《计量经济学讲义》新

1、第一章 绪论计量经济学一、 计量经济学的产生与发展计量经济学是经济学的一个分支， 是以揭示经济活动中的客观存在的数量关系为内容的分支学科。其创立者R.弗里希将其定义为经济理论、统计学、数学 三者的结合，但它又完全不同于这三个学科的每一个分支。计量经济学( Econometrics ) 1926 年由挪威经济学家弗里希( R.Frish )仿造生物计量学( Biometrics )一词提出的。 1930年 12 月弗里希、丁百根和费歇耳等经济学家在美国克利夫兰市成立经济计量学会。 1933 年出版 计量经济学杂志在发刊词中弗里希将计量经济学定义为：经济理论、数学、统计学的结合。计量经济学的学术渊

2、源和社会历史根源：17 世纪英国经济学家威廉. 配弟在政治算术一书中应用“数字、重量或尺度”来阐述经济现象19 世纪法国经济学家古尔诺 财富理论的数学原理研究 中认为： 某些经济范畴、需求、价格、供给可以视为互为函数关系，从而有可能用一系列的函数方程表述市场中的关系，并且可以用数学语言系统地阐述某些经济规律(数理学派的奠基者)其后瑞士经济学家瓦尔拉斯创立了一般均衡理论， 利用联立方程研究一般均衡的决定条件(洛桑学派的先驱)意大利经济学家帕累托发展了一般均衡理论。 用立体几何研究经济变量之间 的关系1890 年（剑桥学派的创始人）马歇尔的经济学原理的问世，使数学成 为经济学研究不可缺少的描述与分

3、析推理的工具为计量经济学奠定了基础计量经济学从二十世纪三十年代诞生起就显示了极强的生命力。 一方面出于对经济的干预政策的需要，许多国家都广泛采用经济计量理论和方法，进行经济预测，加强市场研究，探讨经济政策的效果。另一方面随着科学技术的发展与进步，各门科学相互协作、相互渗透，计算机科学、数学、系统论、信息论、控制论等相继进入了经济研究领域。 特别是计算机技术的高速发展为计量经济学广泛应用铺平了道路。计量经济学的发展过程是计量经济模型的建立、应用和发展的过程。主要是应用代数模型对客观经济现象进行数量上的描述和概括。 大体经历了由简单到复杂、由微观到宏观分析、由局部均衡分析到全部均衡分析。 20 世

4、纪 30 年代研究为消费者、生产者、厂商的微观分析。 40、 50 年代为消费、投资、收入、就业的宏观分析。 同时由局部均衡到全部均衡分析。 60、 70年代美国的连接计划采用宏观计量经济模型包括18 个国家、 7447个方程和 3368 个外生变量。 可以归结为： 20、 30 年代创立， 40、 50 年代大发展， 60、 70 年代大扩张。我国 20 世纪 80 年代引入了计量经济学的内容。 目前对计量经济学的研究与应用十分充分。有专门的学会与杂志。每年的文献量是很大的。计量经济学的涵义1、计量经济学的地位诺贝尔经济学奖获得者克莱因： “计量经济学已经在经济学科中居于最重要的地位” “在

5、大多数大学和学院中计量经济学的讲授已经成为经济学课程表中最有权威的一部分”诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森： 第二次世界大战后的经济学是计量经济学的时代。许多世界一流大学在教学计划中提出： 现代经济学理论的一个显着特点是数学的广泛应用，学生必须学会用数学工具描述和发展经济学理论。1969 年设立诺贝尔经济学奖。第一届获得者为弗里希、丁百根。1987年索罗用计量经济学建立总量生产函数以及导出增长方程19691997年有 42个获诺贝尔经济学奖，有9人与计量经济学有关。2、计量经济学的内容体系计量经济学分为广义计量经济学和狭义计量经济学划分依据为应用方法广义计量经济学的利用经济理论、 数学和统计学定量

