2022年万有引力知识点

1、第六章 学习必备 欢迎下载 万有引力与航天 7. 万有引力与重力的关系： 1“黄金代换”公式推导： 当 G F 时,就会有 mg GMm 2 GM gR ； 2R2 留意： 重力是由于地球的吸引而使物体受到的力,但重力不是万有引力； 只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力； 重力的方向竖直向下, 但并不愿定指向地心, 物体在赤道上重力最小, 在两极时重力最大； 随着纬度的增加,物体的重力减小,物体在赤道上重力最小,在两极时重力最大； 物体随地球自转所需的向心力一般很小, 物体的重力随纬度的变化很小, 因此在一般粗略 的运算中, 可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力, 8. 万有引力

2、定律与天体运动： 运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动； 从力和运动的关系角度分析天体运动： 即可得到“黄金代换”公式； 天体做匀速圆周运动运动,其速度方向时刻转变,其所需的向心力由万有引 力供应,即 F 需 =F 万 ；如以下图,由牛顿其次定律得： F 需 ma, F 万 GMm ,从运动的角度分析向心加速度： 2,轨道半 L 2 an 2 v 2L22L2 2 f L. LT （3）重要关系式： GMm m2 v m 2L m 22Lm 2 f 2 L . L2LT 2,地球绕太阳公转的角速度为1,轨道半径为 R1,月球绕地球公转的角速度为 径为 R2,那么太阳的质量是地球质量

3、的多少倍？ 解析： 地球与太阳的万有引力供应地球运动的向心力, 的向心力,最终算得结果为 12R1 3； 2R2 月球与地球的万有引力供应月球运动 9. 运算大考点： “填补法”运算均匀球体间的万有引力： 谈一谈： 万有引力定律适用于两质点间的引力作用, 对于形状不规章的物体应赐予填补, 变 成一个形状规章,便于确定质点位置的物体,再用万有引力定律进行求解； 模型： 如右图所示,在一个半径为 R,质量为 M 的均匀球体中,紧贴球边缘挖出一个半径为 R/2 的球形空穴后,对位于球心和空穴中心连线上, 的 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大？ 思路分析： 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小

4、球体和剩余部分对质 点的引力之和,即可求解； 依据“思路分析”所述,引力 F 可视作 F=F1+F2： 已知 F GMm 2,因半径为 R / 2 的小球质量为 M d 4R34R3RM1M3 4 323283第 1 页,共 7 页所以 F2 G M m 2Mm G R 8d22, F1 学习必备 欢迎下载 22 7d GMm 2 8dR 2R 就挖去 F F2 GMm Mm G R 8d2d2d R2dR 22 8d 2小球后的剩余部分对球外质点 m 的引力GMm 7d228 dR R2 R 2； 8dd2为 2 才能提升 某小报登载： 年月日,国发射了一颗质量为 100kg,周期为 1h

5、的人造环月 球卫星； 一位同学记不住引力常量 G 的数值且手边没有可查找的材 但他记得月球半径约 料, 为地球的 ,月球表面重力加速度约为地球的 1 1,经过推理, 他认定该报道是就假新闻,试写 4 63 出他的论证方案； 地球半径约为 6.4 10 km 2 3 Mm 4 R 证明： 由于 G 2 m R T 2 R,所以 T 2 GM , 1又 G 2 mg 得 Mm R g 2 ,故 Tmin 2 GM R GM R 3 2 R月 g 月 2 4 1 6 R 地 g地 6 3R 310 32 2g 2 2s 6.2 10 s ； 地 环月卫星最小周期约为 ,故该报道是就假新闻； 6-3

6、由“万有引力定律”引出的四大考点 一,解题思路“金三角”关系： （1）万有 引力与向心力的联系： 万有引力 供应天体做 m2 v m 2r m22r2 m 2 n r 匀速圆周运动的向心力,即 GMm ma 是本章解题的主线索； r2rT （2）万有引力与重力的联系： 物体所受的重力近似等于它受到的万有引力, 即 GMm 2rmg, g 为对应轨道处的重力加速度,这是本章解题的副线索； （3）重力与向心力的联系： m g mv 2m2rm22r , g 为对应轨道处的重力加速 rT 度,适用于已知 g 的特殊情形； 二,天体质量的估算 模型一：环绕型： 谈一谈： 对于有卫星的天体, 可认为卫星

