2012高考数学考点总动员 考点4 数形结合,灵活多变,畅游平面向量的世界新课标版

1、2012高考数学考点总动员 考点4 数形结合,灵活多变,畅游平面向量的世界新课标版 2012高考数学考点总动员 考点4 数形结合，灵活多变，畅游平面向 量的世界新课标版 高中数学高考题免费下载平台（）为您分享 一.专题综述 平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一

2、起，如和曲线、数列等知识结合向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点 二考纲解读 1.理解平面向量的概念和向量相等的含义理解向量的几何表示掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 2掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义了解向量线性运算的性质及其几何意义 3.理解平面向量的基本定理及其意义掌握平面向量的正交分解及其坐标表示会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算理解用坐标表示的平面向量共线的条件 4.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与

3、向量投影的关系掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 三2012年高考命题趋向 1.对向量的加减运算及实数与向量的积的考查向量的加减运算以及实数与向量的积是高考中常考查的问题,常以选择题的形式考查,特别是以平面几何为载体综合考查向量加减法的几何意义,以及实数与向量的积的问题经常出现在高考选择、填空题中,但是难度不大,为中、低档题. 2.对向量与其他知识相结合问题的考查平面向量与三角、解析几何等知识相交汇的问题是每年高考的必

4、考内容,并且均出现在解答题中,所占分值较高.其中向量与三角相结合的问题较容易,属中、低档题;而向量与解析几何等知识的结合问题则有一定难度,为中、高档题. 3在复习中要把知识点、训练目标有机结合重点掌握相关概念、性质、运算公式、法则等明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转换在复习中要注意分层复习，既要复习基本概念、基本运算，又要能把向量知识和其它知识(如曲线、数列、函数、三角等)进行横向联系，以体现向量的工具性 四高频考点解读 考点一 向量的几何运算 例1 2011四川卷 如图12，正六边形ABCDEF中，BACDE

5、F( ) 分享 互助 传播 图12 A0 B.BE C.AD D.CF 【答案】D 【解析】 BACDEFBAAFBCBFBCCF，所以选D. 【解题技巧点睛】当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量 MN=ON-OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量 考点三 向量平行与垂直 例42011广东卷 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则( ) 11A. C1 D2 42 【答案】B 【解析】 因为ab(1,2)(1,0)(1，

6、2)，又因为(ab)c， 1所以(1)4230，解得2 例52011课标全国卷 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_. 【答案】1 22【解析】 由题意，得(ab)(kab)k|a|abkab|b|k(k1)ab1 (k1)(1ab)0，因为a与b不共线，所以ab1，所以k10，解得k1. 考点四 向量的数量积、夹角与模 例62011广东卷 若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)( ) A4 B3 C2 D0 【答案】D 分享 互助 传播 【解析】 因为ab且ac，所以bc，所以c(a2b)ca2bc0. 例72011湖南卷 在边长为1的正三角

7、形ABC中，设BC2BD，CA3CE，则ADBE _. 1【答案】 4 【解析】 由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的 3?3?1?1直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A 0，?，D(0,0)，B ，0?，E?，故AD?2?36?2? 3313?53?，BE ，所以ADBE264. 2?66? 例82011江西卷 已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_ 【答案】3 【解析】 设a与b的夹角为，由(a2b)(ab)2得 122|a|ab2|b|422cos242，解得cos，. 23 例92011课标全国卷 已知a与b均为单位向量，其

8、夹角为，有下列四个命题： ?2?2?p1：|ab|1?0，?；p2：|ab|1? ，? 3?3? ?p3：|ab|1?0，?；p4：|ab|1? ?. 3?3? 其中的真命题是( ) Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4 【答案】A 1122【解析】 因为|ab|1?|a|2ab|b|1?ab?|a|b|coscos22 ?222?0，所以p1为真命题，p2为假命题又因为|ab|1?|a|2ab|b|13? 11?ab?|a|b|coscos?，所以p4为真命题，p3为假命题 22?3? 【解题技巧点睛】求向量的数量积的公式有两个:一是定义式ab=|a|b|cos ;二是坐标

9、式ab=x1x2+y1y2.定义式的特点是具有强烈的几何含义,需要明确两个向量的模及夹角,夹角的求解方法灵活多样,一般通过具体的图形可确定,因此采用数形结合思想是利用定义法求数量积的一个重要途径.坐标式的特点是具有明显的代数特征,解题时需要引入直角坐标系,明确向量的坐标进行求解,即向量问题“坐标化”,使得问题操作起来容易、方便. 考点五 向量的应用 例102011山东卷 设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3A1A2 11(R)，A1A4A1A2(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的 点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是( ) AC可

10、能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点 CC、D可能同时在线段AB上 DC、D不可能同时在线段AB的延长线上 【答案】D 11【解析】 若C、D调和分割点A；B，则ACAB(R)，ADAB(R)，且 2. 0， 分享 互助 传播 ? 111对于A：若C是线段AB的中点，则ACAB? ?0，故A选项错误；同理B选项错22 11误；对于C：若C、A同时在线段AB上，则01,02，C选项错误；对于D： 11若C、D同时在线段AB的延长线上，则1，1?0,y0,且x+y=1，则CD?BE的最大值为（ ） 5 83C- 2A-3 83D- 4B- 答案：D 解析：如图所示，建立直角坐标系，则A(-

