选修2-1：2 2 1椭圆及其标准方程（一）

1、2.2.1 椭圆及其标准方程(一)阿波罗尼奥斯 笛卡儿（1596-1650）：法国数学家、物理学家和哲学家，堪称17世纪以来欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”，创立了著名的平面直角坐标系. 几何问题代数化仙女座星系星系中的椭圆在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？想一想生活中的椭圆 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？ 椭圆概念的引入： 在前面圆的方程中我们知道：平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆.椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？思考数学实验(1)取一条细绳（30cm，无弹性）(2)把绳的两端固定在板上靠中的两个定点F

2、1、F2 （分别取20cm,30cm,40cm）(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1.动点（移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？4.动点满足怎样的几何条件？一、合作探究，形成概念：结论：当绳长大于|F1F2| ，则点M的轨迹是（ ） 当绳长等于|F1F2|，则点M的轨迹是（ ） 当绳长小于|F1F2|，则点M的轨迹（ ） 思考:1.动点（移动的粉笔尖）运动出的轨迹是什么？椭圆线段F1F2不存在2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆

3、的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？4.动点满足怎样的几何条件？（一）椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆.定点F1、F2叫做椭圆的焦点.两焦点之间的距离叫做焦距（2c）.椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：(2a2c)MF2F1结论：当2a 大于 2c,则点M的轨迹是（ ） 当2a 等于 2c，则点M的轨迹是（ ） 当2a 小于 2c，则点M的轨迹（ ） 椭圆线段F1F2不存在小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.平面上-这是大前提2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2c平面

4、内有两定点A、B，它们之间的距离为8.若动点M满足：（1）若|MF1|+ |MF2| （填大于、等于或小于）8，则它的轨迹是椭圆，定点A和B是椭圆的 .它们之间的距离就是椭圆的 .（2）若|MF1|+ |MF2|等于8，则它的轨迹是 .（3）若|MF1|+ |MF2|小于8，则它的轨迹 .巩固练习：线段AB不存在焦点焦距大于求曲线方程的步骤： _ _ _ _ _建立适当直角坐标系，设动点 P ( x , y )写出动点 P 的几何条件用坐标代入转化为代数方程化简方程为最简方程证明化简后的方程就是所求曲线方程建系设点限制条件写几转代化简方程 建设现（限）代化 探讨建立平面直角坐标系的方案OxyM

5、F1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)椭圆的方程的推导建设现（限） 以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy. 设 M（x，y）是椭圆上任一点，设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦点的距离之和为常数 2a .故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0)由椭圆的定义得（a c） 2a代化两边同时除以 ，得移项，得平方化简，得再平方化简，得则方程可化为 观察左图， 和同桌讨论你们能从中找出表示c 、 a 的线

6、段吗？a2-c2 有什么几何意义？ 由两点间的距离公式，可知：设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)， 又由椭圆的定义可得：|MF1|+ |MF2|=2a焦点在Y轴焦点在X轴 看分母，谁大在谁上 标准方程相 同 点焦点位置的判断不 同 点 图 形 焦点坐标探究定义a、b、c 的关系xyF1F2MOxyF1F2MOa2-c2=b2(ab0) |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）总结椭圆标准方程的再认识：（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的.（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的

7、值.（2）椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YXOF1F2M(0,-c)(0 , c)1、填空：(1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_巩固练习543(3,0)、(-3,0)60F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法： 看分母，谁大在谁上OXY(2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：_，焦距 等于_; 若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_21(0,-1)、(0,1)2PF1F21、填空：OXY变式 ：将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标.2、已知椭圆焦点的坐标分别是(-3,0)、(3,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程.【变式练习】解：设椭圆的标准方程为注意