6、研究经济现象的经济计量方法的统称。包括回归分析方法、投入产出分析方法、时间序列分析方法。狭义计量经济学主要是回归分析方法。计量经济学分为初级、中级、高级三个层次划分依据为建模理论与方法。由静态到动态。由线性到非线性。计量经济学分为理论计量经济学与应用计量经济学划分依据为研究对象和内容侧重面。理论计量经济学侧重理论与方法的数学证明与推导，与数理统计学极为密切。应用计量经济学以建立与应用计量经济学模型为主要内容， 强调应用模型的经济学和经济统计学基础，侧重建立和应用模型过程中实际问题的处理。计量经济学的类型估计方法最小二乘法检验理论单一方程：工具变量法极大似然法预测多重共线性广义最小二乘法 自相关

7、异方差识别理论二阶段最小二乘法有限信息估计方法联立方程估计方法间接最小二乘法 有限信息极大似然法完全信息估计方法三阶段最小二乘法完全信息极大似然法建立计量经济学模型的步骤与要点计量经济学的研究主要归结为：设定理论模型、估计参数、验证理论、运用模型这四个步骤。首先，根据经济理论和观测经济现象取得的实践经验，确定经济变量之间的关系构成相应的数学方程，也就是设定理论模型。其次，设定理论模型以后，根据相应的统计数据对理论模型中的参数进行估计。进而，在此基础上对于已估计的参数，应用统计假设检验原理与方法进行检验。这就是验证理论的内容。所以验证理论也就是进行统计推断。如果经验数据与理论一致，就接受该理论；

8、否则，就否定该理论。最后，估计的模型一经验证，基本符合理论假设，就可以用来进行结构分析、政策评价和经济预测。运用模型的主要内容也就是结构分析、政策评价和经济预测。1、设定数学模型在对社会经济现象进行定性分析的基础上，根据经济理论与实践经验，确定经济变量之间的关系，构成相应的反映客观经济过程运转机制的数学方程。例：计量经济学者为了检验边际消费倾向是大于 0 小于 1建立消费函数：y a bx(1-1)y :消费支出x：收入a,b参数b dy为边际消费倾向（MPC。为单一方程是确定性的关系 dx事实上经济变量之间不是确定性的关系有误差，随机取得几千户为样本得消费支出数据yi,可支配收入数据Xi得散

9、点图并不都在方程表示的直线上。 因为除了收入外还与家庭人员多少、构成、嗜好等有关。设为y a bx 其中 为随机扰动项或误差项，代表了对消费不太重要的 影响因素，是一个不可观察的随机项。例如，考察某农产品的供求平衡，依据经济理论，对农产品的需求（Qd）取决于农产品的价格（P）,以及消费者的收入（Y）。如果这个变量之间呈线 性关系，于是对农产品的需求函数可写成Qd bi0 biiP bi2Y ui（1-2）其中Ui为随机项，, i 1 j 0,1,2为待估的参数。对农产品的供给（Qs）取决于农产品的价格（P）,以及影响农产品生产 的天气条件（W）。如果这个变量之间呈线性关系，于是对农产品的供给函

10、数 可写成Qs b20 b21P b22W U2（1-3）其中U2为随机项，bij i 2 j 0,1,2为待估的参数。供求平衡的条件为：Qd=Qs。（1-4）由（1-2）、（1-3）、（1-4）可得一联立方程组。令Q为平衡销售量，所以Q=Qd=Qs把上述（1-2）、（1-3）两个方程并在一起，就得到了一个反映农产品供求平衡的联立方程模型1-5 )Qb10b11 Pb12Yu1Qb20b21Pb22Wu2（1-5）是一个简单的联立方程模型，其中Q,P,Y,W是变量，ui、U2是随机项。设立模型应考虑忽略次要因素，根据目的，便于处理。从真实性、可操作性两方面权衡。2、估计参数根据统计资料对参数的

11、符号与大小进行估计。参数指方程中的表示解释变量与被解释变量之间数量关系的常系数。利用样本数据用最小二乘法估计出 b 0.8 即得到每一收入中有80%用于消费。估计参数所需资料有三种类型：时间序列资料（容易产生序列相关或自相关） ，横断面资料（普查资料等容易产生异方差问题）虚拟变量数据（ 0， 1）3、验证理论应用统计假设检验的原理与方法验证模型的变量的结合形式、结合程度结合形式：变量之间是加减、乘除、乘方关系？方程式为直线、曲线关系结合程度：检验参数估计值的符号、大小与经济理论是否相符进行统计推断Qdbi。biiP62Yuibii为负表示价格（P）与需求相反,b12 为正消费者的收入（ Y ）

