理论力学(周衍柏第三版)思考题习题答案

1、学习必珞欢迎下载学习必备欢迎下载第一章思考题解答1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔f内位矢人小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿对应的轨迹割线方向：瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。在to的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二考也一致的。1.2答：质点运动时，径向速度V,和横向速度Ve的人小、方向都改变，而匕中的F只反映了V,.本身犬小的改变，中的rOrO只是V。本身大小的改变。爭实上，横向速度必方向的改变会引起径向速度V,大小人改变，厂就是反映这种改变的加速度分量；经向速度V,.的方向改变也引起的犬小改变

2、，另一个片9即为反映这种改变的加速度分量，故ar=f-rOci0=r6+2r6.。这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a恒位于密切面内，速度V总是沿轨迹的切线方向，而仇垂直于V指向曲线凹陷一方，故d“总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时，,=O,/；HOz何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力F，还受到被动的约反作用力R，二者在副法线方向的分量成平衡力仇+&,=0,故,=0符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的

3、反作用力。有人也许还会问：某时刻若你与他大小不等，,就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来你所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足Fh+Rh=0即ah=Oa这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。1.4答：质点在直线运动中只有而无色，质点的匀速曲线运动中只有匕而无；质点作变速运动时即有又有。1.5答：辛即反应位矢r人小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而少只表示r人小的改变。如在极坐标系中，虫=用+厂&而0=尸。在直线运动中，规dtdtdt定了直线的正方向

4、后，=dtO且0的正负可表示0的指向,dtdtdt二者都可表示质点的运动速度;dr在曲线运动中纟工,且dtdt务也表示不了裁指向,二者完全不同。空表示质点运动速度的人小，方向的改变是加速度矢量，而竺只是质点运动速度人小dtdt的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，=ar+a,而彳=碍。dtdt1.6：不论人是静止投篮还是运动投篮，球对地的方向总应指向篮筐，其速度合成如题16题16图图所示，故人以速度V向球网前进时应向高于篮筐的方向投出。静止投篮是直接向篮筐投出，（事实上要稍高一点，使球的运动有一定弧度，便于投篮）。1.7答：火车中的人看

5、雨点的运动，是雨点的匀速卞落运动及向右以加速度d的匀速水平直线运动的合成运动如题1.7图所示，题17图oxy是固定于车的坐标系，雨点相对车的加速度a=a，其相对运动方程q”=2at消yr=vt去f的轨迹a如题图，有人会问：车上的人看雨点的轨迹是向上凹而不是向下凹呢？因加速度总是在曲线凹向的内侧，a垂直于V方向的分量a；在改变着V的方向，该轨迹上凹。1.8答：设人发觉干落水时，船已上行*,上行时船的绝对速度vf,.-v4.,则*=V水）x2船反向追赶竿的速度V+U，k，设从反船到追上竿共用时间f，贝iJ（V船+V水）t=600+s又竿与水同速，则匕K（2+r）=600十逾得yI5（y水/min1

6、.9答：不一定一致，因为是改变物体运动速度的外因，而不是产生速度的原因，加速度的方向与合外力的方向一致。外力不但改变速度的人小还改变速度的方向，在曲线运动中外力与速度的方向肯定不一致，只是在加速度直线运动二者的方向一致。1.10答：当速度与物体受的合外力同一方位线且力矢的方位线不变时，物体作直线运动。在曲线运动中若初速度方向与力的方向不一致，物体沿出速度的方向减速运动，以后各时刻既可沿初速度方向运动，也可沿力的方向运动，如以一定初速度上抛的物体，开始时及上升过程中初速度的方向运动，到达最高点下落过程中沿力的方向运动。在曲线运动中初速度的方向与外力的方向不一致，物体初时刻速度沿初速度的反方向，但

7、以后既不会沿初速度的方向也不会沿外力的方向运动，外力不断改变物体的运动方向，各时刻的运动方向与外力的方向及初速度的方向都有关。如斜抛物体初速度的方向与重力的方向不一致，重力的方向决定了轨道的形状开II下凹，初速度的方向决定了射高和射程。1.11答：质点仅因重力作用沿光滑静止曲线下滑，达到任意点的速度只和初末时刻的高度差有关，因重力是保守力，而光滑静止曲线给予质点的发向约束力不做功，因此有此结论假如曲线不是光滑的，质点还受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不仅与初末位置有关，还与路径有关，故质点到达任一点的速度不仅与初末高度差有关，还与曲线形状有关。1.12答：质点被约束在一光滑静止的

8、曲线上运动时，约束力的方向总是垂直于质点的运动方向，故约束力不做功，动能定理或能量枳分中不含约束力，故不能求出约束力。但用动能定理或能量积分可求出质点在某位置的速度，从而得出d”，有牛顿运动方程代+R“=man学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载便可求出即为约束力1.13答：动量p=mv=l-+2+=4（蘇）动能T=-mv22=lxlx232+22V3=8（-/w）1.14答:J=rx/z/v=k3Vb=（2V3-6）+（9-V3）j+（2-6XJQ=7（23-6）2+（9-V3）2+（-4）28.671.15答：动量矩守恒意味着外力矩为零，但并不意味着外力也为零，故动量矩守恒并不意味着动量也守恒

