中考数学几何综合题

1、几何综合题复习几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。一、几何论证型综合题例1、(盐城)如图，已知：。0与OO2是等圆，它们相交于A、B两点，。02在OO1上，AC是OO2的直径，直线CB交0O于D,E为AB延长线上一点，连接DE。请你连结AD,证明：AD是OO1的直径；若ZE=60，求证：DE是OO1的切线。分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。证明：E连接AD，VAC是OO2的直径，AB丄DC.ZABD=90。，AAD是OO1的直

2、径证法一：VAD是OO1的直径，AO为AD中点连接O1O2，V点02在OO1上，00与OO2的半径相等，AO1O2=AO1=AO2/.ao1o2是等边三角形，?.ZAO1O2=60由三角形中位线定理得：002DC,?.ZADB=ZAO1O2=60VAB丄DC,ZE=60,.ZBDE=30,ZADE=ZADB+ZBDE=60+30=90。又AD是直径，ADE是OO1的切线证法二：连接002，点02在OO1上,o1与02的半径相等，.点01在oo2AO1O2=AO1=AO2，/.ZO1AO2=60*AB是公共弦，AAB丄0102,AZO1AB=30VZE=60AZADE=180(60+30)=90

3、由(1)知：AD是的00直径，DE是00的切线.说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。练习一如图，梯形ABCD内接于00,ADBC,过点C作00的切线，交BC的延长线于点P,交AD的延长线于点E,若AD=5,AB=6,BC=9。求DC的长；求证：四边形ABCE是平行四边形。已知：如图，AB是00的直径，点P在BA的延长线上，PD切00于点C,BD丄PD,垂足为D,连接BC。D求证：(1)BC平分ZPBD；(2)BC2=ABBDCPAOB图512PC切00于点C,过圆心的割线PAB交00于A、B两点，BE丄PE,垂足为E,BE交00于点D,F是PC上一点，且PF

4、=AF,FA的延长线交00于点G。PCPO求证：(1)ZFGD=2ZPBC；(2),小=.AGAB已知：如图，AABC内接于00,直径CD丄AB,垂足为E。弦BF交CD于点M,交AC于点N,且BF=AC，连结AD、AM,求证：(1)AACM9ABCM；ADBE=DEBC；BM2=MNMF。已知：如图，AABC中，AC=BC,以BC为直径的00交AB于点D,过点D作DE丄AC于点E,交BC的延长线于点F.求证：(1)AD=BD；(2)DF是00的切线.二、几何计算型综合题解这类几何综合题,应该注意以下几点：注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形；灵

5、活运用数学思想与方法.例2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F分别是0A、0B的中点.(1)求证：ADE9ABCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求CF的长.解：(1)V四边形ABCD为矩形，例2题).AD=BC,0A=0C,0B=0D,AC=BD,ADBC,.0A=0B=0C,ZDAE=Z0CB,AZ0CB=Z0BC,AZDAE=ZCBF.又VAE=1OA,BF=1OB,：AE=BF,22ADE9ABCF.（2）解：过点F作FG丄CD于点G,则ZDGF=90,VZDCB=90,AZDGF=ZDCB,又VZFDG=ZBDC,ADFGDBC,.FG_DF_DGBCDBD

6、C由（1）可知DF=3FB，得DF3,D（例2）DB4.FG3DG,FG3,DG6,448GC=DC-DG=8-6=2.在RtAFGC中，CFFG2+GC2=9+4=13.说明：本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。练习二已知：如图，直线PA交00于A、E两点，PA的垂线DC切00于点C,过A点作00的直径AB。求证：AC平分,DAB；若DC=4,DA=2，求00的直径。已知：如图，以RtABC的斜边AB为直径作00,D是00上的点，且有AC=CDO过点C作00的切线，与BD的延长线交于点E,E连结CDoCD试判断BE与CE是否互相垂直?请说明理由；若CD=25，

