#MATLAB在概率统计中的应用

1、第 7 章 MATLAB 在概率统计中的应用一、统计量的数字特征一)简单的数学期望和几种均值mean(x 平均值函数当 x 为向量时，得到它的元素平均值；当 x 为矩阵时，得到一列向量，每一行值为 矩阵行元素的平均值，举例 1：求矩阵 A 的平均值。D=74.001 74.005 74.003 74.001 74.00 73.998 74.006 74.02Mean(d2举例 2：设随机变量 x 的分布规律如下表，求 E(x和 E(3x 2+5的值 E(x的值X-20pk0.40.3E(x 的值：x=-2 0 2 ，pk=0.4 0.3 0.3sum(x *pkE(3x 2+5的值。x=-2

2、0 2 ，pk=0.4 0.3 0.3 z=3*x.2+5sum(z *pk x为向量，返回向量的样本方差； x 为矩阵，则返回矩阵 各列 的方差。 Var(x,11 返回向量 矩阵 x）的简单方差 即置前因子为的方差）n Var(x,w返回向量 矩阵） x 即以 w 为权的方差。Std 标准差函数1Std（x 返回向量或矩阵 x 的样本标准差 置前因子为）n1/ 251Std(x,1 返回向量或矩阵 x 的标准差 var(d,1%方差var(d%样本方差std(d,1%标准差std(d%样本标准差 ： x 为向量，返回向量的方差， x 为矩阵时返回矩阵的协方差矩阵，其中 协方差矩阵的对角元素

3、是 x 矩阵的列向量的方差值。cov(x,y ：返回向量 x.,y 的协方差矩阵，且 x， y 的维数必须相同。 1cov(x,1 ：返回向量 x 的协方差 ：返回列向量 x,y 的相关系数。corrcoef(x ： 返回矩阵 x 的列元的相关系数矩阵。举例：a=1 2 1 2 2 1x1=var(a %向量的方差y1=cov(a %向量的方差d=rand(2,6cov1=cov(d %矩阵 D的样本协方差c=rand(3,3x2=cov(c %矩阵 C的样本协方差y2=corrcoef(c %矩阵 C各列元的相关系数/ 25、常用的统计分布量一）期望和方差函数名调用方式参数说明函数注释Bet

4、astatM ，V=betastatN 主实验次数P 为二次分布概率二项式分布的期差和 方差ChizstatM ， v=Chi2stat(nunu 为卡方分布参数卡方分分布的期望和 方差ExpstatM ， V=expstat(mumu 为指数分布的特 征参数指数分布的期望和方差FstatM 1,V=fstat(v1,v2V1 和 V2 为 F 分布 的两个自由度F 分布的期望和方差GamstatM ， v=gamstat(A 1,BA,B 为分布的参数分布的期望和方差GeostatM ， v=geostat(PP 为几何分布的几 何概率参数几何分布的期望和方差HygestatMN, ,V=h

5、ygestat(M 1,K1,NM,K,N 为超几何概 分布参数超几何分布的期望和 方差LonstatM,V=logstat(mu,sigmamu 为对数分布的均 值 ,sigma 为标准差PoisstatM,V=Poisstat(LAMBDN 为泊松分 布参数NormstatM 1,V=normstat(mu,signaMu 为正态分布的均 值 sinma 为标准差正态分布的期望和方 差TstatM, ,V=tstat(nuNu 为 T 分布参数UnifstatM1,V=unifstat(A,BA,B 为均分布区间/ 25端点值举例 1：求参数为 0.12 和 0.34 的 分布的期望和方差

6、 m,v=betastat(0.12,0.34 m 为期望， v 为方差 举例 2：求参数为 6 的泊松分布参数的期望和方差m,v=poisstat(6 m 为期望， v 为方差二)概率密度函数1 离散型随机变量的分布及其数字特征 pk0, k=1，2，(2pk 1.k1称 F (x)pk 为累积概率分布xk x 以及计算二项分布均值和方差的函数 binopdf( X, N, P binocdf( X, N, P binoinv( Y, N, P binornd( N, P, m, n binostat( N,P其中 X 为随机变量； N 为独立实验的重复数 生随机矩阵的行数和列数若不指定XB

