指数分布，求方程4*2+钱+2=0有实根的概率.(1)设随机变量EN(o,1),试求P(E2),P(|4|2).设随机变量CN(他a2),试求P(|C川a),P(|“|2a).

12、设随机变量(N(3,4),试求P(23),并确定常数c使得P(|c|0.有P(ESt+吨t)=P(x).*若分布函数F(x)的密度函数f(x)满足微分方程：蛮=3dxb()bix+b-2X2则称F(x)为Pearson型分布.证明止态分布及F分布均为Pearson型分布.设随机变量的概率分布律为-2-1013p1111115651530试求随机变量/=42的概率分布律.设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.求V=ex的概率密度.求/=-21nX的概率密度函数.设随机变量X的概率密度函数为f当、0X7T/U)=开Io,其他.求Y=

13、sinX的概率密度函数.设随机变量服从参数为2的指数分布，试求z?=1-e的概率密度函数.设随机变量N(比戶)，试求/=式的概率密度函数.在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机变量.在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度如电炉就断电.以E表示事件“电炉断电”,而T(2)珂3)如(B)7(2)to(C)(3)to.(D)0(4)0,y0)=-P(X0)=P(Y0)=-.求P(max(X,Y)0)82在-个袋中装有n个球，其中有ni个红球和血个白球、且i+2n,现从中任意取出r个球(rminni,n2),设取出的红球数为X、取出的白球数为Y,试求(X,Y)的联合分布及其边

14、际分布.设随机变量X与”相互独立，下表列出了二维随机变量(X第Y)的联合分布及关于X和关于r的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入衣中的空白处.919293PX=航=Pi.11g21gpy=V=Pj16135设随机向量(X,Y,Z)的概率密度函数为心)=(-(1sinxsin?/sin),x.y,z0.?/0f(崩)=I0,其他.求常数k.求(X,y)的联合分布函数F(x,y).求P(0X1,0y2).设随机变量的联合概率密度函数为：4砂0 x150y10,其他.试求：(1)X与/的边缘槪率密度函数.X=0.4时Y的条件槪率密度函数.P(?f),P(=/),及P(00.5,0.25“1).设

15、二维连续随机变量(X,V)的联合概率密度函数为f孚,以ylP)=0.75|X=0.5).设随机变量X服从(1,2)上的均匀分布，在X=工的条件下，随机变量Y的条件分布是参数为x的指数分布，证明：XY服从参数为1的指数分布.从-副扑克牌(共52张)中任取13张牌,以记其中的黑桃张数，记其中的红桃张数.试求(小)的联合概率分布函数.己知取出的牌中只有1张黑桃，求此时7/的条件概率分布.设某班车起点站上客人数X服从参数为入(A0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0pV1),且中途下车与否相互独立.以Y表示中途下车的人数，求在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率.二维随机变量(X

16、,Y)的概率分布.设随机变量Y服从参数为入=1的指数分布，定义随机变量X*k=L2如下求X1与X2的联合概率分布函数.43.设,耳各有概率分布律k4-101p0.250.50.25丄0.50.5已知P(切=0)=1.试求:U,?)的联合概率函数.(+习,7?)的联合概率函数.Z=max(C,/)的概率分布函数. 1设二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布为: 1求=max(X,Y)的概率分布.求7)=min(X?Y)的概率分布.求(,7?)的联合概率分布.设随机变量和7/的联合分布是止方形G=(x,?/)：1x3:12/3上的均匀分布，试求随机变量=|0,?/0(3,9)=I0,其他.试求U=

17、(X+y)/2和V=Y-X槪率密度函数.0,90其他.47设(X.Y)的概率密度函数为f*仗+心一仗+叫I0./X与Y是否独立？求Z=X+/的槪率密度函数.*设随机变量X的概率密度函数为f(x)=3(x-1)2/(i?2)(x),其中1,1T20,其他.随机变量Y的概率函数是P(Y=-1)=1/6,P(Y=0)=1/3,P(F=1)=1/2,并且x与y独立.设z=x+y,问z是否为连续随机变量？若是，请给出概率密度函数；若否，请说明理由.设随机变量X与Y相互独立，试在以下情况下求Z=X-hY的密度函数：YU(O：1).XU(O,1),YExp(l).设随机变量X与Y相互独立，都服从(0-1/2