7、tanZDCE=1，求00的半径长。2如图，AB是00的直径，BC是00的切线，D是00上的一点，且ADC0。(1)求证：AADBsAOBC；(2)若AB=2,BC=2，求AD的长。(结果保留根号)4.如图，AD是ABC的角平分线，延长AD交ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O交AC的延长线于点F，连结EF、DF.1(1)求证：AEFsFED；若AD=6,DE=3,求EF的长；(3)若DFBE，试判断ABE的形状，并说明理由.OiF5.如图，已知四边形ABCD内接于0O,A是BDC的中点，AE丄AC于A,与0O及CB的延长线分别交于点F、E,且BF=AD，EM切0O于M。(2)AC2

8、=2BCCE；如果AB=2,EM=3,求cotZCAD的值。能力提咼1、如图矩形ABCD中，过A,B两点的00切CD于E,求证：ZCEF=ZBAH若BC=2CE=6,求BF的长。如图，00的弦AB=10,P是弦AB所对优弧上的一个动点，tanZAPB=2,若厶APB为直角三角形，求PB的长；P若厶人卩为等腰三角形，求AAPB的面积。OAB如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM丄BE,垂足为M,AM交BD于点F.求证:0E=0F；如图2,若点E在AC的延长线上，AM丄BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变，则结论“0E=0F”还成立

9、吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.如图11，在ABC中，ZABC=90,AB=6,BC=8。以AB为直径的00交AC于D,E是BC的中点，连接ED6并延长交BA的延长线于点F。求证：DE是00的切线;求DB的长；求S“ad：Safdb的值5已知：ABCD的对角线交点为0,点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在0点处，且四边形DEBF为菱形(如图).求证：四边形ABCD是矩形；AB在四边形ABCD中，求的值.BC如图，AB是00的直径，点C在BA的延长线上，CA=A0，点D在00上,ZABD=30.求证：CD是00的切线；若点P在直

10、线AB,0P与00外切于点B,与直线CD相切于点E,设00与0P的半径r分别为r与R,求的值.EREDCAOBp7、知直线L与O相切于点A,直径AB=6,点P在L上移动，连接0P交0O于点C,连接BC并延长BC交直线L于点D.若AP=4，求线段PC的长；（4分）若APA0与ABAD相似，求ZAP0的度数和四边形0ADC的面积.（答案要求保留根号）/阁78、如图7,已知BC是00的直径，AH丄BC,垂足为D,点A为BF的中点，BF交AD于点E,且BEEF=32,AD=6.求证：AE=BE；(2)求DE的长；求BD的长.9、如图1：00的直径为AB,过半径0A的中点G作弦CE丄AB,在CB上取一点

11、D,分别作直线CD、ED交直线AB于点F、Mo求ZC0A和ZFDM的度数；求证：FDMsCOM；如图2：若将垂足G改取为半径0B上任意一点，点D改取在EB上,仍作直线CD、ED,分别交直线AB于点F、M,试判断：此时是否仍有FDMsCOM?证明你的结论。10、已知：如图12,在直角梯形ABCD中，ADBC,BC=5cm,CD=6cm,ZDCB=60,ZABC=90。等边三角形MPN(N为不动点)的边长为acm,边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线1上，NC=8cm。将直角梯形ABCD向左翻折180,翻折一次得到图形，翻折二次得图形，如此翻折下去。（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果

12、此时等边三角形的边长a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？图1211、如图，ABC是等边三角形，00过点B,C，且与BA,CA的延长线分别交于点D,E.弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）若BA=4，CG=2，求BF的长.12、已知：如图，BD是

13、00的直径，过圆上一点A作00的切线交DB的延长线于P,过B点作BCPA交00于C，连结AB、AC。求证：AB二AC；若PA=10,PB=5，求00的半径和AC的长。13、如图，AB是AABC的外接圆00的直径，D是00上的一点，DE丄AB于点E,且DE的延长线分别交AC、00、BC的延长线于F、M、G.求证：AEBE=EFEG；连结BD，若BD丄BC,且EF=MF=2，求AE和MG的长.答案：练习一解：TAD/BC.ABDCDC=AB=6证明：TAD/BC,.ZEDC=ZBCD又TPC与00相切，.ZECD=ZDBC.CDEsbcdDCDE.BCDC.DEDC2BC62.AE=AD+DE=5