12、 与需求一致。 这是经济意义的检验还有显着性检验、标准差检验、拟合优度检验等。边际消费倾向 b 0.8是否接受该理论4、运用模型运用模型的主要内容也就是结构分析、政策评价和经济预测。结构分析：测定经济系统内经济变量之间的关系。最常用的是影响乘数政策评价：在对投资政策、经营政策等进行可能效益和代价进行权衡选出最有利的政策。经济预测：5 、计量经济学软件计量经济学模型的应用1、模型构成的 4 要素1）变量内生变量（或因变量）是由所研究系统内部确定的，换句话说，根据模型可以求出它们的值。它的严格定义是，它是一个有概率分布的随机变量，这种变量的分布参数是估计的联立方程中的元素。一般说来，它与模型的随机

13、干扰项是相关的。内生变量对方程系统有作用并受其影响。外生变量（或自变量）不是由所研究系统内部决定的，它们的值是在模型之外确定的，它的严格定义是，它或者是一组已知数，这就是没有概率分布的普通变数；或者是有边缘概率分布的随机变量。对于后一种情况，这种变量分布参数不是估计方程系统中的元素，它与模型的随机干扰项是不相关的。外生变量对方程系统有作用但不受它的影响。 （包括政策变量：政府支出、利息率等，非政策变量：农业收成、汇率）内生变量的滞后变量如Yt 1 ， Yt 2等，称先决变量。先决变量与外生变量同样对方程系统有作用，与模型的随机干扰项是不相关的。通常把外生变量与内生变量的滞后变量统称先决变量。（

14、 1-5 ）中消费者的收入（ Y ） 、影响农产品生产的天气条件（ W ）是外生变量、它决定内生变量平衡销售量（ Q ）、农产品的价格（ P ） 。内生变量和外生变量是相对的，同一变量对某个模型是外生的，而对另一个模型而言却是内生的。参数包括参数隐含参数（随机误差项的概率分布）随机误差项方程式包含变量、参数、随机误差项的数学表达式。有4 类行为方程：描述居民、企业、政府等决策单位的经济行为，有宏观关系式、微观关系式如居民的消费方程y a bx技术方程：由科学技术水平确定的生产技术关系的方程如柯布 - 道格拉斯生产方程生产函数 Q AK L UQ 总产量， K 资本， L 劳力制度方程：根据法律

15、、制度、政策所规定的数量关系式如销售税金=销售收入销售税率般线性回归模型为:定义方程：经济理论所确定的关系式如国民收入=消费银资前两类最重要2、模型的选择1）常用的方程形式：一次方程、二次方程、双曲线方程、对数方程等2）模型的选择的准则：方程形式与经济基本原理一致。两种都能表达选简 单的。模型能概括实际经济现象也有预测的功能。第二章单方程计量经济学模型理论与方法线性回归模型线性回归模型的特征计量经济学模型分线性与非线性模型。在线性模型中，变量之间的关系呈 线性关系。在非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系。线性回归模型是 线性模型的一种。根据凯恩斯的绝对收入假设消费理论，认为消费是由收入唯一

16、决定的，是收 入的线性函数。随着收入的增加，消费增加，但消费的增长低于收入的增长， 即边际消费倾向递减。C a bY C:消费支出Y:收入a,b参数b dC为边际消费倾向（MPCdY计量经济学方程为引入随机误差项，将变量之间的关系用随机线性方程来描述，用随机数学 的方法估计参数，就是线性回归模型的特征。一元线性回归的参数估计随机误差项包括:解释变量中被忽略的因素影响；观察误差的影响；模型设定误差的影响；其他随机因素的影响；线性回归模型的普遍性一般经济现象为非线性的可以化为线性的。直接置换：拉弗曲线描述税收 s 和税率 r 的关系为令 x1r, x2r 2得 s a bx1cx2对数置换如柯布-

