微积分与概率论的初步设想

1、 数学教育学报第23卷第23卷第 期Vol.23,No.12014年2月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONFeb.,2014数学教育学报微积分与概率论的初步设想林群，薛晓欢中国科学院数学与系统科学研究院，北京100190）摘要：微积分中各种测量都会出现同一公式:相对真理=0.9-在概率论中，这一比例数只在概率意义下成立.绝对真理关键词：微积分；概率论；相对真理；绝对真理；比例数；0.9中图分类号：G40-03文献标识码：A文章编号：1004-9894（2014）01-0001-081.求圆面积,收稿日期：2013-12-26基金项目：国家自然科学基金用户友好型高效数值方

2、法研究及应用（11031006）作者简介：林群（1935）,男，福建连江人，数学家，中国科学院院士，主要从事计算数学研究，并致力于数学普及.1微积分微积分是什么？站高些，统一到一个哲学公式，带有比例数相对真理-09绝对真理（1）它揭示了追求真理的数字化过程：要经多道坎（即0.9,0.99,0.999,）再将比例提到1.或者说,相对真理不可能100%正确，只能正确到90%,99%,99.9%，就像“一尺之锤,日取其半,万世不竭”.微积分各个公式，归根结底只是这个公式的具体化.举例：正多边形面积是相对真理，它们的比值正多边形面积/1,圆面积所以要经过若干坎，0.9,0.99,0.999,，简言之,

3、有公式（1）.2-更一般,求曲边围成的面积，是绝对真理“达布小和”（曲边下面小矩形面积之和）是相对真理，它们的比值达布小和/1曲边面积也要经过若干坎，0.9,0.99,0.999,，简言之，也有公式（1）.但这里的绝对真理是未知数，可以通过下面不等式达布小和三达布小和/1曲边面积达布大和来求面积.求圆周长，是绝对真理，正多边形周长是相对真理，它们的比值正多边形周长/1圆周长也要经过若干坎，0.9,0.99,0.999,，简言之，也有公式（1）.求曲线弧长，是绝对真理黑色三角形的斜边长是相对真理，它们的比值斜边长/1,斜边长之和/1弧长全弧长也要经过若干坎，0.9,0.99,0.999,，简言之

4、，也有公式（1）也要经过若干坎,0.9,0.99,0.999,.简言之,也有公一（出现0.9，微分和便是一个无限加密的过程,以有积分全高=0.9的绝对真理（全高）是已知数这就是微积分的核心牛顿-莱布尼茨公式6.求物体的体积，是绝对真理小柱体的体积是相对真理,它们的比值小柱体体积/1,小柱体体积和/1微元体积全体积也要经过若干坎,0.9,0.99,0.999,，简言之,也有公式（1）小柱体的侧面积是相对真理,它们的比值圆台侧面积/1,圆台侧面积和/1微元侧面积旋转体侧面积也要经过若干坎,0.9,0.99,0.999,，简言之,也有公式（1）2生活中更简单的例子讲几个故事,它们背后隐藏着微积分的哲

5、学在中尺之锤名的取推半庄世天下篇的一句话:在这里,所有切去的部分是相对真理,全长是绝对真理,但是切去的部分会逐渐靠近全长,即比值（或比例）相对真理=切去的部分绝对真理全长数据化:次数剩下所占比值TOC o 1-5 h z0.50.25 HYPERLINK l bookmark141 o Current Document 0.1250.06250.031250.015625切去所占比值0.50.750.8750.93750.968750.9843750.992187500078125即9的个数在增多.如果改变取法,即1尺之绳,日取其九,渐得全长,万世不竭,将有整齐的结果.仔细说,1尺之绳,每次切

6、去剩下的90%,那么剩下的部分会越来越短,而切去的部分会以0.9,0.99,0.999-，整齐的方式-越来越接近1尺数据化：次剩下所占比值切去所占比值10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.99995000001099999但不一定日取其半或日取其九,如果日取其一,照样出现0.赛数据化：“次剩下所占比值切去所占比值10.90.120.810.1930.7290.27140.65610.343950.590490.4095160.5314410.46855970.47829690.521703180.430467210.5695327990.3874204890.