18、,0+1/2)上的均匀分布，试证X-Y的分布与0无关.*设随机变量Xi,，X相互独立，且X,Exp(Xi),记X(i)=min(Xi,，X.试证明XzErp(入1+1-An).P(Xi=X)=Ai/(Ai-卜An).设随机变量X与Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，求U=X+Y与U=X/(X+Y)的联合概率密度函数.以上的U和V独立吗？假设随机变量X和/的联合槪率密度函数为c(2x+9),2t6,0?/50,其他.求(1)常数c.(2)x和y的边缘密度函数.P(32).P(X+y4).x和y是否独立？设X1,X2,X3,X4是来自正态总体AT(0,22)的简单随机样本,令T=a(Xi-2X

19、2)2+6(3X3-4X4)2.试求a,b使统计量0服从疋分布.设X1?X2,X9为独立同分布的止态随机变量，记119H=(X1+X6),沟=-(X7+X8+Xg),S2=-工(Xi-2i=7试求z=网：-的分布.设X皿,，是独立同分布的随机变量,服从正态分布JV(0,22).试求疋+疋。2(X+1-X%)的概率分布. 1第三章随机变量的数字特征1.下面列出了三个随机变量&的概率分布0102030込0102030n）-n=l7i=0分别求服从下列概率密度函数之随机变量的数学期望：(1)fW=点exp,8x0,oob.x,0 x1;f(x)=2-1x0a20,其中a0是常数试求分子的平均速度和平

20、均动能(分了的质量为m).假设国际市场每年对我国某种出口产品的需求量X(单位：吨)服从区间(2000,4000)上的均匀分布.设每售出商品1吨，可为国家挣得外汇3万元，但是若销售不出而囤积在仓库中，则每吨需花保养费1万元问要组织多少货源，才能使国家受益最大？某工厂生产的钢珠直径D(单位：厘米)服从9.9J0.1的均匀分布，试求钢珠的表面积S和钢珠重量IF的数学期望(设钢的比重为7.8g/cm3).14审设随机变量具有概率密度函数：畑=开(1+小求Emin(|$|,1).试求第1题中随机变量的方差试求笫5题中各随机变量的方差.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0VpV1),各产品合格与否相

21、互独立,当出现-个不合格产品时即停机检修.设第-次停机时已生产了X个产品.求X的数学期望和方差.is.商店经销某种商品，每周进货的数量x与顾客对该种商品的需求量y是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出件商品可得利润1000元.若需求量超过进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每件商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.设二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布为：01234500.010.050.120.0200.0110.0200.010.050.020.02200.050.100.30.0530.0100.020.010.030.1求

22、X,Y的数学期望与方差.求X+XXXXY的数学期望与方差.求X与Y之间的协方差与相关系数.求E(X2Y=1).设随机变量与7/独立，对任何给定的非负整数k772,在下列各情形下分别求P(=E|+=m)及E(丨+77=m).C与?7服从泊松分布，参数分别为入与E与71都服从二项分布B(隔p).4与可都服从参数为p的几何分布.*设随机变量与7/独立，且服从相同的分布.试在以下各情形求E(+耳=z).为离散型随机变量.4为连续型随机变量-1011/81/81/81/801/81/81/81/8-1设二元离散型随机变量(&)的联合分布如右表，试验证与耳不相关，且与也不独立.在长为a的线段上任取两点.4

