2021年全国中考数学几何压轴题

1、2021年全国中考数学压轴题几何篇1（2021安徽）如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AEADEC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AFAB（1）求证：BDEC；（2）若AB1，求AE的长；（3）如图2，连接AG，求证：EGDG=2AG2（2021北京）在ABC中，C90，ACBC，D是AB的中点E为直线AC上一动点，连接DE过点D作DFDE，交直线BC于点F，连接EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AEa，BFb，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明3（20

2、21福建）如图，ADE由ABC绕点A按逆时针方向旋转90得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P（1）求BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且CDFDAC判断DF和PF的数量关系，并证明；求证：=4（2021广州）如图，O为等边ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC（1）求证：DC是ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，DMN的周长有最小值t，

3、随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值2/2805（2021深圳）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BEDG且BEDG小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BEDG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由；（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当EAG与BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BEDG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形

4、ABCD，且2=，AE4，3AB8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值3/280（2）如图2，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD1，BC2求tanAPE（62021广东）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，DAB90，AB是O的直径，CO平分BCD（1）求证：直线CD与O相切；的值OD=2AB7（2021玉林）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OAOBOC2（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）若H是边AB上一点（H与A，B不重合），连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转9

5、0，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G设四边形BGEF的面积为s1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为s2，且s1s2当AB2时，求AH的长4/280（3）若tanOAF=2，求1（82021广西）如图，在ACE中，以AC为直径的O交CE于点D，连接AD，且DAEACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与O相切于点B（1）求证：AP是O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：FADDAE；的值9（2021安顺）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点（1）问题解决：如图，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系

6、是，位置关系是；（2）问题探究：如图eqoac(,)，AOE是将图eqoac(,)中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，eqoac(,PB)判断PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图eqoac(,)，AOE是将图eqoac(,)中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形，连接BO，点P，Q分别为CE，BO的中点，连接PQ，PB若正方形ABCD的边长为eqoac(,1)，求PQB的面积5/28010（2021黔东南州）如图1，ABC和DCE都是等边三角形探究发现（eqoac(,1)）BCD与ACE是否全等？若全等，

7、加以证明；若不全等，请说明理由拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，ADC30，AD3，CD2，求BD的长（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图eqoac(,2)），且ABC和DCE的边长分别为1和2，求ACD的面积及AD的长（“112021黔西南州）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图，线段AB是O的直径，延长AB至点C，使BCOB，点E是线段OB的中点，DEAB交O于点D，点P是O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC（1）求证：CD是O的切线；6/280（2）小明在研究的过程中发现明发现的结论加以证明是一个确定的值回答这个确定

8、的值是多少？并对小12（2021毕节市）如图（1），大正方形的面积可以表示为（a+b）2，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即a2+2ab+b2同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”，（1）用上述“面积法”通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：7/280（2）如图（3），eqoac(,Rt)ABC中，C90，CA3，CB4，CH是斜边AB

9、边上的高用上述“面积法”求CH的长；（3）如图（eqoac(,4)），等腰ABC中，ABAC，点O为底边BC上任意一点，OMAB，ONAC，CHAB，垂足分别为点M，N，H，连接AO，用上述“面积法”求证：OM+ONCH（132021铜仁市）如图，AB是O的直径，C为O上一点，连接AC，CEAB于点E，D是直径AB延长线上一点，且BCEBCD（1）求证：CD是O的切线；（2）若AD8，1=，求CD的长214（2021遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EFDE交射线BA于点F，过点E作MNBC分别交CD、AB于点M、N，作射线

10、DF交射线CA于点G8/280（1）求证：EFDE；（2）当AF2时，求GE的长15（2021河北）如图1和图，在eqoac(,2)ABC中，ABAC，BC8，tanC=4点K在AC边3上，点M，N分别在AB，BC上，且AMCN2点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持APQB（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0 x3及3x9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；，（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角APQ

11、扫描APQ区域（含边界）扫描器9随点P从M到B再到N共用时36秒若AK=4，请直接写出点K被扫描到的总时长16（2021河南）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB，记旋转角为，连9/280接BB，过点D作DE垂直于直线BB，垂足为点E，连接DB，CE（1）如图1，当60时，DEB的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0360且90时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；当以点B，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值17（2021齐齐哈尔）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例