7、(n，p显然，两点分 E(X=np，方差为 D(X=npqbinopdf( 、 binocdf( 、 binoinv( 、 binostat( ，其使用格式为： 二项分布的密度函数 二项分布的累积分布函数 二项分布的逆累积分布函数 产生服从二项分布的随机数n和 p 的二项分布，记作求二项分布的数学期望与方差P 为事件发生的概率； m 和 n 分别是所产 m和 n，则返回一个随机数，否则返回一个服从二/ 25项分布的 mn 阶随机矩阵举例: 不同实验重复数 n和不同概率 p下二项分布的函数分布图和累积分布函数图 程序如下 :x=0:70 。y1=binopdf(x,30,0.67y2=binop

8、df(x,50,0.67y3=binopdf(x,80,0.67z1=binocdf(x,30,0.67z2=binocdf(x,50,0.67z3=binocdf(x,80,0.67subplot(2,2,3subplot(2,2,4 sstep(x,z2,k 运行结果如下 TOC o 1-5 h z subplot(2,2,1。 plot(x,y1,k.,x,y2,k.,x,y3,k.。subplot(2,2,2。 sstep(x,z1,k。 % sstep 绘制累积函数分布图sstep(x,z2,k。 sstep(x,z3,k。y1=binopdf(x,50,0.3。 z1=binocd

9、f(x,50,0.3。y2=binopdf(x,50,0.6。 z2=binocdf(x,50,0.6。y3=binopdf(x,50,0.9。 z3=binocdf(x,50,0.9。plot(x,y1,k.,x,y2,k.,x,y3,k. sstep(x,z1,k。sstep(x,z3,k。因为 MATLAB不提供绘分段函数图象的命令，故可借助如下函数sstep( 描绘累积函数分布图，其用法如下 ：sstep( Y或 sstep error(nargchk(1,3,nargin 。 sym = 。if isstr(vararginnargin,sym = vararginnargin。/

10、25msg,x,y = xychk(varargin1:nargin-1,plot 。if isempty(msg, error(msg。 endelsemsg,x,y = xychk(varargin1:nargin,plot 。if isempty(msg, error(msg。 endendif min(size(x=1, x = x(:。 endif min(size(y=1, y = y(:。 endn,nc = size(y 。ndx = 1:n。 1:n 。y2 = y(ndx(1:2*n-1,: 。if size(x,2=1,x2 = x(ndx(2:2*n,ones(1,nc

11、。elsex2 = x(ndx(2:2*n,:。endx2(2*n=2*x2(2*n-1-x2(2*n-3 。 y2(2*n=y2(2*n-1 。if (nargout if isempty(sym,for i=1:n TOC o 1-5 h z hold on。 plot(x2(2*i-1:2*i,y2(2*i-1:2*i。endhold off。elsefor i=1:nhold on。 plot(x2(2*i-1:2*i,y2(2*i-1:2*i,sym。endhold off。endelsexo = x2。yo = y2。end泊松分布如果随机变量的概率分布为kP X k exp( )

12、, k 0,1,2, ,k!其中 0 为常数，则称 X 服从参数为 的泊松分布，记作 X P( ，泊松分布的数学 期望 E(X= ，方差 D(X=在 MATLAB中，提供如下有关泊松分布的统计函数，使用格式为：/ 25poisspdf(X,LMD poisscdf(X,LMD poissinv(Y,LMD poissrnd(LMD,M,N poissstat(LMD泊松分布的密度函数 泊松分布的累积分布函数 泊松分布的逆累积分布函数 产生服从泊松分布的随机数 求泊松分布的数学期望与方差其中 X 为随机变量； Y 为显著概率值； LMD为参数， M 和为产生随机矩阵的行数和列 数例如类似于二项分