23、和试求线段AB长度的数学期望.24设二元随机变量(X.Y)的概率密度函数为yx,0 xl其他.求：(1)fx(x),fY(yy(2)EX,EY：Var(X),Var(y);(3)Cov(X.Y).设两个随机变量X.F相互独立，且都服从均值为0.方差为0.5的止态分布，求随机变量|X-Y的方差.掷两颗均匀骰子，以表示第颗f投了掷出的点数表示两颗散了所掷出的点数中的最大值.求&7?的数学期望与方差.求Cov(&7/).设随机变量相互独立，具有共同分布NS,/).设。,0为两个常数.求Cov(a+0弘a-0乃).当a,0取何值时,M+的与疋-07相互独立.投资组合是将总资本按淀比例分配于各种投资，以

24、分散和降低风险，所谓风险通常以方差来度量.现假设某两种投资的回报率X,/都是随机变量，投资的风险(即方差)为Var(X)=Var(Y)=/.假设pxv=-0.5,即两种投资呈负相关.记投资组合中两种投资的比例分别为7T和1-7F,则投资组合的回报率为z=7TX+(1-7T)y.试证明该投资组合Z的风险小于将所有资本投资于其中一个的风险.求使得投资组合风险最小的分配比例7T.设(X,Y)服从二维正态分布,且有Var(X)=Var(Y)=唬证明当a2=冲/述时随机变量w=X-aY与卩=X+ay相互独立.设二元随机向量($)的概率密度为畑小=+”1(工：)+卩2,9)其中4厲小、炉2(叭9)分别是二

25、元正态”(“1,“2“扇卩)与Ng呢於曲-P)的概率密度函数.其中0“1(1)试分别计算&77的边缘分布.试计算&7/之间的相关系数.试确定之间是否独立？31.设随机变量(&)服从区域A=(x.y):|x|+y1中的均匀分布.求COV(&7/).C与7/是否独立？32.设随机变最(X.Y)的概率密度函数为 #1 #1扣+讪，xl,|vl10:其他，求证X与Y不独立但X2与2相互独立.33.假设二维随机变量(X.Y)服从矩形G=(x.y)|0 x2?07/2),皆服从正态分布N仏以)，其中0.定义71/=工(尤+Xn十-2X)2:=1其中工=试求y的数学期望&)i=l*设，扁为止的、独立同分布的

26、随机变量，证明当1SA：几时E&+&)=土设随机变量X、Y的期望分别为-2和2,方差分别为1和4,相关系数为-0.5,试根据切比雪夫不等式估计PX+F|6某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示随机抽查100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.某电了计算机主机有100个终端，每个终端有15%的可能处于闲置状态，若各终端被使用与否是相互独立的，试求至少有15个终端空闲的概率.某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额(元)服从(300.1500)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的.试求该餐厅每天的平均营

27、业额.该餐厅每天的营业额在平均营业额400元内的概率.(1)个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件止常工作，求整个系统起作用的概率.(2)-个复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成.且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统止常工作.每个部件的可靠性为0.90问几至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假定每箱平均重50千克，标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理计算每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于

28、0.977?设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg,标准差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？某种计算机在进行加法时.要对每个加数进行収整.设每次収整的误差相互独立且服从(-0.5,0.5)上的均匀分布.若现要进行1500次加法运算，求误差总和的绝对值超过15的概率.若要保证误差总和的绝对值不超过10的概率不小于0.90.至多只能进行多少次加法运算？进行1000次独立重复试验，每次试验中事件貝发生的概率为0.25.试问能以95%的把握保证1000次试验中事件.4发生的频率与槪率相差不超过多少？此时A发生的次数在什么范围

29、内？设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，平均需要10分钟，且各产品的组装时间是相互独立的.试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率.保证有95%的可能性，问16小时内最多可以组装多少件产品.家有500间客房的旅馆的每间客房装有台2kw(千瓦)的空调.若开房率为80%,需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机.为调查某城市人口中的吸烟率从独立调查了沱个人.其中no个人抽烟.现用频率no/n来估计p.问至少需要调査多少人，才能以95%的把握保证误差不超过0.01?(提示:p(l-p)21-pi-P23.设X“是总体X的-个简单随机样本，试求在X具有下列概率分

