2022-2023学年人教A版必修第一册 第一章 1.1集合的概念 学案

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第一章 集合与常用逻辑用语11集合的概念素养导引1通过实例了解集合的含义，掌握集合元素的三个特性，初步运用集合元素的特性解决简单问题(数学抽象)2体会元素与集合之间的属于关系，记住并会应用常用数集的表示符号(逻辑推理)3掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法).(数学抽象)4能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合(数学抽象)一、元素与集合的概念元素定义把研究对象统称为元素记法常用小写的拉丁字母a，b，c，表示集合定义一些元素组成的总体叫做集合，简称为集记法常用大写拉丁

2、字母A，B，C，表示集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的集合中元素的特性确定性、互异性和无序性【批注】集合中元素的三个特性(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了其作用是判断一组对象能否构成集合；(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算该集合的一个元素. 其作用是警示我们做题后要检验；(3)无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分如1，2，3和3，2，1构成的集合是同

3、一个集合. 其作用是方便定义集合相等诊断辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)集合中的元素只能是数、点、代数式()提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等(2)高中数学人教A版必修第一册课本上的所有难题能组成一个集合()提示：难题的标准不明确，无法构成一个集合(3)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的()提示：因为这两个集合中的元素是一样的二、元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素，就说a属于集合AaAa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合A诊断(教材P5习题1.1复

4、习巩固T1改编)用符号“”或“”填空：(1)设集合B是小于 eq r(11) 的所有实数的集合，则2 eq r(3) _B，1 eq r(2) _B；【解析】因为2 eq r(3) eq r(12) eq r(11) ，所以2 eq r(3) B；因为(1 eq r(2) )232 eq r(2) 32411，所以1 eq r(2) eq r(11) ，所以1 eq r(2) B.答案： (2)设集合C是满足方程xn21(其中n为正整数)的实数x的集合，则3_C，5_C；【解析】因为n是正整数，所以n213，所以3C；当n2时，n215，所以5C.答案： (3)设集合D是满足方程yx2的有序实

5、数对(x，y)组成的集合，则1_D，(1，1)_D.【解析】因为集合D中的元素是有序实数对(x，y)，但1是数，所以1D；又(1)21，所以(1，1)D.答案：三、常用数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR诊断用“”或“”填空：0_N；1.5_N*；5_Z； eq f(2 022,2 023) _Q； eq r(10) _Q； eq r(5) _R.【解析】由常见数集的符号表示可知：0N；15N*；5Z； eq f(2 022,2 023) Q； eq r(10) Q； eq r(5) R.答案：四、集合的表示方法1列举法把集合的所有元素一一列

6、举出来，并用花括号“_”括起来表示集合的方法叫做列举法2描述法前提条件A是一个集合要表示的集合集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合形式xA|P(x)结论对于任何y eq blcrc(avs4alco1(xA|P（x）) ，都有yA且P(y)成立诊断(教材P5练习T3改编)用适当的方法表示下列集合：(1)由大于2且小于100的实数组成的集合(2)不等式3x21的解集(3)一次函数yx1与y eq f(2,3) x eq f(4,3) 的图象的交点组成的集合【解析】(1)所求集合为x|2x100(2)解不等式3x21得x1，故所求解集为x|x1(3)方程组 eq blc(avs4a

7、lco1(xy1,2x3y4) 的解是 eq blc(avs4alco1(xf(7,5),yf(2,5) ，所求集合为 eq blcrc(avs4alco1(（f(7,5)，f(2,5)）) .学习任务一集合的基本概念(数学抽象)1(2022泰州高一检测)用“book”中的字母构成的集合中元素个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选C.用“book”中的字母构成的集合中含有b，o，k三个元素2在2022年女足亚洲杯比赛中，下列能构成集合的是()A所有著名运动员B获得前四名的球队C比较受欢迎的球队D参加比赛的所有高个子队员【解析】选B.对于A，所有著名运动员，没有一个确定的标准，不满足集合元素

8、的确定性，故A不能构成集合；对于B，获得前四名的球队是确定的，能构成一个集合；对于C，比较受欢迎的球队，没有一个确定的标准，不满足集合元素的确定性，故C不能构成集合；对于D，参加比赛的所有高个子队员，没有一个确定的标准，不满足集合元素的确定性，故D不能构成一个集合3下列各组中，集合P与Q相等的是()AP是由元素1， eq r(3) ，构成的集合，Q是由元素，1，| eq r(3) |构成的集合BP是由构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合CP是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合DP是满足不等式1x1的自然数构成的集合，Q是方程x21的解集【解析】选A.由于A中P，Q的