12、如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图）（1）折痕BM（填“是”或“不是”线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出MNE；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，则GBN；拓展延伸：（3）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A处，

13、并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA交ST于点O，连接AT求证：四边形SATA是菱形解决问题：（4）如图，矩形纸片ABCD中，AB10，AD26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，910/280请写出以上4个数值中你认为正确的数值18（2021黑龙江）如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ACB90，ACBC，点D、E分别在AC、BC边上，DCEC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN（1）BE与MN的数量关系是（eqo

14、ac(,2)）将DEC绕点C逆时针旋转到图和图的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图或图进行证明19（2021牡丹江）在等腰ABC中，ABBC，点D，E在射线BA上，BDDE，过点E作EFBC，交射线CA于点F请解答下列问题：11/280（1）当点E在线段AB上，CD是ACB的角平分线时，如图，求证：AE+BCCF；（提示：延长CD，FE交于点M）（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是ACB的角平分线时，如图；当点E在线段BA的延长线上，CD是ACB的外角平分线时，如图，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE2

15、AE6，则CF（202021黑龙江）以RtABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AMBC于M，延长MA交EG于点N（1）如图，若BAC90，ABAC，易证：ENGN；（2）如图，BAC90；如图，BAC90，1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由21（2021绥化）如图，在正方形ABCD中，AB4，点G在边BC上，连接AG，作DE12/280=kAG于点E，BFAG于点F，连接BE、DF，设EDF，EBF，（1）求证：AEBF；（2）求证：tanktan；（3）若点G从点B沿BC边运动至点C停止，求点

16、E，F所经过的路径与边AB围成的图形的面积5，求线段（222021哈尔滨）已知：O是ABC的外接圆，AD为O的直径，ADBC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F（1）如图1，求证：BFC3CAD；（2）如图2，过点D作DGBF交O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BEOH；92（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DGeqoac(,DE)，AOF的面积为CG的长13/280（3）若EF3，tanACE=2时，过A作ANCE交O于M、N两点（M在线段AN（232021鄂州）如图所示：O与ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DEOBDC是O的直径连接OE，过

17、C作CGOE交O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F（1）求证：直线AB与O相切；（2）求证：AEEDACEF；1上），求AN的长（242021恩施州）如图1，AB是O的直径，直线AM与O相切于点A，直线BN与O相切于点B，点C（异于点A）在AM上，点D在O上，且CDCA，延长CD与BN相交于点E，连接AD并延长交BN于点F（1）求证：CE是O的切线；（2）求证：BEEF；（3）如图2，连接EO并延长与O分别相交于点G、H，连接BH若AB6，AC4，求tanBHE14/280（2）若AB3，AD=5，求O的半径25（2021荆门）如图，AC为O的直径，AP为O的切线，M是AP上一点，过点M

18、的直线与O交于点B，D两点，与AC交于点E，连接AB，AD，ABBE（1）求证：ABBM；2426（2021荆州）如图，在矩形ABCD中，AB20，点E是BC边上的一点，将ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时eqoac(,S)GFH：eqoac(,S)AFH2：3，（eqoac(,1)）求证：EGCGFH；（2）求AD的长；（3）求tanGFH的值27（2021武汉）问题背景如图（eqoac(,1)），已知ABCADE，求证：ABDACE；尝试应用如图（eqoac(,2)），在ABC和ADE中，BACDAE90，AB

19、CADE15/28030，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，=3，求的值；拓展创新如图（3），D是ABC内一点，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23，直接写出AD的长28（2021湖北）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A处，得到折痕DE，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C处，点B落在点B处，得到折痕EF，BC交AB于点M，CF交DE于点N，再把纸片展平问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEAD的形状是；（2）如图2，线段MC与ME是否相等？若相等，请给出证明；若