30、布时参数0的矩估计.卩仗；0)=：=02,1,其中0(正整数)是未知参数.U(：)沪(10)”勺=0,1：，71.p(x0,ri)=p(z;0)=仗一1)02(1_0)工一2,2=2,3,；001.1沪心)一丽p(;0)=eeyx=051,2.-x4.设X.，X“是总体X的-个简单随机样本，试求在X具有下列概率密度时参数0的矩估计.(1)f(;0)=0 x0其他.(2)f(x；e)=(0+1)说0X0其他. 1f忌辰10X0l0其他.f一(&+1)xc(c0已知)41f(x；e)=l0其他.5总体X的概率密度函数为x0其他.设Xi,X2,，Xn是取自总体X的简单随机样本.求0的矩估计量求0的方

31、差.(1)设Xi,X2,儿是来自总体X的一个样本，且X服从参数为入的泊松分布.求P(X=0)的极大似然估计.(2)下表统计了某铁路局122个扳道员五年内由于操作失误引起的严重事故情况，其中r表示扳道员某五年内引起严重事故的次数，s表示扳道员人数.假设扳道员由于操作失误在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布.求个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的极大似然估计.r0123456S4442219420试求笫3题各情形下参数的极大似然估计.试求笫4题各情形下参数的极大似然估计.人体中某个基因的形态有三种，分别是每个人的基因型只可能为这三种形态之设总体中该基因的基因型概率分布律如下花其中e0为未

32、知参数.现从总体中随机抽取n个人.其中心个人具有某因型AA.n2个人为Aa,n3个人为试求0的极大似然估计.基因型丄1Aaaa槪率护20(1-0)(1-0)210设总体的概率密度函数如下，试求未知参数的极大似然估计:OOX0.01/2GV0+1/2心=仁其它.如1上2)=1小20,其它.设X1：，Xn是抽自正态总体N(/t,a2)的简单随机样本,其中-oo;/+oo,0为未知参数.求0=P(X2)的极大似然估计.设总体的数学期望为是来自总体X的样本.假设!,an是任意常数且5X1血丰0.验证刀：1arXt/J：；血是“的无偏估计量.设X1,，Xn是来自总体X的一个样本，EX=“,Var(X)=

33、a2.确定常数C使得C刀二；(Xi+i-Xi)2为护的无偏估计.记X.S2分别是样本均值和样本方差.确定常数c使X2-cS2是“2的无偏估计.设从均值为方差为Q的总体中，分别抽収容量为血的两个独立样本.设X1,天2分别是两样本的均值.试证明对于任意常数a,y=aXi+(1-aX2是“的无偏估计，并确定常数a使Y的方差达到最小.设有E台仪器，第分台仪器测量的标准差为6,i=I,-用这些仪器独立地对某一物理量0各测一次，分别得到X1,X2,.设仪器都没有系统误差，即EXi=8.i=,，也问ai,，ak应取何值方能使0=1血X估计0时，0是无偏的，并且Var(0)最小？设Xi,，Xn是抽自均匀分布U

34、(O.c0)的简单随机样本，其中c1为常数,0为未知参数.试求&的极大似然估计.试求0的矩估计，并验证其是否具有无偏性.设Xi：，X“为从下述几何分布中抽出的简单随机样本，P(X=k)=pl-p)kA：=0,L2,0/?1,分别求出pT和p-2的无偏估计. 1假设如第2题,并假定p2=2pi=2p.记p的矩估计为p.现定义厂=石，血=亦3P3= 1试验证它们的无偏性并确定何者的方差最小.一袋中有N个均匀更币.其中&个是普通的fi更币，其余N-8个两面都是止面.现从袋中随机摸出一个把它连掷两次，记下结果，但是不看它属于哪种更币，又把它放回袋中，如此重复72次.如果掷出0,1,2次止面的次数分别是