13、布可用下述程序绘出服从泊松分布的密度函数和累积分布函数图0.60.40.2010.80.60.8举例 ： x=0:5 。 y1=poisspdf(x,0.3 y2=poisspdf(x,0.6 y3=poisspdf(x,0.9subplot(2,1,1图2泊松分布的概率密度与累积概率分布图z1=poisscdf(x,0.3。z2=poisscdf(x,0.6。z3=poisscdf(x,0.9。plot(x,y1,k.,x,y2,k.,x,y3,k.subplot(2,1,2sstep(x,z1,ksstep(x,z2,ksstep(x,z3,k( 见图 2:利用逆累积概率分布函数求一定显著

14、概率条件下，泊松分布假设检验临界值x=0:0.1:1 。x= 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 poissinv(x,5ans = 1 2 3 4 4 5 5 6 7 8 Inf poissinv(x,10ans = 1 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Inf poissinv(x,100ans = 1 87 92 95 97 100 102 105 108 113 Inf poissinv(x,1ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 Inf求服从泊松分布的随机数及数学期望与方差如下：poissrnd(1ans

15、= 1poissrnd(5ans = 5poissrnd(5,5,10ans = 4 6 9 1 4 10 7 3 3 6/ 257543 4 546526438 2 645563868 8 8163744106 7 45423e,d=poisstat(5e =5d =5e,d=poisstat(10e =10d= 10超几何分布( L=min M， N ， X 的概率分P X kC kM C nN kM如果随机变量 X 的所有可能取值为， 布为其中整数 M，N0，且 nMATLAB中有关超几何分布的统计函数为：hygepdf( M,n,k,N hygepcdf( M, n, k, N hyg

16、einv( P,n,k,N超几何分布的密度函数 超几何分布的累积分布函数 超几何分布的逆累积分布函数hygestat( n, k, N超几何分布的数学期望与方差2 连续型随机变量的分布及其数字特征(1 基本概念设随机变量 X的分布函数为 F( x，若存在非负函数 f ( x，使对任意实数 x，有xF(x) PX x f (x)dx则称 X为连续型随机变量，并称 f (x为 X的概率密度，它满足以下性质： f (x0，- x+ 。 f(x)dx 1。 Pa- F(ab= a f (x)dx 。 P x=a=0 unifcdf( X,A,B均匀分布的密度函数 均匀分布的累积分布函数9 / 25un

17、ifinv( unirnd( unifstat(P,A,BA,B, m, nA, B均匀分布的逆累积分布函数均匀分布的随机数发生器均匀分布的数学期望与方差0.20.100 5 10其中 X为随机变量， P为概率值， A， B为均匀分布参数， m和 n 为生成随机数矩阵的 行数和列数绘制均匀分布的密度函数及累积分布函数图的程序如下图 5-5 )：指数分布如果随机变量 X的概率密度为f (x)exp( x),0,x 0;x0其中 为常数，则称 X服从参数为 的指数分布，记作 X e ( MATLAB 提供的有关指数分布的函数如下：exppdf( X,Lexpcdf( X,L expinv( P,L

18、 exprnd( X,L, m, nexpstat( L其中 X为随机变量， L 为参数 ， P为显著概率， 制指数分布密度函数和累积分布函数图形的程序如下指数分布的密度函数 指数分布的累积分布函数 指数分布的逆累积分布函数 产生服从指数分布的随机数 求指数分布的数学期望与方差 m和 n 为随机数矩阵的行数和列数绘 图 5-6 )：axis(-0.1,0.4,-0.1,1.1 。x=-0.1:0.001:0.4 。y=exppdf(x,0.05。z=expcdf(x,0.05subplot(1,2,1 。plot(x,y,k 。axis(-0.1,0.4,-0.1,21。subplot(1,2