7、612579511100.34867844010.6513215599110.31381059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.83322818318084990536471908649148282200.12157665460.8784233454210.109

8、41898910.8905810109第1期林群等：微积分与概率论的初步设想 #第1期林群等：微积分与概率论的初步设想 2009847090209015229098这里，每次切去10%,即每次剩下90%,全长减去剩下，就是切去的部分从上面的几个例子可以看到，不论每次取法如何，都有比值相对真理=切去的部分=09.绝对真理全长-在生活中可以举出许多例子，却有着相似的结果（1）霍金说，一本书多一个公式，少一半的读者数据化.公式数读者比例放弃者比例10.50.520.250.7530.1250.87540.06250.937550.031250.9687560.0156250.984375700078

9、12509921875这里，随着公式的不断增加，放弃阅读的读者人数是相对真理，所有的读者人数是绝对真理，那么，随着公式增加，就有比值相对真理_放弃读者数_09.绝对真理所有读者数”（2）在洗衣服的时候，每换一次水，都会洗去90%的污渍，洗的次数越多，衣服就会越干净数据化.次数剩下的污渍所占比例洗去的污渍所占比例10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.99995000001099999这里，随着洗涤次数的不断增加，洗去的污渍是相对真理，所有的污渍是绝对真理，那么就有比值相对真理_洗去污渍_09.绝对真理全部污渍（3）类似的，在冶炼黄金时，每次都提升90%的次数剩下

10、的杂质所占比值黄金纯度10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.99995000001099999这里随着冶炼次数的不断增加，得到的黄金是相纯度数据化对真理，纯金是绝对真理，那么，就有比值相对真理_冶炼得到黄金_09.绝对真理纯金-次数剩下所占比值掉落所占比值10.90.120.810.1930.7290.27140.65610.343950.590490.40951（4）秋天到了，有一棵树每天都会掉落10%的叶子.还是类似的一张表60.5314410.46855970.47829690.521703180.430467210.5695327990.3874204

11、890.612579511100.34867844010.6513215599110.31381059610.6861894039120.28242953650.7175704635130.25418658290.7458134171140.22876792460.7712320754150.20589113210.79410886791608146979811170.1667718170.83322818318084990536471908649148282200.12157665460.8784233454210

12、.10941898910.8905810109220098477090209015229098注：每天掉落10%，即每天剩下90%，全部减去剩下，就是掉落的叶子这里，随着时间的不断增加，落叶是相对真理，所有的树叶是绝对真理，那么就有比值相对真理_落叶数_09,绝对真理树叶数当叶子掉光的时候，冬天就到了在测量一根1米长的木棒时，每次都利用刻度更密，精度更高的工具，使得测量结果增加一位小数，测量结果如下表1HH/IJ丄JHJ口/T、10.10.920.010.9930.0010.99940.00010.99995000001099999这里，测量结果0.9,0.99,0999,，是相对真理，实际长

13、度1是绝对真理那么就有比值相对真理_测量结果_09.绝对真理_实际结果_.还有非常类似的故事，需要化整为零，也是测量精度会影响最后结果，叫愚公量山愚公家门前有一座高山，愚公想知道山高，但是方法粗糙，工具有限，只能测出山高的90%，但是经过不断改进，每次都利用刻度更密工具，精度更高的方法，使得测量结果增加一位小数-测量结果如下表.测量精度0.10.010.0010.0001000001分割次数y-jwJiy12345测量结果0.90.990.9990.9999青度恰好与测量精度相等.精有一个巧合,分割099999 数学教育学报第23卷 数学教育学报第23卷7777理，这里测量结果0.9，0.99

14、，0999，实际长度1是绝对真理那么就有比值相对真相对真理=测量结果=09.绝对真理=实际结果=.有人说：“你们一家永远得不到精确的山高，不要白费功夫了！”愚公坦然回答：“汝心之固，固不可彻，子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有CX，孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不得山亠”7高？”以上故事各不相同，却有着惊人的相似，都有一个共同现特;点.：不是愚公量每的以事一定需要麴为零最后不断重复测量，并且测量仪器的刻度越密，测量方法的精度越高，9的个数就会越多，直至最后出现0.9.这样就可以看到，精度的大小（局部的比值），直接影响了最后的测量结果（整体的比值），即9的个数3理论分析从实验数据中已

15、看到规律，下面通过理论证明这些规律首先在曲线求高的例子中,可以证明微分和/1全咼正n边形多边形面积与圆面积之比62.59810.827072.73640.871082.82840.900392.89250.9207102.93890.9355123.00000.9549143.03720.9668163.06150.9745183.07820.9798203.09020.9836253.10860.9895303.11870.9927353.12470.9946403.12870.9959503.13330.9974603.13590.9982703.13740.9987803.13840.9