9、。如质点受有心力作用而运动动量矩守恒是由于力过力心，力对力心的矩为零，但这质点受的力并不为零，故动量不守恒，速度的人小和方向每时每刻都在改变。1.16答：若F=F(r)，在球坐标系中有rddd石丽d（pF（A00VxF=66dxdyF（r）-尸（护rr由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有VxF=0的关系。在直角坐标系中r=xi+)j+zkf(r)=化(M+Fv(/)j+耳(厂)k=VxF（r）Vl+VJ+k=VxVxF（r）-=Vxrr事实上据y算符的性质，上述证明完全可以简写为VxF=VxF（r）r=0这表明有心力场是无旋场记保守立场1.17答

10、平方反比力场中系统的势能卩（广）=_也，其势能曲线如题图1.17图所示,由卩+V（r）=E知T=E-V（“因T0,故有EV（r）。若EvO，其势能曲线对应于近口点厂.和远口点厂之间的一段。近口点处、vminmaxf_y（r）_T即为进入轨道需要的初动能若0则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；若二0位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近口点，即对大的厂质点的运动是无界的，当广很人时V（r）-0还是选无限远为零势点的缘故，从图中町知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要人。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初

11、动能的犬小由，0k2m-.mv=0rr讨上rk2一即速度V的人小就决定了轨道的形状，图中卫对应于进入轨道时的达到第一二三宇学习必备:卜学习必备:卜宙速度所需的能量由于物体总是有限度的，故厂有一极小值尺.，既相互作用的二质点不可能无限接近，对于人造卫星的发射尺，其为地球半径。To=-V（r）为地面上发射时所需的初动能，图示丁皿皿分别为使卫星进入轨道时达到一二三宇宙速度在地面上的发射动能。（ro/-Tt）i=1,2,3.为进入轨道前克服里及空气阻力做功所需的能量。1.18答：地球附近的物体都受到随地球自转引起的惯性离心力的作用，此力的方位线平行于赤道平面，指向背离地轴。人造地球卫星的轨道平面和地球

12、赤道平面的夹角越人，则卫星的惯性离心力与轨道平面的家教越大，运动中受的影响也越人，对卫星导向控制系统的要求越高。交角越人，对地球的直接探测面枳越犬，其科学使用价值越高。1.19答：对库仑引力场有丄mv2-=E,其中kf=若V艺，则，E0,轨道是双2r4加1曲线的一点，与斥力情况相同，卢瑟福公式也适用，不同的是引力情况卞力心在双曲线凹陷方位内侧；若V2,则E的情况下即可得卢瑟福公式。近代物理学的正,r负粒子的对撞试验町验证这一结论的近似正确性。第一章习题解答1.1由题可知示意图如题1.1.1图：sS题111图设开始计时的时刻速度为，由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为则有：学习必备欢迎下载学习

13、必备欢迎下载$=忖1_知2s=VoOi+2)_尹1+t2)2由以上两式得再由此式得证明完毕.1.2解由题可知，以灯塔为坐标原点建立克角坐标如题1.2.1图.4r0巾=-15”。+1|一15/则A3船间距离的平方d2=(xA-xBY+(yA-yBY即r/、q2j2=(15r0-i5r)2+155+115/Lv2丿.=450/2一(goo/。+675#+225“+225(r0+1=900/（9005+675）dtAB船相距最近，即所以dt3.一r即午后45分钟时两船相距最近最近距离5nin1.3解（1）如题1.3.2图G3）2/+I4丿15x2-15x2422km题132图由题分析可知，点C的坐标

14、为(x=rcos(p+acosy/y=asin0又由于在中，有丄=仝_(正弦定理)所以sill0S1H02asin02ysui(p=rr联立以上各式运用sni2(p+cos2(p=1由此可得COS0=得得化简整理可得,2-=14y2x1+a2-y2十+-3j2+x2+a2-r2=2xy/a2-y2_,2）=（兀2+3）,2+口2_,.2j2此即为C点的轨道方程.x=-ra)sm(p-SCOS02cos0S1U0rcocQScp其中乂因为对两边分别求导故有厂sin。=2csin0rcocQscp所以(SS1H0、2rfycosc?.S11102cos0丿22rcocos+4（2）要求c点的速度，

15、分别求导=Jcos?0+4sin0cos0sin(0+0)2cos01.4解如题1.4.1图所示，第14题图OL绕O点以匀角速度转动，c在43上滑动，因此C点有一个垂直杆的速度分量v=a)xOC=a)yjd2+x2C点速度v=丄=COS&3心心d乂因为0=o）所以c点加速度dvIt=axl2sec。sec&tan0=2dco2sec20tan0=2cox(d+x2)1.5解由题可知，变加速度表示为a=c1m1-SU12卩丿由加速度的微分形式我们可知dvCl=dt代入得对等式两边同时积分可得:cos务+D5为常数）代入初始条件：f=o时，v=故即dsv=clt乂因为所以2Tt4-加1、COS12