35、no.ni.n-2次So+m+血=7”，试分别用矩估计法和极大似然法这两种方法估计袋中普通硬币数0.*设Xi,，X”是从总体X中抽出的简单随机样本，已知X服从概率密度函数f(x)=其它,I0其中crO为已知常数，而0是未知参数试求0的矩估计久和极大似然估计验证久，02的无偏性如果不是无偏的话，你是否可以将其修止得到0的无偏估计Aw弘,2?比较岔与焉何者为优(即方差较小).设某种淸漆的9个样品的干燥时间(以小时计)分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设干燥时间服从正态分布N(“02),试在下列两种条件下分别求“的95%置信区间：(1)(72=0.62,(

36、2)启未知.从自动包糖机中随机抽12包糖,测得样本平均值为10.092,样本标准差S=0.2575.设每包糖重服从止态分布，在下列两种情况下求总体均值p的95%置信区间：(1)总体方差戶=0.04.(2)总体方差以未知.某商店每天的投资利润率是随机变暈，它服从止态分布.现随机给出了五天的利润率：-0.2,0.1,0.&060.9,试在下列假设下求平均利润率的95%置信区间：(1)利润率的方差为0.1.(2)利润率的方差未知.假设0.50,1.25.0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知Y=lnX服从正态分布N仏1).求X的数学期望EX(记EX为b).求“的置信度为95%的置信区间

37、.利用上述结果求b的置信度为95%的置信区间.设某种电子管的使用寿命服从止态分布，从中随机抽取15个进行检验.得平均寿命为1950小时，样本标准差为300小时.试以95%的可靠性估计整批电了管平均使用寿命的置信区间.随机地取某种炮弹9发做试验，求得炮口速度的样本标准差=11(m/s),设炮口速度服从正态分布N(丛2),求炮口速度均方差的95%置信区间.一批零件的长度XN(W从这批零件中随机地抽取10件，测得长度值分别为(单位:mm):49.5,50.4.49.7,51.1,49.4,49.7,50.8,49.9.50.3,50.0.在下列条件下求这批零件长度总体方差Q的95%置信区间.(1)p

38、=50mm.(2)“未知.假设用机器包装精盐的重量服从止态分布.现从生产线上随机地抽取10袋，测得其重量为(单位:克):501.5,500.7,492.0.504.7.483.0,512.8,504.0,490.3.486.0,520.0.试在下列条件下求总体方差的0.95的置信区间.(1)p=500g.(2)“未知.现有两种品牌的汕漆，随机地从甲品牌抽出10个样品，从乙品牌抽出9个样品，测得其干燥时间(单位：小时)为：甲品牌：5.7,6.1,5.5,6.9,5.6,6.2,5.3,5.7,5.7：5.8.乙品牌：6.0,5.7,5.&6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0.设这两种品

39、牌汕漆的干燥时间分别服从N(“i,代)，N(“2,於).试在下列假设下求“1-“2的95%置信区间.(1)71=0.651】，0:x0. #1 #1证明：可取X-0作为求0区间估计的枢轴变量，其中=min（Xi,，XJ并据此求出&的1&置信下限.36设Xi,，X几是抽自总体X的简单随机样本.X具有概率密度函数1/伏0.0 x;其他. #1 #1试求0的1-a置信下限（提示：利用max（XwX/0作为枢轴变量）. 1第五章假设检验1样本X1,X”为抽自总体N(“J)的样本考虎如下假设检验问题Hq:=2H:“=3,若检验的拒绝域为w=X2.6当n=20时求检验犯两类错误的概率.如果要使得检验犯第二

40、类错误的概率,33Hi:03：拒绝域取为W=X(n)=maxXi,，X“2.5.求此检验的功效函数和检验水平.为使检验水平达到0.05，样本量n至少应取多大？设样本X1,，Xn抽自参数为入的泊松分布总体.对检验问题Ho：入=*_:入M*10収检验的拒绝域为(X1,，XJ:52X,1或N10求此检验在入=0.25,0.5,1处的分丈函数值，并求出该检验的水平.求犯笫类错误的概率及在入=0.25,0.75处犯第二类错误的概率.根据长期资料分析.钢筋强度服从止态分布.今测得六炉钢生产出钢的强度分别为48.5,49.0,53.5,49.5,56.0,52.5能否认为其强度的均值为52.0(a=0.05