19、,2 。plot(x,z,k 。图 5-6 指数分布的密度函数及累积分布函数图10 / 25标准正态分布如果随机变量 X的概率密度为：1f (x) exp2(x ) 222x,其中 和 均为常数，且 0，则称 X 服从参数为 和 2 的正态分布，记作 X N( , 2当 =0， =1 时，称 X 服从标准正态分布，记作 X N(0,1 MATLAB提供的有关正态分布的函数如下：normpdf(X,M,C正态分布的密度函数normcdf(X,M,C正态分布的累积分布函数norminv(P,M,C正态分布的逆累积分布函数normrnd(M,C,m,n产生服从正态分布的随机数normstat(M,

20、C求正态分布的数学期望和方差其中 X 为随机变量， M为正态分布参数，C为参数 ，P 为显著概率，m 和 n为随机矩阵的行数和列数绘制标准正态分布的密度函数及累积分布函数图图5-7 上)和一般正态分布的密度函数及累积分布函数图 图 5-7 下)的程序如下：x=-4:0.01:4 。y=normpdf(x,0,1。 z=normcdf(x,0,1。subplot(2,2,1 。plot(x,y,k 。axis(-4,4,-0.1,0.5。subplot(2,2,2 。plot(x,z,k 。axis(-4,4,-0.1,1.1。x=-4:0.01:16 。y1=normpdf(x,6,1。 z1

21、=normcdf(x,6,1。y2=normpdf(x,6,4。 z2=normcdf(x,6,4。y3=normpdf(x,6,0.6。 z3=normcdf(x,6,0.611 / 25subplot(2,2,3plot(x,y1,k,x,y2,k,x,y3,kaxis(-4,16,-0.1,0.8subplot(2,2,4plot(x,z1,k,x,z2,k,x,z3,kaxis(-4,16,-0.1,1.1 。图 5-7 正态分布的密度函数及累积分布函数图Y=Pdf(name, X,A,BY=Pdf(name, X, A,B,CName 为上表中取 stat 后的字符，如 beta 、

22、 bino 、 chiz 、 exp 等。 利用专用函数 .Betapdf(X1 ，A1， BBinopaf(X,N,P4)举例举例 1：计算正态分布 N举例 2：绘制卡方分布密度函数在 n 分别等于 1， 5，15 时的值 x=0:0.2:30y1=chi2pdf(x,1 plot(x,y1, + hold on y2=chi2pdf(x,5 plot(x,y2,+ y2=chi2pdf(x,15 plot(x,y2,o axis(0,30,0,0.2举例3：3概率值函数求 X 点处概率值Binocdf(X,N,P12 / 25Betacdf(X,A,BNormcdf(X1,mu,sigma

23、.数值点函数 ( 逆概率函数 ,ZNV- 已知概率值求概率分布点时 函数名 +inv( 参数 betainv(P,A,Bbinoinv(Y,N,Pchixinv(P,v2举例 1：设 xN(3,2 2求 p2x5, p-4x2, px3a1=normcdf(2,3,2a2=normcdf(5,3,2p1=a2-a1p2=normcdf(10,3,2-normcdf(-4,3,2 p3=1-normcdf(2,3,2+normcdf(-2,3,2 p4=1-normcdf(3,3,2三、参数估计1参数估计函数表函数名调用形式函数注解BetafitBetafit(x,PHAT,PCI=betafi

24、t(X,ALPHA返回 分布的最大似然估 计值和 水平的置信区间BinofitBinofit(XPHAT,PCI=binofit(x,AaLPHA二项式分布最大似然估 计， 水平的参数估计和 置数区间ExpfitExpfit(xMUHAT,MUCI=expfit(x,ALPHA指数 分布的 最 大似 然 估 计， 水平的参数估计和 水平的置信区间GaamfitGamfit(xPHAT,PCI=gamfit(x,ACPHA返回最大似然估计； 水 平的期望 , 方差值和区间的13 / 25估计NormfitNoormfit(x,ALPHAMUHAT,SIGAHT,SIGMACI=normfit(x