16、T/、厶)71ds=cdt对等式两边同时积分可得:1.6解由题可知质点的位矢速度v=Ar沿垂直于位矢速度丄=M乂因为)f/=r=加，即r=Arv=R-=“9即6=耳a=A(it)-|-_SL(r)(取位矢方向,垂直位矢方向/)dtdtdt所以3(h)=兰】+i岂=说+询dt7dtdt软切=罟乡+丄罟八丄皤处学习必珞欢迎下载学习必珞欢迎下载8=（尸-心+卜0+2咧即沿位矢方向加速度a=-rO）垂直位矢方向加速度5=（用+2朋）对求导r=Ar=22r对求导把代入式中可得1.7解由题可知scosOy=rsm0对求导x=rcosO-rsiii60对求导x=rcosO-2rsiii0-r6siii0-r

17、O2cos。对求导y=户sin&+厂OcosC：对求导y=尸sin&+2“cos&+朋cos。一siii0&1对于加速度-我们有如下关系见题1.7.1图学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载x=arcos0+adsm0y=arsin&+cos。对俩式分别作如下处理：xcosC，xsin。即得JjCcosO=arcos0-cidsin&cos8|Z-,1$sin0=sin8+aesmOcqsO+得ar=xcos0+ysin。）把代入（11）得cir=r-r0同理可得ae=/0+2/01.8解以焦点尸为坐标原点，运动如题1.8.1图所示则m点坐标x=rcQsOy=rsin对兀y两式分别求导x=cos。一

18、广Qsin&-JW厂ara2(l-e2)e2r2-r2+2ar(i-e2)l-e寧（2-彷V=器ga_A（其中b2=（l-e2）a2,b为椭圆的半短轴）1.9证质点作平面运动，设速度表达式为V=VJ+VyJ令为位矢与轴正向的夹角，所以a=叫j+vdtdtdtxdtdtJ所以-vOi+dt丿企、dtdvxad叫dvx山、dt)dtydtydt又因为速率保持为常数，即V2.v+V2y=C,C为常数对等式两边求导d叭2vvdtd.+2%力“所以c1v=0即速度矢量与加速度矢量正交.1.10解由题可知运动轨迹如题110.1图所示,则质点切向加速度at=dt法向加速度a=兰，而且有关系式nP色=-2k兰

19、dtp又因为丄=阴，p(i+y于学习必珞欢迎下载学习必珞欢迎下载y2=2px所以联立rPL色一dtzdvdvdv.dv=ydtdvdtdv把y2=2px两边对时间求导得乂因为所以把代入r=x+yV=7i+既可化为对等式两边积分f空一2切厂*VJP所以1.11解由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示题图Van=一=asinadvat=acosa两式相比得v12证由题1.11可知质点运动有关系式=asinardv=acosa.dt1dv=rsillacosadt对等式两边分别积分r1.严dv-coxadt=Jo/-J%v11t一=cotavv0r此即质点的速度随时间而变化的规律.学习必备欢

20、迎下载学习必备欢迎下载所以少=巴.空=巴血，联立，有dtdOdtdOdvvcd=cosadOrsilica乂因为v=cor所以=cog&，对等式两边分别积分，利用初始条件=0时，0=0.vv=%wdo）cota1.13证（q）当v0=0即空气相对地面上静止的有v绝=%+v牵.式中绝质点相对静止参考系的绝对速度，V|I1指向点运动参考系的速度，烁指运动参考系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度：“绝二，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机來回飞行的总时间2/t=05）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度当飞机向西飞行时速度飞行时间故來回飞行时间/2v7t=t+t2=+=7+%V-v

21、0V-V-同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间(c)假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图题1.13J图所以来回飞行的总时间同理可证空气速度向南时，來回飞行总时间仍为01.14解正方形如题1.14.1图。由题可知“牵=%=2Skm/h设风速Atv4i|=100km/当E机学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学习必希欢迎下载4t夕儿=(100+2S)km/h=12Skm/hB),v2=J100,-28,m/h=96km/hCt=(100-28)hn/7=72km/hD人二71002-282W/?=96km/h故飞机沿此边长6W/J正方形飞行一周所需总时间66661128967296丿

22、丝i沁19216匚二题亘坯2图二二题1.143图115解船停止时，干湿分界线在蓬前3,由题画出速度示意图如题151图题1.15.1图雨绝=vwi+v%二術绝sin(a+0)sin(7r-a-0-刃乂因为0+7=彳，所以怙绝SU1(6Z+0)COS6Z%=由图可知421cosa=(=.cosa=V42+22a/5a/5sinP=丰,cos0=彳%绝=8加/$所以%绝(sinacos0+sin0cosa)二$f%cosa心Ox1.16解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴建立如题1.16.1图所示坐标系所以水流速度乂因为河流中心处水流速度为Cc=kxl=kx所以k=号。当0)，时,dx_2cy=ut

23、得dx=tdt两边积分d学习必珞欢迎下载学习必珞欢迎下载联立，得X=yOyfnd2丿同理当dnyn0时y=-(J-y)即2d钦_y)=钦刖j*dx=J号(d-ut)dt冷一斗+砂为一常数)uud由知，当y=0时，2理代入得24u2w有2ccyx=yldyd所以船的轨迹udV2ccx=y_uuax=彳0yycd(d.y5d2八2丿船在对岸的了；靠拢地点，即）d时有x=丿2u1.17解以a为极点，岸为极轴建立极坐标如题17.1图.学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学门必备w:卜即船沿垂直于I的方向的速度为_Gsine，船沿径向r方向的速度为C、和G沿径向的分量的合成，即r=-Csin。at-/得=C

