2022年二项式定理知识点总结教案资料

1、精品文档二项式定理 一、二项式定理：abnC n 0anC n 1an1bC n kank bkkkC n n bn（nN）等号右边的多项式叫做abn的二项绽开式,其中各项的系数C0,1,23n叫做二项式系数；n对二项式定理的懂得：（1）二项绽开式有n1 项（2）字母 a 按降幂排列,从第一项开头,次数由 第一项开头,次数由 0 逐项加 1 到 nn 逐项减 1 到 0；字母 b 按升幂排列,从（3）二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数 a, b,等式都成立,通过对 a, b 取不同的 特 殊 值 , 可 为 某 些 问 题 的 解 决 带 来 方 便 ； 在 定 理 中 假 设 a 1,

2、b x, 就n 0 n 1 k n k n n1 x C n x C n x C n x C n x（n N）n（4）要留意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式 a b 绽开,得到一个多项式；n另一方面,也可将绽开式合并成二项式 a bk n k k二、二项绽开式的通项：T k 1 C n a b二项绽开式的通项 T k 1 C n ka n kb k k 0 ,1, 2 3, n 是二项绽开式的第 k 1 项,它表达了二项绽开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求绽开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用对通项T

3、 k1Ckankbkk0 ,1,2 ,3n的懂得：n（1）字母 b 的次数和组合数的上标相同（2） a 与 b 的次数之和为nb ,n,k,T k1这 5 个元素,知道4 个元素便可求第5 个元素a ,（3）在通项公式中共含有精品文档精品文档例 1C13 C29 Cn3n 31Cn等于（1）nnnA4nB；34nC；4n1D.4n33例 2（1）求12 7的绽开式的第四项的系数；（2）求x19的绽开式中3 x 的系数及二项式系数x三、二项绽开式系数的性质：对称性：在二项绽开式中,与首末两端“ 等距离” 的两项的二项式系数相等,即C0Cn,C1Cn1,C2Cn2,CkCnk,nnnnnnnn增减

4、性与最大值：在二项式绽开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值；假如二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n 偶数：Ckmaxn；C2 nn假如二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并最大,即CkmaxCn1n1n2Cn2n二项绽开式的各系数的和等于n 2 ,令a1,b1即C0C1Cn 11n2n；nnn1,b1即 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 和 与 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 和 相 等 , 令aC0C2C1C32n1nnnn例题： 写出xy11的绽开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）项的系数肯定值最大的项；（3）项的系数最大的项和系数最小的项；

5、（4）二项式系数的和；（5）各项系数的和 精品文档精品文档四、多项式的绽开式及绽开式中的特定项（1）求多项式a 1a 2ann的绽开式,可以把其中几项结合转化为二项式,再利用二项式定理绽开；例题： 求多项式x2123的绽开式x2（2）求二项式之间四就运算所组成的式子绽开式中的特定项,可以先写出各个二项式的通项再分析；例题： 求 1x21x5的绽开式中3 x 的系数例题：（1）假如在x21xn的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中的4有理项；精品文档精品文档（2）求x123的绽开式的常数项；x【思维点拨】求绽开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定k五、绽开式的系数和求

6、绽开式的系数和关键是给字母赋值,赋值的挑选就依据所求的绽开式系数和特点来定例题： 已知12 77a 0a xa x2La 5a x7,求：|a 0|a 1|L|a7|. （1）a 1a 2La；（2）a 1a 3a ；（3）精品文档精品文档六、二项式定理的应用：1、二项式定理仍应用与以下几方面：（1）进行近似运算（2）证明某些整除性问题或求余数（3）证明有关的等式和不等式；如证明：2n2nn3 ,nN取2n11n的绽开式中的四项即可；2、各种问题的常用处理方法（1）近似运算的处理方法当 n 不是很大, | x | 比较小时可以用绽开式的前几项求1xn的近似值；（）例题： 1.056的运算结果精