17、 道格拉斯生产方程生产函数 Q AK L U 可化为Q 总产量， K 资本， L 劳力线性回归模型的基本假设基本假设：1、x1 , x2, xm 为解释变量不是随机变量。之间互不相关2、随机误差项具有：E(ui) 0,Var(ui )2 i 1,2, n3、随机误差项在不同样本点是独立的，不存在序列相关4、随机误差项与解释变量之间不相关5、随机误差项服从正态分布(3-4)(3-1)一元线性回归模型ybobiXi Ui满足：E(uJ 0,Var(uJ 2 i 1,2, n一、最小二乘法（OLS对x,y进行n次独立观测，得到n个观测如下Xi,yi,X2,y2,&,，其中Xi表示x的第i次观测值，y

18、i表示y的第i次观测值，在直角坐标系中描述出其散 点图，对（3-1）作b0,R的最小二乘估计即设nQ yii 1b0b1Xin 2Ui i 1(3-2)令-QT o得方程组bob?n2yib0 b?Xi o(3-3)i 1n2 yib0 Hx Xi 0i 1nb0 nXI? ny即_? n 2? n TOC o 1-5 h z nXbox bXiyii 1i 1nn其中X1一1一Xi , yyin i 1n i 1此方程组称正规方程组，其系数行列式为解此方程组得bo,b1的估计量?0，?为nXi X yi y i 1n 一 2Xi X i 1nnynnXXiyii 1n一 2nXi xi 1y

19、 IXnnXi yi nXyi 1 n 一 2n Xi x i 1一元线性回归模型t己 Lxxxi x 2 xi2 nx2i 1i 1于是（3-4）式可写成(3-5)b?oyIbxI?Lxy/Lxx（3-5）式中的呢?分别是b。,”的最小二乘估计量，所以(3-6)称为y关于x的经验线性回归方程，简称为线性回归方程，b。,？称为回归系数, 直线？ ?o l?x称为回归直线。可以证明回归直线始终是通过点 x,y的，因此有时为了计算简便，常常可利用平移坐标的方法适当地选择邻近x,y的点x0,y。为新的坐标原点。设 x 为 x。， yyiy。，贝U有 x x x。， y yyoLxxL xyxy ，L

20、 yy于是有b? Lxy/LxxI。yy。b? xx。(3-7)例 以家庭为单位，某商品的需求量y与该商品价格x之间的一组调查数据如下表（见表3.1 ）,求y对x的回归直线方程。表3.1商品价格x （元）商品需求量y （千克）1.。2.。2.。2.3 2.5 2.6 2.8 3.。3.33.55.。3.。3.5 2.7 2.4 2.5 2.。1.5 1.21.2解 从观测值的散点图（见图3.1 ）上来看，一些点分布在直线附近,作一元线性回归比较合适。为求一元线性回归方程 ？ b0 Rx将所求计算列表如下（见表3.2）图3. 1表1.211.05.01.0025.005.0022.03.04.0

21、09.006.0032.03.54.0012.257.0042.32.75.297.296.2152.52.46.255.766.0062.62.56.766.256.5072.82.07.844.005.6083.01.59.002.254.5093.31.210.891.443.96103.51.212.251.444.2025.025.067.2874.6854.97由止匕得 X =2.5 y=2.5 n=10故所求回归方程 ？ 6.45 1.58x这里回归系数口1.58表示商品的价格每增加1元，该商品的需求量平均减少1.58千克。二、极大似然法（MD3、有效性ybo biXi Ui(3

22、-1 )满足：E(ui)0,Var(ui)2 i 1,2, n假设模型的参数估计为60E那么y服从正态分布求极值得 即得 b0y bX三、参数估计量的性质：_(Xi x)二 yi(Xi X)b0 y ?x= 1 n=(1 ciX)Yin2、 无偏性估计量是随机变量1、 线性：b0,?是yiyn的线性函数ci VV ci V X,对于不同的样本值会彳#到不同的估计值.我们希望估 计值在未知参数真值附近，它的数学期望等于未知参数的真值，这就导致无偏 性这个标准.定义 设 如12，,Xn)是未知参数 的估计量，若 E(?),则称？是的无偏估计量?(Xi X) _Eb1 一;z-y Eyi = ci