24、cosdt=-coi（pd（p、CLsill（p丿对两积分:Inr=C2liitally-Insin0+C设計务心常数,即liir=liisuta2cosa+1a代入初始条件心几时，申=佻设鱼=务,有C=li5_ln,得22cos18解如题1.18.1图a0L-lsuiacosA+1acosa0i-isina0题1.18.1图质点沿少下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为=gcos&.设竖直线OB=h1斜槽OA=sf易知Z.OBA=-a,ZOAB=0+a,f由正弦定理22力（7t）.（兀）snia2JU丿hcosacos(。-a)乂因为质点沿光滑面04下滑，即质点做匀速直线运动.所以A宀弱

25、cos炉有扌gcos&cos(e_QF-hcosa=0欲使质点到达4点时间最短，由尸=如孚一可知，只需求出gcos8cos(0-a)cos0cos(&-G)的极大值即可，令y=cos&cos&-Q=cos&(cos&cosq+sinOsina)y=cosacos19解质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段取向上为正各力示意图如题1.19.1图，0+sin2&sino2dy=2cos&(-sin0)cosa+cos2&2sinadO)2极大值时空=0,故有dOtan。=sin2。由于是斜面的夹角，即0ZaZ-OZZ-22所以则两个过程的运动方程为:上升下降：对上升阶段：即对两边积分所以即质点到

26、达的高度.对下降阶段：上升时下降时题1.19.1图my=-mg-ink2gy2-my=-mg+ink2gy2务=-g(l+E)dvdyvdv/石矿石r(l+E)I：爲TFh=111(1+k2VQ)2kgdvdyvdv.“由二可得1.20解作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.题1.20.1图水平方向不受外力，作匀速直线运动有dcos/?=v0cosa竖直方向作上抛运动，有dsinfi=v0sin2T-i由得dcos0%cosa代入化简可得2vjcosasin(a-0)dgcosp(1(1巫=因为子弹的运动轨迹与发射时仰角a有关，即是a的函数，所以要求的最大值把d对a求导，求出极值点.-sin

27、asin(a-0)+cosacos(a-0)=0gcospsmasm(a-0)=cosacos(a-0)cos(2a-/7)=0所以a旦上,代入的表达式中可得:42max2Xgeos：PpIJSU1此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离d的最大值1.21解阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.yOX题1.21.1图轨道的切线方向上有：m=-inkv一mgsin。dt轨道的法线方向上有：m=mgcosQ丿r由于角是在减小的，故r=-dO由于初末状态由速度与水平方向夹角&來确定，故我们要想法使变成关于0的等式由即dvd

28、vdsdvm=m=mvdtdsdtdsdvmvds把代入可得加空一哗coseds用十可得1dvkv+gsinQvddgcosQ亠dv=丄de+込deVgeos。vcoskdOVCOS。gCOS0VCOS0cos购一vsind。v2cos20kdOgeos0竺一，两边积分得即dcos&)v2cos20geos：0-i=tan+CUCOS0g代入初始条件f=0时，O=a,v=vQ即可得C=-tanadocosag代入式，得別。cosacosvcos(tancr-tan)+g乂因为*=a)rjn=mgcos。所以把代入-dtvgUoCOSGcos/:vcos(taii6Z-tan)+gde=-gco

29、sM积分后可得1+2kvQsina1.22各量方向如题1221图.电子受力v.=evyBi+(eE+evB)jBF=e(E+vxB)=eEj+evxvy00则电子的运动微分方程为rnx=evyB=eBymy=eE-eB=eE-eBx-mZ=0eB由，知唸,，即E的=竺),+1/m代入整理可得y+-y=-（E-BV）nrm对于齐次方程y+豊y=0的通解nrX=&cost+A.sintmm非齐次方程的特解所以非齐次方程的通解y=乙+K=&cost+Asint+（E-BV）mtneB代入初始条件：t=0时得人嵋心t=0时，叫=0得A2=0故HI同理，把代入可以解出mV+mEeBcosttmeBeBE

30、“勺+凹-凸mBeB把代入dx_eBmdtmeBeB.mvmEV_cos/-+BT+VmeBCQSfdt+-dtmBm（“E.wBE厂时,x=Vsmt+t+CeBB）mB代入初条件=0时，xq,得c=o-所以“巴y丄山竺r+色eBB1.23证（a）在1.22题中，b=o时，则电子运动受力F=eEj电子的运动微分方程mx=0my=eE-niZ=0对积分y=t+C,in对再积分又x=vt,z=O故fz=oJeEx2（c=q+G为一常数）y=+CI2mv此即为抛物线方程.当E=0时则电子受力ijkF=evxB=exvvv.=eBi-eBvj003则电子的运动微分方程为mx=eBvx=0-所以TOC