41、)?要求一种元件的平均使用寿命不得低于1000小时.生产者从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时.已知该种元件的寿命服从标准差为a=100小时的正态分布.试在显著性水平a=0.05下检验这批元件是否合格.某工厂生产10欧姆的电阻.根据以往所生产电阻的实际情况，可以认为其电阻值服从正态分布，标准差为0.1.现随机抽取10个电阻，测得阻值为9.9,10.1.10.2.9.7,9.9,9.9,10.10.5,10.1,10.2.问从这些样本我们能否认为该厂生产的电阻的平均值为10欧姆（q=0.05）?7用传统工艺加工的某种水果罐头中每瓶维生素C的含量平均为19亳克，现采用一种

42、新的加工工艺，试图减少在加工过程中对维生素C的破坏，抽查了16瓶罐头，测得维生素C的含量（单位：毫克）为：20.5,21,20,22.5,19,20,23,20.5,18.8,20,19.5,22,18,23,22.已知水果罐头中维生素C的含量服从止态分布.在方差未知的情况下，问新工艺下维生素的含量是否比旧工艺有所提高（Q=0.01）?随机抽収某班25名学生的数学考试成绩，得平均分数为82分.样本标准差为&已知全年级的数学成绩服从止态分布且平均分数为87分试问在显著性水平a=0.05下,能否认为该班的数学平均成绩为87分？某机器制造出来的肥皂厚度为5cm.今欲了解机器性能是否良好，随机抽収10

43、块肥皂为样本，测得平均厚度为5.3cm.标准差为0.3cm,试分别在0.05,0.01的显著性水平下检验机器是否工作良好.为了考察月，B两种制鞋材料的耐磨性，用它们制作了10双鞋，其中每双鞋的两只鞋分别用貝和3两种材料制作（左、右脚两只鞋随机地采用A或BY10个男孩试穿这10双鞋之后的磨损情况如下表所示（数字代表磨损程度），问是否可以认为这两种材料的耐磨性无显著性差异（a=0.05）?男孩12345678910A13.28.210.914.310.76.69.510.88.813.3B14.08.811.214.211.86.49.811.39.313.6个以减肥为主要目的的健美俱乐部声称.参

44、加其训练班至少可以使肥胖者平均减少体重8kg以上.为检验该宣传是否可信，调查人员随机调查了9名参加者，得到他们训练前后的体重数据如下（单位：kg）:训练前104.594.0104.796.491.690.992.099.9109.7训练后94.286.697.591.782.683.881.392.2101.0现假设训练前后人的体重均服从止态分布问在0.05的显著性水平下，是否可以认为该俱乐部的宣传是可信的？在上题中，如果训练前后的数据是对两组人测得的，并假设训练前后的人的体重服从方差相同的止态分布，问在0.05的显著性水平下，是否可以认为该俱乐部的宣传是可信的？装配个部件可以采用不同的方法.

45、现在关心的是哪一种方法的效率更高.现在从两种不同的装配方法中各抽取12件产品，记录各自的装配时间（单位：分钟）如下：甲方法303434353428342631313826乙方法263222263128302231263229假设两总体为止态总体，且方差相等.问这两种方法的装配时间有无显著不同（a=0.05）?某车间生产铜丝，生产一向比较稳定.今从产品中随机抽収10根检查其折断力，得数据如下弹位：kg）:288.8,294.7,300.2,286.6,290.3,280.1,296.4,295.4,290.2,289.2.假设铜丝的折断力服从止态分布，问是否可以相信该车间生产的铜丝的折断力的方差是6（q=0.05）?某考试要求成绩的标准差为12.现从考试成绩单中任意抽取15份.计算样本的标准差为16,设考试成绩服从止态分布，问此次考试的标准差是否符合要求（a=0.05）?为了了解甲、乙