25、,ALPHA正态分布的最大似然估计 , 水平的期望、方差值和 区间的估计PoissfitPoissfitx )cAMBAHAT ， LANBDACI=poissfitx ， ALPHA)泊松分布的最大估计； 水平的 参数和区间估计UnifitUnifitx ，ALPHA)AHAT ， BHAT ， ACT ，BCI=unifitx ， ALPHA)均匀分布的最大估计， 水平的参数及其区间估计举例 1：假 设 某 种 清 漆 的 9 个 样 本 ， 其 干 燥 时 间 以 小 时 计 ） 分 别 为25.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0 ，设干燥时间总体服从正态分布N其

26、中： MUHAT为的估计值，此例为 6， MUCI为估计区间 5.5584 ， 6.4416 ， SIGMAHAT 为 的估计值，此例为 0.57456 ，此例为， SIGMACI的估计区间 0.3880 1.1005 。四、假设检验一）单个总体 u， 2）均值的检验1巳知时的 u 检验 u 检验法） ztestH、SIG=ZtestX 、M、 sigma， ALPHA， TAIL）当标准差 sigma 巳知时，函数一正态检验来判断是否来自一正态公布的样本的期望 值。 M作为评判标分准估计，默认值 ALPHA=0 05， TAIL=0 当原假设为“期望值等于 M”当 TAIL=0 时，备择假设

27、为“期望值不等于M”当 TAIL=0 时，备择假设为“期望值大于 M”14 / 25当 TAIL=0 时，备择假设为“期望值小于 M”ALPHA为设生产的显若水平， h =1 ， sig =0.0248结果 h 1，说明在 0.05 的水平下，拒绝假设，即认为这天包装机工作不正常。3未知时的 u 检验 t 检验法） Ttest 假设检验，h ， SIG=ttest X 、M、sigma ，ALPHA，TAIL），函数执行检验来判断是否来自 一正态分布的样本的期望值可用来估计，默认值M=0。ALPHA=005E，TAIL=0 ，原假设为“期望值等于 M“当 TAIL=0 ，备择假设“期望值不等于

28、 M”TAUL=0，备择假设“期望值大于 M”TAIL=0 ，备择假设“期望值小于 M” ALPHA为设空的显著水平 h =0 ， sig =0.2570结果表明： h=0，即在显著水平为 0.05 的情况下，不能拒绝原假设，即认为元件的 平均寿命不大于 255 小时。15 / 25 二）两个正态总体均值差的检验 T 检验） ttest2，H，SIGFICANCE CI=ttest2X ， Y，ALPHA，TAIL）， 函数执行 T 在验来判断是否来自两个总体的样本的期望值可用相同的值来估计，原 假设为“期望值相等”。当 TAIL=0 ，备择假设为“ X 期望值不等于 Y的期望” TAIL=1

29、 ，备择假设为“ X 的期望大于 Y 的期望” TAIL=-1 ，备择假设为“ X 的期望小于 Y 的期望” 默认 TAIL=0ALPHA为设定的显著水平， 返回两独立样本的总体是否相同的显著性概率。X 、y 可为不等长向量， ALPHA为给定的显著性水平，它必须为0和 1之间的数量。P ， H=ranksum（x ，y，ALPHA 返回假设检验的结果 H，如果 X和 Y 的总体差别不 显著，则 H为 0；如果 X 和 Y 的总体差别显著，则 H 为 1。如果原假设为真，则 P为观察 值等于或远大于原数据值的概率。如果 p 接近于 0,则可对原假设提出质疑。例：a=7 3.5 9.6 8.1