31、o 1-5 h z3=aCQSCOtHCl HYPERLINK l bookmark140 o Current Document 4代入得厂=mg联立-得1.25解，选向下为正方向，滑轮刚停时物体所在平衡位置为坐标原点.建立如题.25.1图所示坐标系.题2.15.1图原点的重力势能设为0.设弹赞最大伸长久整个过程中，只有重力做功，机械max能守恒：1-2OU1-2+存亿尹h-联立得max弹赞的最大张力即为弹赞伸长最长时的弹力，T为最大张力，即max1.26解以绳顶端为坐标原点建立如题1.26.1图所示坐标系.学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载题1.26.1图设绳的弹性系数为则有mg=kb当卅脱离

32、下坠前，加与加系统平衡.当/脱离下坠前，7在拉力T作用下上升,之后作简运.运动微分方程为mg-k(y-a)=my联立得ga+bbby+=ob齐次方程通解=Acos挣+4sin朽非齐次方程的特解丫。=a+b所以的通解乙=九cos+A2sui普f+a+b代入初始条件：f=o时，y=a+b+c,得A=c,=0；故有y=ccosf+a+b即为m在任一时刻离上端o的距离.1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.题1.27.1图运动的轨迹的切线方向上有：mgsinO=m(1丿dt法线方向上有：nigcos0-N=+对于有5111=($为运动路程，亦即半圆柱周围弧长)即dtdsdtvdv=g

33、sin购乂因为RdO=ds即vdu=gsin贺d0设质点刚离开圆柱面时速度,离开点与竖直方向夹角0,对式两边积分gsmORde=g/?(l-cos%)刚离开圆柱面时N=0即mgcos&n=m。丿R联立得0Q=arccosj即为刚离开圆柱面时与竖直方向夹角.1.28解建立如题1.28.1图所示直角坐标.题1.2&1图椭圆方程沪crZr从4滑到最低点，只有重力做功机械能守恒.即mgb=扌,设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为N则有:。为3点的曲率半径的轨迹:乂因为丄十亠丄P(1+)兮所以2mgh=1+2.CTmv2bN=mg+=mg+xP*故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压

34、力为b2方向垂克轨道向下.1.29解质点作平面直线运动，运动轨迹方程为卩=d(2&+sin2&)y=-a(l+cos2&)由曲线运动质点的受力分析，我们可以得到：mgcos。一N=mP-mgsin0=mdvIt因为曲线上每点的曲率所以dv4qcosOdxdx2d+2acos2&l+cos2&dOd2y_d(dy)d6)dodx2dxdx)dekdx)dx2cos2&(1+cos2&)+2sui2201dyde2asin2&(l+cos20)把代入曲率公式中sin28所以学习必珞欢迎下载学习必备欢迎下载p=4f/coskdvdvds由=v=gsin&dtdsdtds即vdv=gsiii6ds乂有

35、数学关系可知dy=dssin0，即vdv=gdy所以v2=2gy=-2gd(l+cos2)把代入N=7gCOS0=111p1.30证当题1.29所述运动轨迹的曲线不光滑时，质点的运动方程为:m一=mgcos。一NPmv2=(mgsin0-pN)ds由1.29题可知Q=4dCOS&由数学知识知pdO=ds把代入dv2=g(sin&-cosO)4dcose+pvde这是一个非齐次二阶微分方程解为v2=一4“sin20+2cos2。(1/2)-2ag+Ce2-4/sm20+2cos2&(1-2ag+上冬+当0=厂0时，即故有因为M=1卩即M=mglsiii6一2mkl0/I=ml2p=0所以/0=-

36、gsin0-2kl0又单摆摆角&很小,有sin&上式即化为：0+2肋+細=0此即为一个标准的有阻尼振动方程。设C0Q=为固有频率，乂由于k2f即阻力很小的情况。方程的解为0=Aoecos伽+0)CO=_R2,0=k所以单摆振动周期T=27rI血低匸恳-心结论得证。1.32解：设楔子的倾角为楔子向右作加速度切的匀加速运动，如图1.32.1图。我们以楔子为参考系，=F非惯的非惯性力，方向与你相反。质点在楔子这个非惯性系中沿斜面下滑，沿斜面的受力分析:mgsiii0+maQcos0=ma垂直斜面受力平衡:mgcos0=ukIqshi0+N联立得a=gsin&+docos&/N=mgcos&-_sin

37、&Ig)此即楔子相对斜面的加速度NO对斜面的压力P与斜面对m的支持力N等大反方向。同理可得当楔子向左作加速度为你的匀加速运动时，质点加的R和楔子对斜面的压力P为a=gsin0a0cosO、P=mgcos&+sing)综上所述可得a=gsin.0+aQcos0/P=mgcos+siii0Ig学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载1.33解设钢丝圆圈以加速度4向上作匀加速运动如题1.33.1图,我们以钢丝圆圈作参考系，在圆圈这个非惯性系里來分析此题。/、圆圈上的小环会受到一个大小为-t?方向与a相反的惯性力的作用，则圆环运动到圆圈上某点，切线方向受力分析:sincp=ma,=(1)gdtcoa+coU)