16、990903.13900.99921003139509993类似的，在计算其它图形的面积时，仍采用上述思想三达布小和=0.999达布大和也就是:达布积和，所以分对初子即面积，或积分，后者可由牛顿-莱布尼茨公式来算等函数成立（见参考文献1和2），这时，分子的微分和由于分割无限加密，便定义为积分，所以这个积分就是全高，或牛顿-莱布尼茨公式Jf（x）dx=f（b）-f（a），a所以，一旦变成积分，就能计算了（假设被积函数可以写成导数的形式）据此可推出以下许多结论1.面积举个例子，y=x在0,1，此时曲边梯形变为一个利用达布和来计算来看求圆面积的例子，其实，面积有着实际的意义：直接可以用来计算n.图中

17、的角为-，半径为1.n那么可以计算得到正n边形的面积Sn.n=nsinnncos，n圆的.nn.nnsincosSnnsinn面积S=n，面积比n数n=cos，Snnnn据化：达布和4133825-5123面积比0.50.60.750.80.833330.8571428571 数学教育学报第23卷第1期林群等：微积分与概率论的初步设想 8-70.87516940.88888888899-9-10200.911-50.90909090911112110.916666666724再来看一个计算面积的问题，计算y=1在区间x1,b与x轴所围曲边梯形面积.但是，可以看到，这是有误差的，但是，随着分割的

18、加密，S也在不断地增加，取一个曲边梯形来看，用个数越多的矩形来代替小的曲边梯形，结果越精确.通常的做法是：将区间分割，利用小矩形面积的和S来计算可以看到，分割越密，S越大，但是S不会超过曲边梯形的面积，就像0.999在不断接近于1却不会超过1一样，这样，随着分割加密，小矩形的和会逐渐靠近一个数S，就像0.999逐渐靠近1一样，那么Sbb就是曲边梯形的面积，显然，sb是一个关于b的函数，把它定义为lnb.计算y=1在区间1,2与X轴所围曲边梯形面积.X等分次数23456204050100S712376053284016272520181072772036374858046551935342931

19、457063200405090787735888064366863128436501589706531905345143847686769193280*与ln2的比值0.40433585530.42744076130.43981838960.44752002490.45277113990.98220.99100.99280.996447979622564155786918478609039662898122617注：*：6972037522971247716453380893531230355680019575880185461045408351330355715981251517116521

20、60592859415943307032856473245025111835139*：28343999061590442406677795528978269532133981746651868422592186715733951097535915131680002.弧长公式前面已经知道了如何求山高，现在来看一个更加有意思的问题，如何来求上山走过的路程？还是回到曲线求高图：在每一个小的直角三角形中,底为h,高微分为f,(x)h,那么根据勾股定理，可以得到小直角三角形的斜边长为h2+(f(x)h)2=h：1+(f(x)2,将各个小直角三角形斜边之长加起来就得到曲线弧长的近似值，且随着分割加密，得到

21、的值会越精确.当斜边长之和刀h、；1+(f(x)2在分割加密,即iii=1minh,h,h不断减小时,越来越靠近弧长,那么12n=arcsin1-arcsin0n.-2五次分割占002040608八、斜丄边长0202041021820250003333十次分割占001020304斜边长0101005010210104801091点0506070809斜边长0115501250014000166702294二十次分割占00050101502斜边长00500501005030050600510占八、0250303504045斜边长0051600524005340054600560占八、050550

22、606507斜边长0057700599006250065800700占0750808509095斜边长0075600502009490114701601来看计算的结果分割次数51020斜边长的和1.20561.29311.3314比值0767508232084763曲率相对真理绝对真理=0.9.此时相对真理绝对真理工hi1+(f(x)2i=0.9997=1弧长有了弧长公式ds=151+(f(x)2dx之后,就可以研a究所以,弧长即积分J气1+(广(x)2dxa后者可由牛顿-莱布尼曲线在一点处的弯曲程度,曲线的曲率,da是角度的变化，ds是弧长的变化，定义k=虹kds，tana=f(x)a=ar