9、元素完全相同，所以P与Q相等，而B，C，D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不相等判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合(2)注意集合中元素的互异性、无序性学习任务二元素与集合的关系(逻辑推理)1(多选题)下列结论中，正确的是()A若aN，则 eq f(1,a) NB若aZ，则a2ZC若aQ，则|a|QD若aR，则 eq r(3,a) R【解析】选BCD.A不正确，反例：a1N， eq f(1,a) 1N；B正确，因为整数的平方仍是整数；

10、C正确，因为有理数的绝对值仍是有理数；D正确，因为实数的立方根仍是实数2(多选题)已知集合A中元素满足x3k1，kZ，则下列表示正确的是()A2A B11AC3k21A D34A【解析】选BC.令3k12，解得k eq f(1,3) ， eq f(1,3) Z，所以2A；令3k111，解得k eq f(10,3) ， eq f(10,3) Z，所以11A；因为k2Z，所以3k21A；令3k134，解得k11，11Z，所以34A.3(2022重庆高一检测)若21，a，a22，则a_【解析】由已知得，a2或a222，当a2时，a222，不满足互异性，所以a2；当a222时，a2或a2(舍)，所以a

11、2.答案：2判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法使用前提：集合中的元素是直接给出的；判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可(2)推理法使用前提：对于某些不便直接表示的集合；判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可学习任务三集合的表示方法(数学抽象)【典例】用适当的方法表示下列集合：(1)满足不等式3x22x1的实数x组成的集合；【解析】因为3x22x1，所以x1.故可用描述法表示为x|x1(2)方程组 eq blc(avs4alco1(2x3y14，,3x2y8) 的解集；【解析】解方程组 eq

12、blc(avs4alco1(2x3y14，,3x2y8，) 得 eq blc(avs4alco1(x4，,y2.) 故解集可用描述法表示为 eq blcrc(avs4alco1(（x，y）|blc(avs4alco1(x4，,y2) ，也可用列举法表示为(4，2) (3)方程x22x10的实数根组成的集合；【解析】方程x22x10有两个相等的实数根1，因此可用列举法表示为1，也可用描述法表示为xR|x22x10 (4)平面直角坐标系中函数yx2图象上的所有点构成的集合【解析】函数yx2图象上的点可以用坐标(x，y)表示故可用描述法表示为(x，y)|yx21用列举法表示集合的三个步骤(1)求出集

13、合的元素(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次(3)用花括号括起来2描述法表示集合的两个步骤用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于2的整数组成的集合A；【解析】绝对值不大于2，则|x|2，但元素为整数，故|x|2，xZ.所以绝对值不大于2的整数组成的集合A2，1，0，1，2或xZ|x|2 (2)被3除余2的正整数的集合B；【解析】设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ.但元素为正整数，故x3n2，nN.所以被3除余2的正整数的集合Bx|x3n2，nN (3)函数y2x1的图象与y轴的交点所组成的集合；【解析】将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是(0

14、，1) (4)平面直角坐标系中第二象限内的点所组成的集合D.【解析】平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x0，y0，故第二象限内的点所组成的集合为D(x，y)|x0，y0学习任务集合与方程的综合问题(逻辑推理)【典例】已知集合AxR|ax22x10，其中aR.(1)1是A中的一个元素，用列举法表示A；(2)若A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B.【解题思维】观察(1)1是A中的一个元素(2)若A中有且仅有一个元素联想(1)1是方程ax22x10的一个实数根(2)方程ax22x10只有一个实数根转化(1)若1A，则a3，解方程可用列举法表示A(2)若A中有且仅有一个元

15、素，分a0，和a0且0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B【解析】(1)因为1是A中的元素，所以1是方程ax22x10的一个根，所以a210，即a3，此时Ax|3x22x10所以x11，x2 eq f(1,3) ，所以此时集合A eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)，1) .(2)若a0，方程化为2x10，此时方程有且仅有一个根x eq f(1,2) ，若a0，则当且仅当方程的判别式44a0，即a1时方程有两个相等的实根x1x21，此时集合A中有且仅有一个元素，所以所求集合B0，1根据已知的集合求参数的关注点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合中的元素个数问题转化为方程的根的个数问题(2)a0这种情况极易被忽视，对于方程“ax22x10”有两种情况