38、法线方向受力分析有：-a+cocos(p-R=-m对两边同乘以厂gr(a两边同时积分ra+g)sin(pd(p=-vrdvr|ra+g)sin(pd(p=-vrdvr%J%。V2r0vr=-Jv2rO+2(d+gXcOS-COS0o)厂把代入可解得(3cos0-2cos0o”+g_同理可解出，当钢丝圆圈以加速度4竖直向下运动时小环的相对速度匕=+2(g一c/Xcos。COS0O)V2rOF+g/、1(3cos0-2cos0o),Ig丿综上所述，小环的相对速度儿.V,.=札2+2(g+aXcOS0-COS0o2VrOr+g圈对小环的反作用力R=1+(3cos0-2cos0o)rIg丿134证：(

39、1)当火车所受阻力/为常数时，因为功率P与牵引力有如下关系:P=V所以即也=力k-fv对两边积分(2)当阻力/和速度卩成正比时，设/=/v,I为常数。同理由(1)可知n+fdt丿i空+dtlv2vdv_dtk-lv2m对两边积分mv.=lii2fvk-fv2o啾-旳1.35解锤的压力是均匀增加的，设F=kt,k为常数，由题意可知dv2P=一tdttmdv=2dF=kidt,得JoJo所以即故两边同时积分mdv=tdtJorJo得p(TV=f290Zmr2丿又因为当F增至极大值P后，又均匀减小到0,故此时有F=k,(t-Tk,为常数,所以F=-(-r)由得v=(-r2+4rr-2r2)2mrV7

40、整个过程压力所做功w乂因为dW=FvdtdW=Fvdt即对上式两边分段积分1.36解(a)保守力F满足条件VxF=对题中所给的力的表达式,代入上式即-FXVIdxdy饭丿+40abx3y)k=(lSabxz1一lSabxzt+(J8abz2y-lSabyj+(6abz3-40bx3y-6abz3=0所以此力是保守力，其势为V=-F-drr(x,y,z)/一)(6遥20加y)d_广网(6必宀10虏为-J(o,o.o)7J(zo)fJlSabxyz2dz=5bx4y2-6abxy(x,y,O)(b)同(a),由VxF=ddx3ycdz(ar.迟)Z丿j+1彷比)1比dx)1&6丿=02bF血ZA所

41、以此力F是保守力，则其势能为V=-Jfdr=-XBFxdx-BFydy-JxAJy?AJz1.37解(a)因为质子与中子之间引力势能表达式为%)=J(0)r故质子与中子之间的引力F(r)尸(警kea,_k(l+ara,r2(b)质量为加的粒子作半径为Q的圆运动。动量矩J=rxmv由（a）知尸叶亚吐二广F）提供粒子作圆周运动的向心力，F（厂）方向是沿着径向,故r2当半径为d的圆周运动如卑二aaa两式两边同乘以加a，即一mkcl+ace=m2v2a2乂因为J=mvaJ2=-mkcy+做圆周运动的粒子的能量等于粒子的动能和势能之和。所以E=TV=amv2+V（a）_kQ+acWke_k（-aaYai

42、l2aa2a1.38解要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以VxF=O即6F.r8z一迟8xdF75xa32=a23a!2=a2113=31旬（门=1,2,3）为常数满足上式关系，才有势能存在。势能为：V=仙=（j恥+帆好+么）=（；（61兀+62）+卬3乙冷一J（0Q0）r（yo）（a2x+a22y+a2）dy-J（xOO）（。31兀+。32丁+。332炖J（xO）=丄（。11兀2+12）+勺忆2+202兀卩+223）忆+2311）31.39证质点受一与距离亍成反比的力的作用。设此力为_3F（r）=kf迩为一常数）乂因为dvdvdr.vdvrr）=m=mmadtdrdtd

43、rF（r）dr=mvdv_3kr1dr=mvdv当质点从无穷远处到达。时，对式两边分别积分:3Js严kr1dr=tnvdv+ooJO24k4m当质点从d静止出发到达2时，对式两边分别积分:4a丄ykrdr=mfdvJaJo所以质点自无穷远到达d时的速率和自。静止出发到达仝时的速率相同。41.40解由题可知F（r）=（因为是引力，方向与厂径向相反所以要有负号）由运动微分方程TOC o 1-5 h zkdv HYPERLINK l bookmark144 o Current Document =mrdtkdvdr=mrdrdt-dr=mvdv对上式两边积分-dr=mvdvJarJo-kh.=mv2

44、a22kav=JInVtny又因为广与y的方向相反，故取负号。即v=-2k(adrhi=mrdt1.41iiE画出有心力场中图示如题题1.41.1图我们采用的是极坐标。所以ve=r0=vcos(p学习必备欢迎下载习必备【、，.h=r20=常数h=rrO=rvcos(p乂有p=rcos(p,故力=pv即v=pF=Fdrfld厂dr又由于即由图所示关系,由动能定理F沿/方向得1.42证(a)依据上题结论，我们仍然去极坐标如题1.42.1图。题1.42.1图质点运动轨迹为一圆周，则其极坐标方程为由得即故厂=2dcos0p=rcosOr2=lap即力与距离5次方成正比，负号表示力的方向与径向相反。(b