23、ctan(f(x)茨公式来算./=fE=亡,da=(arctan(f(x)dt，带入计算即得3(1+(y)2)2+(f(x)2dx0=炸4.体积对于一般物体的体积计算，将其切片之后利用小的柱体来计算,设小柱体底面积为A(x),高为Ax,柱体ii体积和=A(x)Ax,那么随着切片的加密,niii=1工A(x)Axv/ini=1立体体积会以0.9*,0.99*,0.999*，的方式不断靠近1.x2.1+dx1-x21-dx1-x2a两边乘以1-q，令P=1q即可得到).不是所有的和式都会随着n的增大靠近一个固定常数(例女口1+2+3+n)那么，如果yS=a随着nnnn=1大靠近某一个固定常数S，即

24、A-相对真理=S_绝对真理=SyNaann=1随S布尼iin的增大以0.9，0.99，0.999的方式靠近1，那么称级数ya收敛到S，即艺a=S，即仍然统一为一个公nnn=1n=1式：V=旋转体体积会以0.9*，0.99*，0.999*，的方式不断靠近1.所以旋转体的体积即积分V=bA(x)dx，后者可由a相对真理09.亠亠=0.9绝对真理如果a=p”，(0p1)，从(2)已经得到nS=J(1PN)，N1_P随着N的增大，1_PN会以0.9，0.99，0.999,的方式不断靠近1.牛顿-莱布尼茨公式来算5.旋转体的侧面积小圆台的表面积为B(x)-2nf(x)As,其中As为弧长，根据弧长公式可

25、得：B(x)=2nf(x)As=2nf(x)：1+(f(x)2Ax,iii那么ii会以0.9*，Sn=S0.99*2n工f(x)t1+(f(x)2Axiiii=1旋转体侧面积0.999*，的方式不断靠近所以旋转体的体积即S=2bf(x)Jl+(f(x)2dx，a后者可由牛顿-莱布尼茨公式来算6.级数再来看看在剪绳子的例子中得到的两种方法，随着n的不断增大，左边的求和项不断增加，但是从右边来看，(1_q)n逐渐减小，和式逐渐靠近1.可以得到等比数列的求和公式1Pn/P+P2+P3+Pn=P，(P产1)1_p根据(1)，1+(1_q)+(1_q)2hF(1_q)n_i下面给出一个例子，例如计算y2

26、S=3=1-23(2、N2，S=21-N、3丿丿，数据化100.33330.91220.98272025300.99970.999960.999995从例子中可以看到相对真理S=N绝对真理SyNPnn=1P随着N的不断增大，以0.9，0.99，0.999,断靠近1.(2丄3丿n=1150.9977350.9999993的方式不所以，级数也可以用比值的方法来研究，收敛的级数也会出现0.9.7.测度在测度论中，若EuuA”，则外测度满足m*(E)/1.ym(A)ii=1康托尔集康托尔集C是由不断去掉线段的中间三分之一而得出，那么去掉的长度12482n=全长3927813n+1f(n)=minp=k

27、J2nnpq眾2n=J2丫/1,3n+1I3丿n-1会以0.9,099,0.999,的方式靠近1.(1.2)随着n的不断增大，随着过程的不断重复可得m(C)-0,即康托尔集的npq长度却含有无穷多的元素j=e2x2dxaT2n依测度收敛：设f(x)在X上依测度收敛于f(f),即mf-/丿/1.nm(X)会逐渐靠近1，即Pf(n)=min4概率论初步设想unp,aW*npqfb1e异dxa2nP2jbJe-2dx”*2nUnp”WWbwnpq&0随着n的不断增大,P去p0,X,3(i=1,2,pWzn0(z)随着n的不断增大,P”1XJi1会逐渐靠近1，即会以0.9,099,f(n)=min0.

28、999,的方式靠近1.2.中心极限定理(1)若卩是n次Bernoulli实验中事件A出现的次数，P(A)-p:0p1,则对任意区间a,b(1.1)若Wxk=血Wb,那么随着n的knpq会以0.9，099，0.999，pz(z)(z)pEzn的方式靠近1.其中不断增大,pw”=ke-2xkv2n%npq0(z)=J=e-异dx一八2n是标准正态分布的分布函数.钉板实验将小球从顶端释放下落的位置如下图类似正态分布的钟形曲线.会逐渐靠近1即徐美萍、李琴对概率与统计中的上述理，论做了计算，证实公式(1)在概率意义下会出现0.9但她们在算例中发现：不像一般微积分的数列那样出现0.9，只是在概率意义下所以，公式(1)不同领域可能有不同的意义这是值得注意的地方另外，陈竑焘还利用7、值得探随机数求积分，哲学公式的比值还是统一到同一数