11、,0),B(,0),C(0,1 212设D(x1,0),E(x2,y2), 2 11 BD=xBA,(x1-,0-0)=x(-1,0),x1=-x+; 22 11 CE=yCA,(x2,y2-=y(-,-x2=-y,y2=-y; 222222 11x1CD?BE=(-x+,?(-1+x)=-(x2-x+1)，因0 x0， 2 a2 得?=a-4a?b0，解得a?b，又因为a=2b0，所以4 2 aa?b1casb=,=，因为向量夹角的范围是0,，所以向量a,b的夹角范a?b4a?b2 围是 ?,?。 3? 15.【唐山市20112012学年度高三年级第一学期期末考试】 22ab，且，则的最小值

12、为x+ya=(x-1,1),b=(1,y)已知向量 答案： 1212222解析：因为ab，所以x-1+y=0，代入得x+y=x+(x-1)=2(x-)+，所22 1122以当x=时，x+y取得最小值 22 16.【2011杭师大附中高三年级第一次月考卷】 分享 互助 传播 1 2 =2,已知平面向量,（）满足且与-的夹角为120，则 (1-t)+t(tR)的最小值是 答案 ： 解析： cos=1-+ 1=-=- 22| |-| |-| (-)2 212 =- +|-|=4|-|=4- 两边平方=-9 +12+（ ） （*）22|-| -4 |(1-t)+t|= 2 把（*）代入上式，可以得到关

13、于 二次函数，利用性质可得。 三.解答题 17【河北省正定中学20112012学年度高三上学期第二次月考（数学理）】 ?ABC的三个内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c，向量m=(-1,1， n=(cos BcosC,sinBsinC，且mn （）求A的大小； （）现在给出下列三个条件：a=1；2c-1)b=0；B=45，试从中再选 择两个条件以确定?ABC，求出所确定的?ABC的面积 解析：(I)因为mn，所以-cosBcosC+sinBsinC=0?2分 即：cosBcosC-sinBsinC=，所以cos(B+C)=?4分 因为A+B+C=，所以cos(B+C)=-cosA 所以co

14、sA=A=30 ?6分 ()方案一:选择，可确定?ABC， 因为A=30 ,a=1,2c-1)b=0 分享 互助 传播 由余弦定理，得：1=b+22121 b)-2b?b?222 ?10分 2整理得：b=2,b=2c= 所以S?ABC=111?12分 bcsinA=222方案二:选择，可确定?ABC， 因为A=30 ,a=1,B=45 ,C=105 又sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60= asinC1?sin105 由正弦定理c=?10分 =sinAsin30 2 所以S?ABC=111?12分 acsinB=?1?=22224 （注意;选择不能确定

15、三角形） 18.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】 已知向量m=(sinA,cosA), n=(cosB,sinB), m?n=sin2C，且A，B，C分别为ABC的三边a,b,c所对的角. （）求角C的大小; （）若sinA, sinC, sinB成等比数列, 且?(-)=18, 求c的值 解析： () =(sinA,cosA), =(cosB,sinB),? =sin2C, sinAcosB+cosAsinB=sin2C 即 sinC=sin2C 1，又C为三角形的内角， C= ?6分 () 23 2sinA,sinC,sinB成等比数列， c=ab cosC= 又CA?(A

16、B-AC)=18,即 CA?CB=18, abcosC=18 c=ab=36即c=6 ?12分 19【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】 已知函数f(x)=xcosx-cosx-221,xR 2 () 求函数f(x)的最小值和最小正周期； （）已知?ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=3,f(C)=0，若向量 m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线，求a、b的值 分享 互助 传播 解：( )f(x)=xcosx-cos2x-11=2x-cos2x-1=sin(2x-)-1 6222 f(x)的最小值为-2，最小正周期为. ?5分 （） f(C)=sin(2C-)-1

17、=0， 即sin(2C-)=1 66 11 0C，-2C-|F1F2| ? 3分 点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆, ? 5分 其中长轴2a= 得到a焦距2c=2， 则短半轴b=1 x2 +y2=1 ? 6分 椭圆方程为:2 ?y=kx+n?（2）设直线l的方程为y=kx+n,由?x2 2?+y=1?2 可得(2k2+1)x2+4knx+2n2-2=0 分享 互助 传播 则?=16k2n2-8(n2-1)(2k2+1)0,即2k2-n2+10 ? 8分 -4kn2n2-2,x1x2=2设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2 2k+12k+1 由OP?OQ=0可得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+n)(kx2+n)=0 ?10分 整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0?12分 (k2+1)(2n2-2)-4kn+kn?()+n2=0 即222k+12k+1 1, 2 ?+) ?14分 故直线l在y 轴上截距的取值范围是(-,BC的三个内角A、B、C所对的边分21.（2011杭师大附中高三年级第一次月考卷）设?A化简可得3n2=2k2+2,代入整理可得n2 别为a、b、c，且满足(2a+c)?+c?=0 （）求角B的大