45、)质点走一对数螺旋线，极点为力心，我们仍采用极坐标。对数螺旋线厂=/&卫为常数。有r=arO根据题1.41,h=r20=常数，有(Id尹F=-Adr=丄7_(尸+尸护)2dr7=卜佃+1)软沖)中3+唏=-mh(cr+故得证。143证由毕耐公式F“(d2umdO质点所受有心力做双纽线尸=acos2&运动故“=丄=raJcos2Qdi(1“1=sin20d0a(cos2莎d2u_1d6a|_(cos2)i=2(cos2)*2+3sin22&(cos2&)右2cos2+|，sin2&.(c0s2)52sin20d2u)M丿2(cos2&厂+3siii22&(cos2&)工+F=-mh2u2=-mh

46、2acos2&=-(cos219)4(1+tail220)=-(cos2(9)4a3ma4h2-p-3mh2144证由毕耐公式因为所以+d&丿将力尸+每带入此式/.ru2+vw=h2u+U赠丿Ad2u+wdO2d2ud02lr-vh2上式化为d2u厂/2一+kp=dO2h2这是一个二阶常系数废气次方程。解之得7/w=4cos(R&+0)+丄rKH4微积分常数，取0=0,故u=AcoskO+-kFUAcosk0+-khA”IcosRO+1Ak2h2k2ha=7所以+cosk01.45证由题意可知，质点是以太阳为力心的圆锥曲线，太阳在焦点上。学习必备:卜，:学习必备:卜，:轨迹方程为在近日点处在远

47、日点处由角动量守恒有所以1.46解因为质点速率所以又由于即乂因为所以两边积分即1+wcosOra=-i+eh2rdrroyja2-h2“学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载心丄=2hkI=I-221.47证（d）设地球轨道半径为人。则彗星的近日点距离为兰。圆锥曲线的极H坐标方程为p1+wcosO彗星轨道为抛物线，即=1。近日点时0=0。故近日点有乂因为所以（彗星在单位时间内矢径扫过的面积力）扫过扇形面积的速度乂因为ds1r1.dOm厂rrds=r2d0两边积分fds=r2dO=Jo2J-G.T、严小2-&/广（l+cos。）-e4用h2tanI103（1+cos。）32从数学上我们可以得到两轨道交

48、点为地球轨道半径处。即R=P=2心1+COS&1+COS&即COS0=-_-（）n乂因为1tnncos。=1+tail22所以0/1-COS0/T、tan-=J=V/?-12Vl+cos0把代入（式代入时取“+”即可）+2）故彗星在地球轨道内停留的时间为设地球绕太阳运动一周的时间为gO因为假定地球运动轨道为圆形，曲以1+0COS&又由于P二,有h=kk地球绕太阳运动单位时间内欠径扫过的面积力。扫过扇形速度1hkFv=221丄刖(b)由证明3)知彗星在地球轨道内停留时间人对此式求极大值，即对求导，使0=0dn矿HF11?22】+勻n)=0=3n2验证n=23p3)1n2yln-l2丿2也-1)d

49、n2心GMmGMm金-r2+R2a2a为卫星运行的椭圆轨道的长轴2a=人+D+27?=15623km把2d代入有近地点速率8.15xlO3m/s远地点速率v2q6.34xlO5m/s运动周期T-E*（参见1.47）k其中a为运动轨道的半长轴k=yfGM所以2加y/GM114mill1.49证由行星绕太阳作椭圆运动的能量方程为1GMmGMm2mv2r2aa为椭圆的半长轴。令乂因为上式化为:学习必珞欢迎下载学习必珞欢迎下载(宀.a.k2mmk2_加(厂+厂&丿=r2d因为h=r-O即lr2k2k2r+=一厂ra所以r2r2-2rk2-h2-k2厂a乂因为行星椭圆轨道运动周期乂因为p=a(l-e2)

50、P召卩为正焦弦的-半所以由题意可知lr=k2a(-e2)=C2a4(-e2)a-r=aecosE学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载把代入可得化简可得=1,rdE=adtaCdt两边积分，由题设T=（I-ecosElE=E-wsinE1.50解质点在有心力场中运动，能量和角动量均守恒。无穷远处势能为零。题1.50.1图所以如以弓加+仏任意一处meJJerc+(T所以i第二章质点组力学学Al必备：卜,:学习必珞欢迎下载第二章思考题解答答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。对被割去的部分,先假定它存在

51、，后以其负质量代入质心公式即可。答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周用其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有3个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。但对于二质点组成的质点组，每一质点的运动还是可以解算的。若质点组不受外力作用，由于每一质点都受到组内其它各质点的作用力，每一质点的合内力不一定等于零，故不能保持静止或匀速直线运动状态。这表明，内力

52、不改变质点组整体的运动，但可改变组内质点间的运动。答：把碰撞的二球看作质点组，由于碰撞内力远人于外力，故可以认为外力为零，碰撞前后系统的动量守恒。如果只考虑任一球，碰撞过程中受到另一球的碰撞冲力的作用，动量发生改变。答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力）,且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。26答：碰撞过程中不计外力，碰撞内力不改变系统的总动量，但碰撞内力很大，使物体发生形变，内力做功使系统的动能转化为相碰物体的形