20、不等，请说明理由；（3）如图2，若AC2cm，DC4cm，求DN：EN的值16/28029（2021襄阳）在ABC中，BAC90，ABAC，点D在边BC上，DEDA且DEDA，AE交边BC于点F，连接CE（1）特例发现：如图1，当ADAF时，求证：BDCF；推断：ACE；（2）探究证明：如图2，当ADAF时，请探究ACE的度数是否为定值，并说明理由；于点P，交AC于点K，若CK=3，求DF的长（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当161=时，过点D作AE的垂线，交AE330（2021咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之

21、和为；证明：（2）如图1，MN是O的直径，点A，B，C在O上，AM，CN相交于点D求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，ABBC，ABC60，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由17/28031（2021孝感）已知ABC内接于O，ABAC，ABC的平分线与O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与O过点A的切线交于点F，记BAC（1）如图1，若60，的值为直接写出；（2）如图2，若60，且当O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为；2=3，DE4，求BE的长32（2021常德）已知D是RtABC斜边AB的中点，ACB9

22、0，ABC30，过点D作RtDEF使DEF90，DFE30，连接CE并延长CE到P，使EPCE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：EBEP；EFP30；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：BFD+EFP3018/28033（2021郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，ADC90，AD4点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为（090）（1）如图2，在旋转过程中，判断AGD与CED是否全等，并说明理由；当CECD时，AG与EF交于点H，求GH的长（2）

23、如图3，延长CE交直线AG于点P求证：AGCP；在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由34（2021怀化）如图，在O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CDCA，且D30（1）求证：CD是O的切线BF（2）分别过A、两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G求证：CG2AEBF19/28035（2021娄底）如图，点C在以AB为直径的O上，BD平分ABC交O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E（1）求证：DE与O相切；（2）若AB5，BE4，求BD的长；（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由36（

24、2021湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心20/280、eqoac(,)是否都为定，（1）特例感知：如图（一）已知边长为2的等边ABC的重心为点eqoac(,O)，求OBC与ABC的面积（eqoac(,2)）性质探究：如图（二），已知ABC的重心为点O，请判断值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；若eqoac(,S)CME1，求正方形ABCD的面积21/280（372021湘西州）问题背景：如图1，在四边形ABCD

25、中，BAD90，BCD90，BABC，ABC120，MBN60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CGAE，连接eqoac(,BG)，先证明BCGBAE，再证明BFGBFE，可得出结论，他的结论就是；）探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，BAD90，BCD90，BABC，ABC2MBN，MBN绕B点旋转它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”，不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BABC，BAD+BCD180，

26、ABC2MBN，MBN绕B点旋转它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由；F实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、处且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70试求此时两舰艇之间的距离22/28038（2021岳阳）如图1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度

27、的速度出发，且分别在边CA，AB上沿CA，AB的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P作PEPQ，PE与边BC相交于点E，连接QE（1）如图2，当t5s时，延长EP交边AD于点F求证：AFCE；（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当t4s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分AFP，求9的值39（2021张家界）如图，在RtABC中，ACB90，以AB为直径作O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使BCDA（1）求证：CD为O的切线；（2）若DE平分ADC，且分别

28、交AC，BC于点E，F，当CE2时，求EF的长23/280（402021株洲）AB是O的直径，点C是O上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足BCMBACF，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且CE=3，若O的半径为1，cos=4，（1）如图，求证：直线MN是O的切线；（2）如图，点D在线段BC上，过点D作DHMN于点H，直线DH交O于点E、53求AGED的值41（2021淮安）初步尝试（1）如图，在三角形纸片ABC中，ACBeqoac(,90)，将ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为；思考说理（2）如图，在三角形纸片ABC中，ACBC6，ABeqoa

29、c(,10)，将ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；拓展延伸（3）如图，在三角形纸片ABC中，AB9，BC6，ACB2A，将ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B处，折痕为CM求线段AC的长；若点O是边AC的中点，点P为线段eqoac(,OB)上的一个动点，将APM沿PM折叠得到eqoac(,A)PM，点A的对应点为点A，AM与CP交于点F，求的取值范围24/280上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S，PA、PD、围成的封闭图形的面积（422021连云港）1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EFBC，分别交AB、CD于点E、F若BE2，P