30、6.2 5.1 10.4 4 2 10.5b=5.7 3.2 4.2 11 9.7 6.9 3.6 4.8 5.6 8.4 10.1 5.5 12.3 p,h=ranksum（a,b,0.05p =0.8041 ， h =0 4中值检验P=sightankx ， y， ALPHA）P ， H= x ，y，ALPHA）5 Stigntest 检号检验16 / 25五、方差分析, 其使用格式为：p= anoval( X或 p= anoval( X, g该函数返回无效假设成立的概率，第一种格式中 X 为一矩阵，函数将矩阵的每一列 当作一个总体，矩阵的行数即为样本重复数若函数返回的概率值接近于零，则无

31、效假 设值得怀疑，表明各列的均值事实上是不同的第二种格式中的 X 为一向量， g是与 X同 长度的向量，且 g 中的值为整数，最小值为 1，最大值为数据的组数，每一组至少有一个 数，但并不要求每组中元素个数相同因此，第一种格式用于等重复的单因素方差分 析，第二种格式用于重复数不等的单因素方差分析例 1 考察四种不同药剂处理的水稻种子对苗高的影响，所得实验数据见矩阵X，各重复四次， X 的每一列为一个处理，则有：x = 23212022192418252127192713201522p=anova1(xp = 0.0487ANOVA TableSourceColumnsErrorTotalbox

32、 图见图 5-11 ：S48S1011dfMS F34.673.5259.833因为返回的概率值p=0.04870.01, 故不同药剂对种子的处理的差异达到了显著水平，但并不是极显著17 / 25图 5-11 不同药剂处理的水稻种子对苗高影响的 box 图其特征为：盒子的上底与下底间为内四分位间距；盒子的上、下两条线分别为样本的 25%和 75%分位数盒子的中间线为样本的中位数，如果中位数不在盒子中间，表明样 本存在一定偏度虚线贯穿盒子上下，显示了样本其余部分，如果没有奇异值，则样 本的最大值为虚线顶点，最小值为虚线底端默认奇异值为距盒子底端和顶端超过 1.5 倍内四分位间距的点在图中，奇异值

33、为超出虚线底端的点，用“ +”表示一个奇异 值切口是样本中位数的置信区间，可用 box 图对样本进行多重比较例 2 将三种不同菌型的伤寒病毒分别接种于 10 只、 9 只和 11 只小白鼠上，观察存活 天数，结果用下述 x 和 g 表示， x 为存活天数， g 为组标识，表明数据 x 属于哪一组的 值结果如下 (图 5-12 为方差分析的 box 图： x=2 4 3 2 4 7 7 2 5 4 5 6 8 5 10 7 12 6 6 7 11 6 6 7 9 5 10 6 3 10。g=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

34、 3 3 3。p=anova1(x,g图 5-12 不同菌型伤寒病毒对小白鼠存活天数的影响p = 0.0038/ 25ANOVA TableSourceSSdfMSFColumns70.4326.903Error137.7275.101Total208.229由方差分析结果 p=0.00380.01 知，不同菌型的伤寒病毒对小白鼠存活天数的影响差异 极显著 ，其使用格式为：p =anova2( X, r 其中 X 为数据观测值，因素 A按列放，因素 B按行放，即矩阵 X 的列为因素 A的水平， 当重复数为 1 时，矩阵 X 的行为因素 B 的水平，当重复数大于 1 时，前面 r 行为因素 B

35、的第一水平， r+1 行到 2r 行为因素 B的第二水平，依此类推， r 为重复数矩阵 X 的行 数应为 B的水平数乘以重复数 r 该函数返回一个向量 p，当 r=1 时， p中有两个元素， 第一个为因素 A 各水平均值相等的概率，第二个为因素B各水平均值相等的概率；当 r1时， p中有三个元素，第三个元素为 A与 B交互作用无显著作用的概率该函数除返回概 率值外，还显示一个方差分析表，该方差分析表与教科书上完全相同例 3 三名学生对四个品种的稻 M 含氮量 (mg 各作了一次分析，数据如下述X，每行为一个学生，每列为一品种稻 M，作方差分析有：x = 2.2000 2.3000 2.6000