53、变能（分子间的结合能），故动量守恒能量不一定守恒。只有完全弹性碰撞或碰撞物体是刚体时，即相撞物体的形变可以完全恢复或不发生形变时，能量也守恒，但这只是理想情况。答：设质心的速度v，第：个质点相对质心的速度V；,则v,=j+v：,代入质点组动量定理可得工7”|=工比+工比+工（7,代.）这里用到了质心运动定理i）iii工砂）=工加恳。故选用质心坐标系，在动量定理中要计入惯性力。但质点组相对质心iv的动量守恒工*v；=常矢量。当外力改变时，质心的运动也改变，但质点组相对于质心参考系的动量不变，即相对于质心参考系的动量不受外力影响，这给我们解决问题带来不少方便。值得指出：质点组中任一质点相对质心参考

54、系有，对质心参考系动量并不守恒。答不对.因为人抛球前后球与船和人组成的系统的动屋守恒，球抛出后船和人的速度不再是V。设船和人的质量为M，球抛出后船和人的速度为W，则(M+/)V=+化+v)匕=Vy球出手时的速度应是(匕+v)o人做的M+m功应等于系统动能的改变，不是只等于小球动能的改变，故人做的功应为丄+丄诚匕+巧，_(M+加)旷=丄也讦显然与系统原来的速度无关。222M+？答：秋T受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋T荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势

55、能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲卜去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋T就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功,消耗人体内能转换而来的。答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质屋不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故2.7(2)中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。/;2.M答：由v=v0+vrhi-5-=v0+vr111要提高火箭的速度必须提高喷射速度”或增人质量比殳2。由于燃料的效能，材料的耐温等一系列技术问题的限制，“不能过人；叫r又由于火箭的外壳及各装置的质量7。相当大，质量比也很难提高，故采

56、用多级火箭，一级火箭的燃料燃完后外壳自行脱落减小火箭的质量使卞一级火箭开始工作后便于提高火箭的速度。若各级火箭的喷射速度都为匚，质量比分别为石，各级火箭的工作使整体速度增加叫，叫,叫，则火箭的最后速度V=+V2+vn=匕(inZi+111命+片.111($Z”)因每一个乙都人于1,故”可达到相当大的值。但火箭级数越多，整个重量越人，制造技术上会带来困难，再者级越高，质量比越减小,级数很多时，质量比逐渐减小趋近于1,速度增加很少。故火箭级数不能过多，一般三至四级火箭最为有效。第二章习题解答2.1解均匀扇形薄片，取对称轴为x轴，由对称性可知质心一定在x轴上。题2.1.1图有质心公式设均匀扇形薄片密

57、度为Q,任意取一小面元ds，dm=pels=prdOdr乂因为x=rcos所以xprdOdr2sm6jjprdOdr30对于半圆片的质心，即o=L代入，有27t2sinQ2SU1y4ax=a=a=303兀3龙2.2解建立如图2.2.1图所示的球坐标系学习必备欢迎下载学习必备欢迎下载学列必訴卜，:把球帽看成垂直于乙轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为则dm=pdv=p破dw=p7icr-z2）由对称性可知，此球帽的质心一定在z轴上。代入质心计算公式，即J如_3(+疔Jdm4(2d+b)题2.3.1图当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为-,此人即以v的速.VX度

58、作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以vK.,=v0coscz作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离S耳=%cosatvosiii6Z=gt第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有可知道(W+vv)v0cosa=Wi仁+w(vx-u)匕.=v0cosa+水平距离Jv*w5.=vt=smacosa+心sinag(w+W)g跳的距离增加了w(W+w)g2.4解Z/V0SHltZ题241图题242图以为系统研究，水

59、平方向上系统不受外力，动量守恒，有A叫心+m2x2=0对S分析；因为%=a+a相对呦在劈上下滑，以加，为参照物,则吗受到一个惯性力张=-曲(方向与加,加速度方向相反)。如图2.4.2图所示。所以耳相对必下滑。由牛顿第二定律有，八(2)心Zi=ngsni0+nx2cqsO匕所以“水平方向的绝对加速度由可知()6绝=aiCosO-Xzcos-x2联立，得TOC o 1-5 h z_阻sin0cos0亍1m2+min2把代入，得“sinKcosQ金兀厂-gin2=“sui0负号表示方向与兀轴正方向相反。求劈对质点反作用力&。用隔离法。单独考察质点耳的受力情况。因为质点垂直斜劈运动的加速度为0,所以R

60、一ggcos0+-gx2sin0=0/把代入得，g叫COS&m2+misiii20水平面对劈的反作用力凡。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度,所以R2-m2g一&cos0=0也丿于是=竺他+馋）&tn2+nsiii202.5解因为质点组队某一固定点的动量矩nJ=lkX,HV/i=l所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图251图所示薄圆盘，任取一微质量元,dm=prdOdrMP=-/ar所以圆盘绕此轴的动量矩J=JJrx（6/zrzv）=JJr/zrdrd&2.6解炮弹达到最高点时爆炸，由题目己知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分MM、，速