30、Feqoac(,6)，AEP的面积为Seqoac(,1)，CFP的面积为S2，则S1+S2；（2）如图2，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2S1），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EFAD，HGAB，与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2Seqoac(,1)），求PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（4）如图4，点A、B、C、D把O四等分请你在圆内选

31、一点P（点P不在AC、BD1为S2，PBD的面积为Seqoac(,3)，PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）25/28043（2021南京）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短（1）如图，作出点A关于l的对称点A，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C，连接AC、BC，证明AC+CBAC+CB请完成这个证明（2）如果在A、B两个城镇之间规

32、划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）生态保护区是正方形区域，位置如图所示；生态保护区是圆形区域，位置如图所示（1）若DE=3，求S的值；（442021无锡）如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S3（2）设DEx，求S关于x的函数表达式26/280t45（2021苏州）如图，已知MON90，OT是MON的平分线，A是射线OM上一点，OA8cm动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速

33、运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动连接PQ，交OT于点B经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC设运动时间为（s），其中0t8（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由（3）求四边形OPCQ的面积46（2021南通）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线【理解运用】（1）如图，对余四边形ABCD中，AB5，BC6，CD4，连接AC若ACAB，求sinCAD的值；（2）如图，凸四边形ABCD中，ADBD，ADBD，当2CD2+C

34、B2CA2时，判断四27/280边形ABCD是否为对余四边形证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于ABC内部，AEC90+ABC设=u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式（472021泰州）如图，正方形ABCD的边长为6，M为AB的中点，MBE为等边三角形，过点E作ME的垂线分别与边AD、BC相交于点F、G，点P、Q分别在线段EF、BC上运动，且满足PMQ60，连接PQ（eqoac(,1)）求证：MEPMBQ（2）当点Q在线段GC上时，试判断PF+GQ的值是否变化？如果

35、不变，求出这个值，如果变化，请说明理由（3）设QMB，点B关于QM的对称点为B，若点Beqoac(,)落在MPQ的内部，试写出的范围，并说明理由48（2021大连）如图eqoac(,1)，ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BECE，点G在线段CD上，CGCA，GFDE，AFGCDE28/280的值（1）填空：与CAG相等的角是；（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明；（3）若BAC90，ABC2ACD（如图2），求49（2021鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BFAE于点G，交直线CD于点F的值；BC于点N，连接AN，经探究发现（1）

36、当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；如图2，若点E在线段BC的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB3，BC2，求GM的最小值50（2021朝阳）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，M是AC边上的一点，连接BM，作APBM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E（1）如图1，求证：AMCE；（2）如图2，以AM，

37、BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交1=8，请直接写出的值29/280（512021江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在RtABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作RtABD，RtACE，RtBCF，若123，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在RtABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外

38、侧作任意ABD，ACE，BCF，满足123，DEF，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，AEC105，ABC90，AB23，DE2，点P在AE上，ABP30，PE=2，求五边形ABCDE的面积52（2021辽阳）如图，射线AB和射线CB相交于点B，ABC（0180），且ABCB点D是射线CB上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使AEC，连接CE，BE（1）如图，当点D在线段CB上，90时，请直接写出AEB的度数；（2）如图，当点D在线段CB上，120时，请写出线段AE，B

39、E，CE之间的数30/280（3）当120，tanDAB=3时，请直接写出1量关系，并说明理由；的值53（2021徐州）我们知道：如图，点B把线段AC分成两部分，如果=，那么称点B为线段AC的黄金分割点它们的比值为512（1）在图中，若AC20cm，则AB的长为cm；（2）如图，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AEDE），连接BE，作CFBE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P他发现当PB与BC满

40、足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点请猜想小明的发现，并说明理由（2）如图2，若DEDF，求54（2021扬州）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OAOBOCOD2，OC平分BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F（1）求证：OCAD；的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值31/28055（2021丹东）已知：菱形ABCD和菱形ABCD，BADBAD，起始位置点A在边AB上，点B在AB所在直线上，点B在点A的右侧，点B在点A的右侧，连接AC和AC，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转角（0180）（1）如图1，若点A与A重合，且BAD