7、确到0.01 的近似值是D 1.34 A1.23 B1.24 C1.33 （2）整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题,必需构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数的倍数与某数 k 的和或差的形式,再利用二项式定理绽开,这里的 k 通常为 1,如 k 为其他数,就需对幂的底数 k 再次构造 和或差的形式再绽开,只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了要留意余数的范畴, 对给定的整数a,bb0 ,有确定的一对整数q 和 r ,满意abqr,其中 b 为除数, r 为余数,r0 ,b,利用二项式定理绽开变形后,如剩余部分是负数,要留意转换成正数例题： 求2

8、02263除以 7 所得的余数精品文档精品文档例题：如 n 为奇数,就7nC17n1C27n2Cn17被 9 除得的余数是（）nnnA0 B；2 C；7 2D.8 1n3例题： 当nN且 n 1,求证 1n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题,它的取舍依据题目而定精品文档精品文档综 合 测 试一、挑选题：本大题共 12 个小题,每道题 5 分,共 60 分在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的 .1在 x 3 10的绽开式中,x 的系数为 6（）A27 C 10 6 B27 C 10 4 C9 C 10 6 D9 C 10 42 已知 a b 0 , b 4 a,a b n 的

9、绽开式按 a 的降幂排列, 其中第 n 项与第 n+1 项相等,那么正整数 n 等于（）A4 B9 C10 D 11 1 n3已知（a 3 2 的绽开式的第三项与其次项的系数的比为 112,就 n 是（）aA10 B11 C12 D 13453 10 被 8 除的余数是（）A1 B2 C3 D 7 5 1.056 的运算结果精确到 0.01 的近似值是（）A1.23 B1.24 C1.33 D 1.34 n6二项式 2 x 4 x 1 n N的绽开式中,前三项的系数依次成等差数列,就此绽开式有理项的项数是（）A1 B2 C3 D4 1 17设 3x 3+x 2 n 绽开式的各项系数之和为 t,

10、其二项式系数之和为 h,如 t+h=2 72,就绽开式的 x 2 项的系数是（）A1 B1 C2 D 32精品文档精品文档8在1xx26的绽开式中5 x 的系数为（）5 ,2A4 B5 C6 D 7 931 x51 xn绽开式中全部奇数项系数之和等于1024,就全部项的系数中最大的值是（A330 B462 C680 D 790 10 x1 4x1 5的绽开式中,4 x 的系数为（A 40 B10 C40 D 45 11二项式 1+sinxn 的绽开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为就 x 在0,2 内的值为（）A或 B或 5C或 2 D或 56 3 6 6 3 3 3 612

11、在 1+x 5+1+x 6+1+x 7 的绽开式中 ,含 x4 项的系数是等差数列 an=3n 5 的（）A第 2 项 B第 11 项 C第 20 项 D第 24 项二、填空题：本大题满分 16 分,每道题 4 分,各题只要求直接写出结果 . 2 1 9 913 x 绽开式中 x 的系数是 . 2 x14如 2 x 3 4a 0 a 1 x a 4 x 4,就 a 0 a 2 a 4 2a 1 a 3 2 的值为 _. 3 2 n15如 x x 的绽开式中只有第 6 项的系数最大,就绽开式中的常数项是 . 16对于二项式 1-x 1999,有以下四个命题：绽开式中 T 1000 = C1999

12、 1000 x 999 ；绽开式中特别数项的系数和是 1；精品文档精品文档绽开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项；当 x=2022 时, 1-x 1999 除以 2022 的余数是 1其中正确命题的序号是 _（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 74 分. 17（12 分）如6x61n绽开式中其次、三、四项的二项式系数成等差数列x（）求 n 的值；（）此绽开式中是否有常数项,为什么？18 （12 分）已知 1 42x n 的绽开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数精品文档精品文档19（12 分）是否存在等差数列an,使a 10 C na21 C na3 C2an1 Cnn2n对任意nnn N *都成立？如存在,求出数列 a n 的通项公式；如不存在,请说明理由20（12 分）某地现有耕地 100000 亩,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比现在提高 10%；假如人口年增加率为 1%,那么耕地平均每年至多只能削减多少亩（精确到 1 亩）？精品文档精品文档21. （12 分）设 fx=1+x m+1+x nm、nN ,如其绽开式中,关于x 的一次项系数为11,试问： m、n 取何值时, fx的绽开式中含x2项的系数取最小值,并求出这个最小值. 22（14 分）规定m C xx x1xm1