36、 2.70002.2000 2.0000 2.5000 2.70002.0000 2.3000 2.7000 2.8000p = anova2(x,1/ 25ANOVA TableSourceSSd f3MSFColumnRowsErro00.00826666770.2611000.002116341431340 1F.98 .20381Total161p = 0.0021 0.4472由上述结论知， A因素 列）均值相等的概率为 p=0.002 10.01, 故差异极显著；而 B 因 素0.05, 因而差异不显著例 4 三种肥料 因素 A）施于三种土壤 p = 0.00000.15420.0

37、052ANOVA TableSourceSSMSFColumns178.1289.0597.23Rows3.8071.9032.078Interaction19.554.8875.335Error16.490.9159Total217.9B 即不同土壤间均值相等的概率为 0.154 20.05, 故差异不显著；交互效应作用不显著 的概率为 0.005 20.01, 故差异极显著对于不等重复的双因素方差分析，可参阅有关文献编写方差分析函数六、回归分析回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计方法，即利用统计数据来寻求变量间 关系的近似表达式 是回归系数， 为随机误差，且有 E（ =0,D（ = 2

38、，当 m=1/ 25时为一元线性回归， m1 时称为多元线性回归 MATLAB中提供了一个多元线性回归函数 regress( ，其使用格式为： b, bint , r, rint , stats = regress(y, x, a其中 y 为观测得到的随机变量， x 为自变量矩阵若回归关系中包括常数项，则 x 的第一 列应全部为 1， x 与 y 的行数应相等， x 的列数等于参数的个数；当 x 为两列且第一列全 为 1 时为一元线性回归 a 为输出各种置信区间用的显著水平 输出结果中有五个项： b 为参数的点估计， bint 为参数的区间估计， r 为残差的点估计， rint 为残差的区间估

39、 计，当点估计落在区间估计之外时，拒绝无效假设 stats 中包含了三个项，第一个是回 归方程的决定系数 R 2 ，第二个是回归方程的 F 统计量，第三个是拒绝无效假设的概率例 5 对某地区生产同一产品的 8 个不同规模乡镇企业进行生产费用调查，得产量 X 和生产费用 Y的数据如下述 x 和 y ，进行回归分析 (图 5-13有：y = 5.6 6.6 7.2 7.8 10.1 10.8 13.5 16.5x = 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.01.5 2.0 3.0 4.5 7.5 9.1 10.5 12.0b bint r rintbint = 1.5994

40、6.71560.5456 1.2444b bint r rint s=regress(y,x,0.05 s=regress(y,x,0.01b = 4.1575 0.8950bint = 2.4692 5.84580.6644 1.1256r = 0.1000 0.6525 0.3575 -0.3850 -0.7701 -1.5021 -0.0551 1.6024-1.52822.8332-2.65163.9566-2.00742.7223-3.22563.9406-2.84452.0744-4.11153.3414-3.14011.5999-4.36102.8208-3.29350.2893

41、-4.21631.2121-2.35192.2417-3.53513.42490.48462.7201-0.09123.2959s = 0.937690.1871 0.0001rint = -2.1283 2.3283rint = -3.2762 3.4762由上述回归结果知， x 与 y 的决定系数达到了 R 2 =0.9376 ，回归系数及误差均达到/ 25 了显著水平，因而得到的回归方程y? 4.157 5 0.895 0 x是可以信赖的例 6 对 18 个土样中的无机磷含量 ，溶于 K2CO3而不为溴化物水解的有机磷含量 ( x3和玉 M吸收磷的含量 ( y进行测定， 得到如下数据 y 和 x，进行多元回归分析y = 64 x =1.0000 0.4000 53.0000 158.0000601.00000.400023.0000163.0000711.00003.100019.000037.0000611.00000.600034.0000157.0000541.00004.700024.000059.0000771.00001.700065.0000123.0000811.00009.400044.000046.0000931.000010.100031.0000117.0000931.000011.600029.00