41、BAD90，求证：BBDD（2）若点A与A不重合，M是AC上一点，当MAMA时，连接BM和AC，BM和AC所在直线相交于点P如图2，当BADBAD90时，请猜想线段BM和线段AC的数量关系及BPC的度数如图3，当BADBAD60时，请求出线段BM和线段AC的数量关系及BPC的度数在的条件下，若点A与AB的中点重合，AB4，AB2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长56（2021阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD2CE），BG的延长线与直线DE交于点H（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BGDE，BGDE；32/280（2）将正方形CEFG绕点C旋转

42、一周如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BHDH=2CH；当DEC45时，若AB3，CE1，请直接写出线段DH的长257（2021锦州）已知AOB和MON都是等腰直角三角形（2MON90OAOMON），AOB（1）如图1：连AM，eqoac(,BN)，求证：AOMBON；（eqoac(,2)）若将MON绕点O顺时针旋转，如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN22ON2；当点A，M，N在同一条直线上时，若OB4，ON3，请直接写出线段BN的长58（2021盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列

43、），连接BE，DG（1）当点F在线段AD上时求证：BEDG；求证：CDFD=2BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点33/2801=25时，请直接写出3的值的四边形的面积为S3，当213159（2021葫芦岛）在等腰ADC和等腰BEC中，ADCBEC90，BCCD，将BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC4，

44、CD2eqoac(,6)，在BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当ACB60时，请直接写出线段OD的长60（2021营口）如图，在矩形ABCD中，ADkAB（k0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AFAE交射线DC于点F（1）如图1，若k1，则AF与AE之间的数量关系是；（2）如图2，若k1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；用含k的式子表示）（3）若AD2AB4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF1时，求EG的长34/28061（2021通辽）中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终

45、点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比eqoac(,)的值；长线于点M，求62（2021包头）如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，eqoac(,Rt)ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rteqoac(,A)BC，AC与AB交于点D（1）如图1，当ABAC时，过点B作BEAC，垂足为E，连接AE求证：ADBD；求（2）如图2，当ACAB时，过点D作DMAB，交BC于点N，交AC的延的值35/28063（2021赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上

46、的一个动点，连接PD，过点P作PEPD，交直线AB于点E，过点P作MNAB，交直线CD于点M，交直线AB于点NAB43，AD4，（1）如图1当点P在线段AC上时，PDM和EPN的数量关系为：PDMEPN；的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值64（2021鄂尔多斯）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上请按要求画图：将ABC绕点A顺时针方向

47、旋转90，点B的对应点为点B，点C36/280的对应点为点C连接BB；在中所画图形中，ABB（2）【问题解决】如图2，在RtABC中，BC1，C90，延长CA到D，使CD1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90到AE，连接DE，求ADE的度数（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，BAEADC，BECE1，CD3，ADkAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）65（2021呼伦贝尔）如图，O是ABC的外接圆，直线EG与O相切于点E，EGBC，连接AE交BC于点D（1）求证：AE平分BAC；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，且DE3，DF2，求AF的长（6620

48、21呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比510.618如图，圆内接正五边形ABCDE，2圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N根据圆与正五边形的37/280对称性，只对部分图形进行研究（其它可同理得出）（eqoac(,1)）求证：ABM是等腰三角形且底角等于eqoac(,36)，并直接说出BAN的形状；=，且其比值k=51（2）求证：2；（3）由对称性知AOBE，由（1）（2）可知的值也是一个黄金分割数，据此求sin1867（2021青海）在ABC中，ABAC，CGBA交BA的延长线于点G特例感知：（1

49、）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B通过观察、测量BF与CG的长度，得到BFCG请给予证明猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DEBA垂足为E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）68（2021滨州）如图，AB

50、是O的直径，AM和BN是它的两条切线，过O上一点E38/280作直线DC，分别交AM、BN于点D、C，且DADE（1）求证：直线CD是O的切线；（2）求证：OA2DECE69（2021菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAOC，OBOD+CD（1）过点A作AEDC交BD于点E，求证：AEBE；（2）如图2，将ABD沿AB翻折得到ABD求证：BDCD；若ADBC，求证：CD22ODBD70（2021济宁）如图，在菱形ABCD中，ABAC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BECG，AF平分EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）（eqoac(,1)）求证：AEHAG