14、+4=9.A止BC四边形ABCE是平行四边形。证明：（1）连结0C。TPD切00于点C,又TBD丄PD,.0CBD。?.Z1=Z3o又T0C=0B,?.Z2=Z3o?.Z1=Z2,即BC平分ZPBDo连结ACoTAB是00的直径，ZACB=90又TBD丄PD,ZACB=ZCDB=90.ABCsCBDBC2=ABBD又TZ1=Z2,.AB_BCCBBD(1)连结OCoTPC切00于点C,.OC丄PCoTBE丄PE,0CBEoCzPBEo又TZPBE=ZFGD,.ZP0C=ZFGDoTZP0C=2ZPBC,.ZFGD=2ZPBCo(1)连结BGTAB是的直径，ZAGB=90o又T0C丄PC,ZPC

15、0=90,.ZAGB=ZPC0oG5-1-3图TFP=FA,.ZFPA=ZPAF=ZBAGo.PC0sAAGBoPC_POAGAB4.证明：（1）丁直径仞丄個，二由垂径定理，知仞是弦佔的垂直罕分线-在ACM和砌f中，都是侶的垂直平分线如匕的点，.AMBM.ACBC.又vOlf=GW,AAAdfABOtf.（2）在和翩中*.ZAED=ZCEB=9GP,DAE=BCE.ZAEDsACER.人需二瓠即個低二册册G）连结AF.BFAC,/.RAFAFC,ABFCt,.CBF=ZAFB.由(小有金乂伽兰厶月俪*/,ZCffllf=Z(W,AZ4ffl=Z/VW.在AMV和中，丁ZAJM=ZAtOf,ZA

16、MF=ZNMA,MANAfE4鬻二器，即AhtMNMF./AM-BM,二时=MNMF.5.(1)证法一：连结CD,BC为00的直径，.CD丄ABVAC=BC,AD=BD.证法二：连结CD,BC为00的直径.ZADC=ZBDC=90AC=BC,CD=CD.ACD9ABCD,.AD=BD(2)证法一：连结0D,ADEBOCFAD=BD,0B=0C.0DACDE丄AC.DF丄0DDF是00的切线.证法二：连结0D,OB=OD,/.ZBD0=ZBVZB=ZA,/.ZBD0=ZAVZA+ZADE=90,.ZBDO+ZADE=90Z0DF=90,.DF是00的切线.练习二1.(1)证法一：连结BCAB为0

17、0的直径.ACB=90又7DC切00于C点DCA=BDC丄PE2.DAC=CAB(2)解法一：在RtAADC中，AD=2,DC=4.AC=AD2+DC2=25由(1)得RtAADCsRtAACBABac*ac=adAC2即Ab=ad202=10/.OO的直径为10(1)证法二：连结0C.OA=OC.ACO=CAO又VCD切OO于C点OC丄DCVCD丄PA/OCPA.ACO=DAC.DAC=CAO(2)解法二：过点O作OM丄AE于点M,连结OCVDC切OO于C点/OC丄DC又VDC丄PA四边形OCDM为矩形.OM=DC=4又DC2=DADEDE=8，AE=6，AM=3在RtAAMO中,0A=OM

18、2+AM2=5即OO的直径为10。B宓丄CE.;朋为0的直径，tZACB=9CP.vAC=CDtCE是00的切线,.ECD=ZCW=ZASC.又tZcde二厶*ZCED=AACB=9Cf.二施丄CE.(2)在IUACKE中，vZCED=90jt：*tanDCE=+-设ED=t,JB|C=2A+由勾股定理，得DE2+CE2即*2+4A2=(2/5)2=ZPx4F=10ftao/X=2t代tanZP工-=2.,P2BAB102=2.RtAB0E9RtAAOF.OE=OF*PB=AP2-V+P-71(f+?=575.(2)侧为等BS三角形时有三种情况：B4=PB.方袪一:作CW丄他，垂足为的反向延长

19、线交齐于P計则pa=p3bOT=畑-血=7i?-25|毗今+竽=呼*仏”如时片和1呼二呼I方法二:做线段AB的垂貢平分线，交0于点厲、&由相交孩定理得，P/HE,即25=(P3O+Off)(P3O-OH)=PjO2-耐,解得OH=.以上同方祛一.BABP方袪一:在00上取一点梗BPRA，连结AP4交P.B于G则AP4LPxB,AGP4G./*tanzB4C=tanzP=2.Air设加A趴则W=2*,由川炉+加=硏得、F十4以“00./,k-25*AG=2/5ffiG=475.ASxfB=AP4*BC-x45x4v3=40.方送二:作BG丄讯于6；心沁諾二乙C=2GP4.设CP4=x,则GB=2