7、绕中心天体做匀速圆周运动, 中心天体对卫星的万 有引力供应卫星做匀速圆周运动的向心力,利用引力常量 G 和环形卫星 v,T,r 中任 意两个量进行估算（只能估量中心天体的质量,不能估算环绕卫星的质量） 的 ； 第 2 页,共 7 页已知 r 和 T: G Mm rm22rM学习必备 . 欢迎下载 4 2 3 r T 2 GT 已知 r 和 v: G Mm 2rmv 2 rM2 rv . M3 v T . G 已知 T 和 v: G Mm mv 2rm2 T 2rr22 G 模型二：表面型： 谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星,但不知道卫星运行的相关物理量） ,可忽视天 体自转的影响,依据万有

8、引力等于重力进行粗略估算； Mm G 2 Rmg M2 gR . G 变形： 假如物体不在天体表面,但知道物体所在处的 的质量： g,也可以利用上面的方法求出天体 处理： 不考虑天体自转的影响,天体邻近物体的重力等于物体受的万有引力,即： 2Mm gR h G 2 mg M . R h G 触类旁通 1 , 2022福建理综, 13设太阳质量为 M,某行星绕太阳公转周期为 T,轨道可 视作半径为 r 的圆；已知万有引力常量为 G,就描述该行星运动的上述物理量中意 A 2 3 2 2 2 2 3A GM4 T 2 rB GM4 T 2 rC GM4 T 3 rD GM4 r T 22解析： 此题

9、考查了万有引力在天体中的应用；是学问的简洁应用；由 GMm r 2 mr 4 T 2 可得 GM 4T 2r 3, A 正确 ； 2, 2022全国大纲卷, 18“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高度为 200km 的圆形轨道上运行,运行周期 127分钟；已知引力常量 G 10 11Nm2/kg2, 为 月球半径约为 103km；利用以上数据估算月球的质量约为 DA 1010kg B 7.4 1013kg C 1019kg D 1022kg 解析：此题考查万有引力定律在天体中的应用； 解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向 2 2 3 心力是由月球对卫星的万有引力供应；由 G

10、Mm r mr 4 r 2 得 M 4r GT 2,又 r R 月 h,代入数 值得月球质量 M 10 22kg,选项 D 正确； 3,宇航员站在一颗星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一个小球；经过时间 t ,小球落 到星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为 L；如抛出时的初速度增大到 2 倍,就抛出 点与落地点之间的距离为 3L ；已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为 R,万有 引力常数为 G；求该星球的质量 M； 解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同, 依据已知条件可以求出该星球表 面的加速度；需要留意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小, 第

11、3 页,共 7 页学习必备 欢迎下载 2 3LR 2； 而非水平方向的位移的大小；然后依据万有引力等于重力,求出该星球的质量 3Gt 2三,天体密度的运算 模型一：利用天体表面的 g 求天体密度： 变形 G Mm mg, M 4R3 43 g . GR R2 3物体不在天体表面： G Mm 2R h mg, M 43 R2 3gR h . 33 4 GR 模型二：利用天体的卫星求天体的密度： G Mm m4 2r , M 4R34M34 2 r 2 3 GT 4 3R33 3 r 3. r 2 T 2 3RGT 2 R3四,求星球表面的重力加速度： 在忽视星球自转的情形下,物体在星球表面的重力

12、大小等于物体与星球间的万有引力大小, 即： mg 星 G M 星 m gGM 星 . 2 R 星 R 星 星 牛刀小试 （ 2022 新课标全国卷, 21）假设地球是一半径为 R,质量分布均匀的球体；一矿 井深度为 d；已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零；矿井底部和地面处的重力加 速度大小之比为 A C. Rd2D. R2d A 1 R B d 1 R RRd解析： 设地球的质量为 M ,地球的密度为 ,依据万有引力定律可知, 地球表面的重力加速度 g GM R, 地球的质量可表示为 M 4R 3 3 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零, 所以矿井下以 R d为半径的地球的质量为

13、 M 3 4R d 3,解得 M R dR M ,就矿井底部处的重力加速度 3g GM R d2,所以 矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比 g 1 , 选项 A 正确 dg R 6-4 宇宙速度 & 卫星 一,涉及航空航天的“三大速度” ： （一）宇宙速度： 1. 第一宇宙速度：人造地球卫星在地面邻近 环绕地球做匀速圆周运动 必需具有的速度叫第 一宇宙速度,也叫地面邻近的环绕速度, v1；它是近地卫星的运行速度,也是人造 卫星 最小发射 速度；（待在地球旁边的速度） 2. 其次宇宙速度：使物体 摆脱地球引力的束缚 ,成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行 星上去的 最小速度 ,

14、v2；（离弃地球,投入太阳怀抱的速度）第 4 页,共 7 页3. 第三宇宙速度：使物体 学习必备 欢迎下载 最小速度 , 摆脱太阳引力的束缚 ,飞到太阳以外的宇宙空间去的 v2；（离弃太阳,投入更大宇宙空间怀抱的速度）（二）发射速度： 1. 定义： 卫星在地面邻近离开发射装置的初速度； 2. 取值范畴及运行状态： v v1 s, 人造卫星只能“ 贴着”地面近地运行； 发 v1 s,可以使卫星在距地面较高的轨道上运行； v发 发 v v2 ,即 s v / s, 一般情形下人造地球卫星发射速度； （三）运行速度： v1 发1. 定义： 卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的 线速度 ； 22.