51、H；（2）当AB12，BE4时求DGH周长的最小值；若点O是AC的中点，是否存在直线OH将ACE分成三角形和四边形两部分，其中39/280的值；若不存在，请说明理三角形的面积与四边形的面积比为1：3若存在，请求出由71（2021德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB6，AC4，AD是中线，求AD的取值范围她的做法是：延长AD到E，使DEAD，连接eqoac(,BE)，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（eqoac(,1)）小红证明BEDCAD的判定定理是：；（2）AD的取值范围是；方法运用：（3）如图2，AD是ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并

52、延长交AC于点E，使AEEF，求证：BFAC（4）如图3，在矩形ABCD中，1=，在BD上取一点F，以BF为斜边作RtBEF，2且1=，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EGCG240/2802ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF（722021济南）在等腰ABC中，ACeqoac(,BC)，ADE是直角三角形，DAE90，ADE=1（1）当CAB45时如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出EAB与CBA的数量关系是线段BE与线段CF的数量关系是；（如图2，当顶点D在边AB上时，1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经

53、过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE的中点G，连接AG，eqoac(,CG)，并把CAG绕点C逆时针旋转90，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题（2）当CAB30时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由41/28073（2021东营）如图1，在等腰三角形ABC中，A120，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点（1）观察猜想图1中，线段NM、NP的数量关系是，

54、MNP的大小为（2）探究证明把ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、eqoac(,CE)，判断MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD1，AB3，请求出MNP面积的最大值74（2021临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，ABC60，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N（1）求证：AFEF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，CEF的大小是否变化？为什么？42/28075（2021青岛）已知：如图，在四边形ABCD和RtEBF中，ABCD，

55、CDAB，点C在EB上，ABCEBF90，ABBE8cm，BCBF6cm，延长DC交EF于点M点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s过点P作GHAB于点H，交CD于点G设运动时间为t（s）（0t5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QNAF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由7

56、6（2021日照）阅读理解：如图1，eqoac(,Rt)ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，C90，其外接圆半径为R根据锐角三角函数的定义：sinA=，sinB=，可得=c2R，=即：=2R，（规定sin901）探究活动：如图eqoac(,2)，在锐角ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，其外接圆半径为R，43/280那么：（用、或连接），并说明理由事实上，以上结论适用于任意三角形初步应用：在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，A60，B45，a8，求b综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15，又沿古塔的方向前

57、行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一4）位）（31.732，sin15=6277（2021泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，ACB与ECD恰好为对顶角，ABCCDE90，连接BD，ABBD，点F是线段CE上一点探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BDDF你认为此结论是否成立？（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BDDF，则点F为线段CE的中点请判断此结论是否成立若成立，请写

58、出证明过程；若不成立，请说明理由问题解决：（3）若AB6，CE9，求AD的长44/28078（2021泰安）若ABC和AED均为等腰三角形，且BACEAD90（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CFCD求证：EBDC，EBGBFC79（2021威海）发现规律（1）如图eqoac(,)，ABC与ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F直线BD，AC交于点H求BFC的度数45/280（eqoac(,2)）已知：ABC与ADE的位置如图所示，直线BD，CE交于点F直线BD，AC交于点H若ABCAD

59、E，ACBAED，求BFC的度数应用结论（3）如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段MK，连接NK，OK求线段OK长度的最小值80（2021潍坊）如图eqoac(,1)，在ABC中，A90，ABAC=2+1，点D，E分别在边AB，AC上，且ADAE1，连接eqoac(,DE)现将ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为46/280（0360），如图2，连接CE，BD，CD（1）当0180时，求证：CEBD；（2）如图3，当90时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；（eqoac(,3)）在

60、旋转过程中，求BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数81（2021烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CFCD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由82（2021枣庄）在ABC中，ACB90，CD是中线，ACBC，一个以点D为顶点的45角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，47/280DF与AC交于点M，DE与BC交于点N（1）如图1，若CECF，求证