20、aSP4-V5x.AB=BP4f：r/5x=lO,a*=275aAP4=2GP4=475.二也3(A40AB=AP与吩BP情况相同，免加二姒3.证明：四边形ABCD是正方形.BOE=A0F=90.0B=0A又TAM丄BE,MEA+MAE=90=AFO+MAEMEA=AFO(2)0E=0F成立证明：四边形ABCD是正方形，B0E=A0F=90.0B=0A又TAM，BE,F+MBF=90=B+0BE又MBF=0BE4.(1)证明：略(2)在RtAABC中，AB=6,325F=E.RtAB0E9RtAAOF.OE=OF.BC2=CDAC：CD=BC=8/.AC=1018AD=5又ADBBDC3218

21、.BD2=ADCD=55.FDAsAFBD24.BD=5(3)VZFDA=ZFBD/AD、.S:S=()2FADFDB5、(1)证明：连结0E四边形ABCD是平行四边形，D0=0B,.DE=BE,E0丄BD/.ZD0E=90即ZDAE=90又四边形ABCD是平行四边形，.四边形ABCD是矩形(2)解：四边形DEBF是菱形D/.ZFDB=ZEDB又由题意知ZEDB=ZEDA由(1)知四边形ABCD是矩形/.ZADF=90。，即ZFDB+ZEDB+ZADE=90ZF=ZF916四边形DEBF是菱形,则ZADB=60.在RtAADB中，有AD:AB=1:3即ABBC6、证明：连结0D、DA,AB是0

22、0的直径，.ZBDA=90又ZABD=30,.AD=1AB=0A2方法一：连结PE，由(1)又AC=A0,Z0DC=90.CD切00于点D又VDE切0P于E,.PEICE知ZDAB=60，又AD=AC.PE=1CP2.ZC=30又PE=BP=R,CA=A0=0B=r.3r=R,即r1R3r2r即R3r+R方法二：连结PE,又TDE切0P于E,.PE丄CEODCO.0DPE=EPCP7、解：(1)l与O相切于点A,.OP2OA2+AP2PLFDOP=OC=1AB=3,AP=42,OP2=3242,OP二5,PC二5-3二2(2)PAOsABAD，且Z1Z2,Z4=Z4=90,2二APO,OB=O

23、C,2二31二2+3,1二2Z2二2ZAPO,4=900,1+ZAPO=9Oo,3APO=9Oo,APO=3Oo在RtABAD中，2=ZAPO=3Oo,AD二6tan3Oo二6x-2二233方法一：过点0作0E丄BC于点E,2=3Oo,BO=3,OE=3,BE=3xcon3Oo=口22,BC二2BE二33,S四边形OADC二SSBADBOC=1ABAD-1BCOETOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12022 HYPERLINK l bookmark9613=_x6x23_x33x HYPERLINK l bookmark10229=6334154方法二：在Rt

24、A0AP中，AP=6tan60o=33,0P=20A=6,，DP=AP一AD=3323=3,PC=OPOC=63=3,过点C作CF丄AP于F,ZCPF=3Oo,cf=2pc=3S四边形OADC=S一SAOAPACDP11=2APA一2DPCF过点C作CF丄AP于F,ZCPF=3Oo,cf=2pc=3过点C作CF丄AP于F,ZCPF=3Oo,cf=2pc=31534&连AF,因A为的BF中点，：ZABE=ZAFB,又ZAFB=ZACB,ZABE=ZACB.BC为直径，：ZBAC=90,AH丄BC,AZBAE=ZACB,AZABE=ZBAE,AE=BE.设DE=x(x0),由AD=6,BE-EF=32,AE-EH=BE-EF,有(6-x)(6+x)=32,由此解得x=2,即DE的长为2.由(1)、(2)有：BE=AE=6-2=4,在RtABDE中，BD=42-2=239、解(1)TAB为直径，CE丄AB.AC=AE,CG=EG在RtACOG中，1TOG=OC2AZOCG=30o,ZCOA=60o又TZCD