23、(bo bXi)(Xi x)(Xi X)3 X)供 X)=bo -；r-y b1 一;不 Xi “ 一;三y (X x) “(为 X)(Xi X)(Xi X) TOC o 1-5 h z 2 (Xi X)222 22(XiX)(Xi X)22-22X22_2(Xi X)n-2(Xi X)2高斯一一马尔柯夫定理：&R为bo “的最佳线性无偏估计(最佳即在一切 线性无偏估计中方差最小)4、？2总(y,yi)2是2的无偏估计。F面来讨论回归分析中具有重要意义的分解公式， 进而给出2的估计值。对于任意n组数据X1,y1 , X2,y2 , Xn, yn ,恒有其中 ?ibOl?Xi ( i 1,2,

24、,n),我们将yi与其均值y之间的差称为离差，将离差分解为yiyi?i?i?iyibo杀bob?Xyi yb? XiX Xixnb?1 yi yi 1Xi Xnb?12Xi X 2i 1=b?LXyb?-XXyiyiyi上式称平方和分解式。该式中三个平方和的意义如下:Lyyy i y ii 1是yi,y2,yn这n个数据的离差平方和，它的大小描述了这n个数据的分散程 TOC o 1-5 h z nn度，称总离差平方和，称?i y 2为回归平方和，y ?i 2就是Q,它反映i 1i 1了观测值yi偏离回归直线的程度，称剩余平方和或残差平方和，在分解公式的基础上可以证明？2的估计值/白（yi ?）

25、2nn因为？iy2=rXix2=R2Lxxi 1i 1而ER2Eb1 2Lxxb12n于是 E(?iy 2)Eb12 Lxx= 2 b12Lxxi 1而 E y；D % E yi 2 = 2b。b的2 21且 E y D y E y = Dn i 1nn故 Eyi y2 =E v： ny2i 1i 1n22=E yi nE yi 1n一22 n=bo bxini 1n= n b0 2b0b1xii 12 _ 12yi bo bx =b0blxn一 b0b1xn,222.22-2b1 xinb02nbob1x nb1 x2, 2n nb02nb0b1x TOC o 1-5 h z n22,22-

26、 2xinb02nb0b1x nb1 xi 122b1 nxn2. 22bixi2222n 1b1xi 2xxinxi 1i 1nd 2.22n 1biXi xi 12. 2=n 1b1 Lxx综上述可知E( (yi ?)2)nn1-2/c 一 2、Eyi y - e( 夕 y)i 1i 12. 2,2, 2 .n 1 b Lxxbi Lxx所以 2 = E( (yi ?i)2)/n 2这表明?2 JL(yin 2?i)2是2的无偏估计。多元线性回归模型的参数估计一、多元线性回归模型在许多实际问题中，随机变量y常与多个普通变量X2, ,xm有着线性相关 关系,即回归模型为y bo bebmxm

27、 u,其中UN(O, 2),这里bo,b1,b2, bm及2都是未知参数。设来自上述模型的m 1维观测值为其中xj是自变量xj的第i个观测值，yi是随机变量y的第i个观测值，它们满足其中5 N(0, 2) , ( i 1,2, ,n)且彼此独立，写成矩阵形式为像一元线性回归一样，我们希望由观测值得到其回归方程，首先用最小二乘法对未知参数bo,b1,b2, bm进行估计，其次对其回归方程进行显着性检验。nyi (bobiXiib2Xi2bmXm )之对Q求偏导，令每个偏导等于零得方程i 1组，该方程组经整理可写成如下正规方程组,n其中y - yi n i iXi二1, 2,nl ij l ji

28、(XkiXi )(XkjXj ) , i , j 1,2, mk 1nl 0i (XkiXi)(yk y), i， 1,2, mk 1解此方程组便可得到bohb, bm的估计值总B,b2, ,?m ,故m元线性回归方程为y? b0 t?X1b2X2BxmXm例 拉弗曲线描述税收s和税率r的关系为 TOC o 1-5 h z 令 X1r, x2r2得 s a bx1cx2已知某税收y (亿元)与他的税率x(1/1000)有关，下表记录了相应的观测值,试找出x与y的关系式表1.834363738393939401.30 1.00 0.73 0.900.81 0.700.60050404142434