15、大小： 对于人造地球卫星, G Mm r mv r v GM r , 该速度指的是人造地球卫星在 轨道上的运行的环绕速度,其大小随轨道的半径 r 而 v； 3. 留意： 当卫星“贴着”地面飞行时,运行速度等于第一宇宙速度；当卫星的轨道半径大 于地球半径时,运行速度小于第一宇宙速度； 牛刀小试 1 ,地球的第一宇宙速度约为 8 km/s,某行星的质量是地球的 6 倍,半径是地球 的 倍；该行星上的第一宇宙速度约为 A A 16 km/s B 32 km/s C 46 km/s D 2 km/s 2解析： 由公式 m v = G Mm 2,如 M 增大为原先 6 倍, r 增大为原先的 1.5 倍

16、,可得 v 增大 r r 的 为原先的 2 倍； 二,两种卫星： （一）人造地球卫星： 1. 定义： 在地球上以确定初速度将物体发射出去, 的人造卫星； 物体将不再落回地面而绕地球运行而形成 2. 分类： 近地卫星,中轨道卫星,高轨道卫星,地球同步卫星,极地卫星等； 3. 三个”近似”： 近地卫星贴近地球表面运行,可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径； 在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力； 天体的运动轨道可近似看成圆轨道,万有引力供应向心力； 4. 四个等式： 运行速度： G Mm 2m2 v hv GM v 1h , v ； ； R hRRhRh角速度

17、： G Mm m2R h GM 1h , ； 2 R h 3 R h 3 R h 周期：； G Mm R h2m22 R h T 23 R h T R 3 h h ,T T GM 向心加速度： G Mm ma aGM a1h , a ； 2 R h 2 R h 2 R h （二）地球同步卫星： 第 5 页,共 7 页学习必备 欢迎下载 1. 定义： 在赤道平面内,以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星； 2. 五个“确定”： 周期 T 确定：与地球自转周期相等（ 24h）,角速度 也等于地球自转角速度； 轨道确定：全部同步卫星的运行方向与地球自转方向一样,轨道平面与赤道平面重合； 运行

18、速度 v 大小确定：全部同步卫星绕地球运行的线速度大小确定,均为 ； 离地高度 h 确定：全部同步卫星的轨道半径均相同,其离地高度约为 3.6 10 km； 向心加速度 an 大小确定：全部同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等,约为 0.22m/s ； 注：全部国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆, 静止； 三,卫星变 轨问题： 它们都在同一轨道上运动且都相对 1. 缘由： 线速度 v 发生变化,使万有引力不等于向心力,从而实现变轨； 2. 条件： 增大卫星的线速度 v,使万有引力小于所需的向心力,从而实现变轨； 3. 留意： 卫星到达高轨道后,在新的轨道上其运行速度反而 减小； 当卫

19、星的线速度 v 减小 时,万有引力大于所需的向心力, 态时速度反而增大； 卫星就做向心运动, 但到了低轨道后达到新的稳固运行状 4. 卫星追及相遇问题： 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分,但它们都处在同 一条直线上； 由于它们轨道不是重合的, 因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧 长相等来处理, 而是通过卫星运动的圆心角来衡量, 如它们初始位置在同始终线上, 实际内 轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为 时刻； 四,与卫星有关的几组概念的比较总结： 的整数倍时就是显现最近或最远的 1. 天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的比较： 卫星的轨道半径 r 是指卫星绕天体做匀速圆周运 动的半径, 与天体半径 R 的关系是 r=R+h（h 为卫星距离天体表面的高度） ,当卫星贴近天体 表面运动时,可视作 h=0,即 r=R； 2. 卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较： （1）卫星运行的加速度： 卫 星 绕 地 球 运 行 , 由 万 有 引 力 提 供 向 心 力 , 产 生 的 向 心 加 速 度 满 足 Mm GM G 2 ma,即 2 , 其方向始终指向地心,大小随卫星到地心距离 r a r（2）物体随地球自转的向心加速度： r 的增大而减