（离散型随机变量的方差）人教版高中数学选修2-3教学课件（第2.3.2课时）

1、讲解人：精品课件 时间：2020.6.1PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3 2.3.2离散型随机变量的方差第2章 随机变量及其分布人教版高中数学选修2-3第一页，共三十四页。1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 . 两种特殊分布的均值 （1）若随机变量X服从两点分布，则EX=p. （2）若XB(n，p) ，则EX=np.课前导入第二页，共三十四页。数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常

2、称为随机变量的平均数、均值.今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.课前导入第三页，共三十四页。思考 要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录， 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X15678910P0.030.090.200.310.270.10新知探究第四页，共三十四页。 第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X256789P0.010.050.200.410.33根据已学知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算新知探究第五页，共三十四页。 E(X1

3、)=8，E(X2)=8， 发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.思考 除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？新知探究第六页，共三十四页。图(1)(2)分别表示X1和X2的分布列图. 比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，即第二名同学的射击成绩更稳定.O5671098P0.10.20.30.40.5O56798P0.10.20.30.40.5(1)(2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性?新知探究第七页，共三十四页。1.方差 设离散型随机变量X的分布列为 知识要点Xx1x2xixnPp1p2pipn 则(xi-E(X)2描述了xi(i

4、=1，2，n)相对于均值E(X)的偏离程度.新知探究第八页，共三十四页。为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小.新知探究第九页，共三十四页。说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标.思考随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?新知探究随机变量的方差是常

5、数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.第十页，共三十四页。现在，可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点，为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义，得因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.新知探究第十一页，共三十四页。知识要点2.几点重要性质 （1）若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p); （2）若XB(n，p)，则D(X)=np(1-p); （3）D(aX+b)=a2D(X).新知探究第十二页，共三十

6、四页。 例题1A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：次品数10123概率P0.70.20.060.04次品数10123概率P0.80.060.040.10问哪一台机床加工质量较好？新知探究第十三页，共三十四页。 解： E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差 D1=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)2 0.06+(3-0.44)20.04=0.6064, D2=(0-0.44)20.8+(1-0.44)

7、20.06+(2-0.44)2 0.04+(3-0.44)20.10=0.9264. D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好. 新知探究第十四页，共三十四页。 例题2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？新知探究第十五页，共三十四页。解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得新知探究第十六页，共三十四页。 分析：因为 ，所以两家单

8、位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.新知探究第十七页，共三十四页。 例题3有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X. （1）求随机变量的概率分布； （2）求X的数学期望和方差.新知探究第十八页，共三十四页。解：（1）因此X的分布列为 （2）X01234P9/248/246/2401/24新知探究第十九页，共三十四页。 例题3有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏，以便自己轻松获利，以海报形式贴出游

9、戏规则：顾客免费掷两枚骰子，把掷出的点数相加，如果得2或12，顾客中将30元；如果得3或11，顾客中将20元；如果得4或10，顾客中将10元；如果得5或9，顾客应付庄家10元；如果得6或8，顾客应付庄家20元；如果得7，顾客应付庄家30元试用数学知识解释其中的道理.新知探究解:设庄家获利的数额为随机变量，根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为：X-30-20-10102030P2/364/366/368/3610/366/36因此，顾客每玩36人次，庄家可获利约260元，但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润；长期而言，庄家获利的均值是这一常数，也就是说庄家一定是

10、赢家.第二十页，共三十四页。1. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元）.投资成功投资失败192次8次课堂练习第二十一页，共三十四页。 答案4760提示：分布列为0.6-2.5P192/2008/192故课堂练习第二十二页，共三十四页。2.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示： 则其中产量比较稳定的小麦品种是_答案甲种品种第一年第二年第三年第四年第五年甲9.89.910.11010.2乙9.410

11、.310.89.79.8课堂练习第二十三页，共三十四页。3.某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值）课堂练习解析 不采用预防措施时，总费用即损失期望值为4000.3=120（万元）；若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概

12、率为10.9=0.1，损失期望值为4000.l=40（万元），所以总费用为4540=85（万元）；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为10.85=0.15，损失期望值为4000.15=60（万元），所以总费用为3060=90（万元）；第二十四页，共三十四页。 若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为4530=75（万元），发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)=0.015，损失期望值为4000.015=6（万元），所以总费用为756=81（万元）综合、，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少继续答题课堂练习第二十五页，共

13、三十四页。1.填空 （1）已知xB(100,0.5),则 Ex=_,Dx=_,sx=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, s(2x-1)=_.502559910010课堂练习第二十六页，共三十四页。 （1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( ) A. 0.6和0.7 B. 1.7和0.3 C. 0.3和0.7 D. 1.7和0.21 （2）已知xB(n，p)，E x =8，D x =1.6，则n， p的值分别是（ ） A100和0.08； B20和0.4； C10和0.2； D10和0.8 2.选择x12P0.30.7课堂练习第二十七页，共三十四页。3.解答题（

14、1） 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望. 分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.课堂练习第二十八页，共三十四页。解：设取得正品之前已取出的次品数为，显然 所有可能取的值为0，1，2，3 当=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P（=0）= 当=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P（=1）= 课堂练习第

15、二十九页，共三十四页。 当=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P（=2）= 当=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则 P（=3）= 所以，E= 继续答题课堂练习第三十页，共三十四页。（2）有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为，求E，D分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题课堂练习解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即B（200，1%），从而可用公式：E=np，D=npq(这里q=1-p)直接进行计算.由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以 B（200，1%） 因为E=np，D=npq，这里n=200，p=1%，q=99%， 所以, E=2001%=2,D=2001%99%=1.98.第三十一页，共三十四页。1.熟记方差计算公式2. 三个重要的方差公式（1）若 X 服从两点分布，则（2）若 ，则课堂小结第