29、34547480.44 0.56 0.30 0.420.35 0.400.410.60解：由散点图(见图)看出用二次曲线去描述它较好，图于是可设y与x之间的关系为令Xi X,X2 X2上式为对这个二元线性回归模型经计算得于是得正规方程解方程得b 18.484, I?0.8205,自 0.009301于是得回归方程为即x与y的关系为可进一步算出当X044.11时？的最小值？0 0.392 0.009301即当这种税率x为44/1000左右时，税收y约为0.39二、多元线性回归模型参数估计的矩阵形式1、最小二乘估计多元线性回归模型的矩阵形式为如果模型的参数估计值已经得到则有被解释变量的观察值与估计

30、值之差的平方和为由最小二乘法参数估计值为的解。求解过程如下2、极大似然估计多元线性回归模型之中uN(0, 2)Xim所以yiN(Xi?, 2)其中Xi (1,为1%2写出似然函数对数似然函数为对对数似然函数求极大值即求得到g (XX) 1XY与最小二乘法的估计一致。三、参数估计的量的性质1、无偏性=b (xx) 1EXU b这里利用了解释变量与随机误差项不相关的假设2、有效性这里利用了1=(xx) 1X (xb u )=b (xx)1XU根据高斯马尔柯夫定理在所有无偏估计量的方差中上述方差最小。 所以该参数具有有效性。3、随机误差项的方差估计1(i x(x x) 1X )u =MU这里 M =

31、 I X(XX ) 1X 为对称幂等阵M =MM 2 M M M 所以= 2tr( i x(xx) 1X )21= 2 tri tr (X(XX) 1 X )= 2(n m 1)2、多元线性回归的平方和分解：可得2 E(ee)n m 1方差的估计为？2n m 1多元线性回归的统计检验多元线性回归的统计检验包括：拟合优度检验、方程的显着性检验、和变 量的显着性检验。一、拟合优度检验1、一元线性回归的平方和分解:我们将yi与其均值y之间的差称为离差，将离差分解为 TOC o 1-5 h z nn故yiyi 2 y?ii 1i 1n ?y yi bo取 b0”为yi 1 n= yi yI? xiX

32、H xiXi 1nb12 Xix2i 1n=b?1 yi y Xixi 1= t?LxyI_xxoxy xxn故yiyii 1yin?2?iyi 1上式称平方和分解式。该式中三个平方和的意义如下:nTSS= yi yi 2 = i 1Lyy是y1,y2,yn这n个数据的离差平方和，它的大小描述了这n个数据的分nn散程度，称总离差平方和，称ESS ? y 2为回归平方和，RSS yi ?i 2就 i 1i 1是Q,它反映了观测值yi偏离回归直线的程度，称剩余平方和或残差平方和，yi?i ?i y = y?(yi %) y (yi ?)1=(b ?Xii&Xim)(yi ?J y (yi y?)=

33、b? (v ?i) b? Xi(y yi)bm /？i) y 巴幻由正规方程得(yi yi)=0Xil (yi ?i )=0 n所以有yi ?i ?i y =0i 1即 TSS=RSSESS对拟合得好的模型 总离差平方和与回归平方和比较接近。决定系数为拟合优度的标准。完全拟合时r2 1一元时TSSLyy nness ? y2=b12 Xi x2=?2Lxx i 1i 1所以r2 小 工进而定义X与y的相关系数 r 二=相关系数 LyyLyyLxxLxxLyy反映了 X与y的相关关系。从上式可看出，r的符号与Lxy的符号相同，从而与回归系数b的符号一致。若r=0时，则Lxy=0,因此b=0。根据

34、最小二乘法确定的回归直线平行于 X,说 明y的变化与X无关。1时，说明所有的点都在一条直线上，称 X与y完全线性相关；当r 1时称完全正相关，当 r 1时，称完全负相关。而绝大多数情况为0 1rli，此时对给定的显着水平 查相关系数表R,当|r| R时，拒绝H0 认为相关系数显着，反之，当|r| R时，接受H。，认为x与y无显着相关关 系。（见前例r未知，检验H 0 :0, H1 : 0.9739）二、方程显着性检验（一）假设检验.基本思想概率性质的反证法 2,基本步骤提出零假设、备择假设.2 ）寻找统计量.3）选择显着水平.4）统计量与临界值的比较3.双尾检验与单尾检验双尾检验H 0 :0,

35、 H 1 :单尾检验H0 :0, H 1 :般单尾检验更容易否定H0 单样本正态总体的假设检验2已知，检验H0：0,H1：u X0-Vn N(0,1)双尾ZZ_接受H。2t X vn t(nS1)双尾t t (n 1),接受 H0 2.查表问题：单尾检验单尾表 查单尾检验双尾表查2双尾检验单尾表查金双尾检验双尾表查（二）一元线性回归的t检验在求回归方程的计算过程中，并不需要事先假定X与y之间具有线性关系,即不管x,y在坐标平面上多么杂乱无章，总可给它配一条回归直线？ b0 Rx,显然所配直线是否有意义，即y与x是否确有线性关系。需进一步进行检验， 下面来讨论如何检验ydbix u , u N

36、0, 2这一假设是否合适，亦即检验 t n 2Ho : bi 0, H bi0的真假问题。由t分布的定义统计量对于给定的显着性水平，查自由度为n 2的t分布临界值表，得临界值J”由样本值计算统计量T的值t,若|t；2则拒绝H。，认为回归效果显着。反之，若tt,2 ,则接受H。，认为回归效果不显着。例、某地区第一年到第六年之间用电量 y与年次x的统计数据如表所示。表年次xi123456用电量yi （亿度）10.4 11.413.114.214.815.7求y Xtx的回归方程，并在 0.01下作显着性检验,解 作散点图，观察知y与x近似直线关系，因此设 y b bix u ,计算得 x 3.5

37、y 13.27 Lxx17.5 Lxy 18.9 Lyy 20.87故 biLxy /Lxx 18.9/17.5 1.08, b0 13.27 1.08 3.5 9.49所以线性回归方程为? 9.49 1.08x又？2RSS 1yib?0 Rxi 2 = TSS ESSn 21c 1Lyy t?Lxy =- 20.87 1.08 18.9 =0.1145n 2 yy 1 xy 4H 0 ： b1 0 , H1 ： b1 0= 13.3514.6041=to.o05 4从而知回归效果显着。（三）一元线性回归的F检验总离差平方和TSS勺自由度fTssn 1 ,回归平方和ESS由1个普通变量x对y的

38、线性影响决定的，所以它的自由度的自由度为fRSS n 2。所以有fESS 1 ,前述已知残差平方和RSS在H0为真的前提条件下，前述已知 RSS 2（n 2）,可以证明ESS 2。由于ESS与RSS相互独立，由F分布的定义知F统计量ESS 2RSS cn 2ESS F1,nRSS n 2给定显着性水平 查F分布表，由样本值计算F统计量的值F ,如果F F则拒绝H0 ,认为回归效果显着，反之F F则接受H。认为回归效果不显着。（四）、多元线性回归模型的显着性F检验检验下面检验方程是否显着，也就是检验假设 H 0 ： b b2bm 0是否成立,作统计量可以证明在假设H。成立时F F m,n m 1

39、这样对给定显着水平，可查F分布表得临界值F m,n m 1 ,如果由观测值算出统计量F的值F0 ,使得F F m,n m 1 ,则拒绝H 0 ,认为线性关系显着，否则接受H。，认为线性关 系不显着三、变量的显着性检验因为以Cii表示（XX） 1的主对角线上的第i个元素则D（R）2Gi方差的估计为?2n m 1如果Xi是显着的bi应该不为0设 H 0 ： bi 0 , H1 ： bi 0ttn m 1这样对给定显着水平 ，可查t分布表得临界值t /2 n m 1 ,如果 由观测值算出统计量t的值，使得|t t /2 n m 1 ,则拒绝H0 ,认为为显着，否 则接受H。，认为Xi不显着。多元线性回归的统计推断一、多元线性回归的参数估计量的置信区间所以其置信