二阶倒立摆实验报告

1、二阶倒立摆的控制指导老师：屈桢深问题描述小车质量0.8kg，摆杆1质量0.3kg,摆杆长度1.0m；摆杆2 质量0.1kg,摆杆长度0.5m。要求：设计NN控制器，满足指标要求：0.2Hz正弦信号幅值 裕度10%,相角裕度15度。同时系统具备抗噪声和干扰性，控制 输入合理步骤：1阶倒立摆-2阶倒立摆。一阶倒立摆建模小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平 衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位 移和角位移）。小车在轨道上可以自由滑动。单级倒立摆系统数学模型N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为:由摆杆水平方

2、向的受力进行分析可以得到下面等式:N = m, (x +1 sin O)N = mX mlOCosO - mlO2 sin O把这个等式代入式中，得到系统的第一个运动方程:M + m)ffi b&F mlO cosO - mlO2 sinO = F为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进 行分析，得到下面的方程:P 一 mg = m 日(l coso )dt 2P - mg = -mlOsin O - mlO& cos O力矩平衡方程如下:-P/sinO - N/cos= I方程中力矩的方向，cos = -cosO,sin = -sinO，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去p和

3、N，得到第二个运动 方程:+ ml2mgl sin 0 = 一ml役os 0假设，与1 (单位是孤度)相比很小，即，1,则可进行近 似处理：八八 .(d0cos 0 = -1,sin 0 = 一, I = 0V dt )用u代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下:cC川.澡J Y + ml2 一 mgl = ml险| CM + mbX ml= u对方程(7)进行拉普拉斯变换，得到：J C + ml2 ) (s) s 2 一 mgl (s) = mlX (s) s 2JM + m )X (s) s 2 + bX (s) s 一 ml (s) s 2 = U (s)推导时假设初始条件为0则

4、摆杆角度和小车位移的传递函数为：s) _mls 2X(s) (I + ml2)s2 一mgl摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：“s)mlA(s) V + ml2)s2 - mgl摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：mls 24 ( S ) qF (s)b( I + ml 2)(M + m )mglbmglqq = (M + m)(I + ml 2) - m 2/2S 4 +S 3 S 2 sq以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为:01000(I + ml 2)bm2 gl 20 x 敏I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml24_00014区0mlbmgl

5、(M + m)04I (M + m) + Mml 2I (M + m) + Mml20I + ml 2I (M + m) + Mml 20 mlI (M + m) + Mml 201x以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式:&100 -r n0 x00010014+003g04l, 14l0000uX1 10101改0_| 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：成=AX + Buy = CX + Du系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组b , AB，A-1B 是线性无关的，或nXn维矩阵B M AB M AM A“-1 b的秩为n。系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵jB CA

6、B MA 2B M MA n-1B M）的秩等于输出向量y的维数。应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度 的夹角时的系统进行可控性分析即可。二阶倒立摆建模在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成 小车、匀质杆的系统，如图所示。Mx图1直线两级倒立摆物理模型下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。拉格朗日方程为：L (q, q)=T (q, q)-V (q, &d 8 L 8 Lidt 8 q 8 qT = T + T + TT = T +TmlmlmlT = T +Tm2m2m2Tm = 2 M&T = - mml 2 1d G - / sin0 )2 ( d (/ si

7、n0 )2+1& -ml 嬉cos0 +ml2(&21=m211 i i 2iiiTmiT mi=Tmi1 ml 2 Jo 2 = 3 ii 7 iml 20 62ii i+ T = m j&2 m l X0 cosmi 2 i i i i+ m 120&23 ii i同样可以求出i m2 2d (x 2l sin 0 l sin 0 i dt12i+ m2 2i m2 2p 2dt7(& 2l 洋 cos 0 l 洋 cos 0 ) + L mi i i 2 222d (21 cos 0 +1 cos 0 )i dt7(2l 很 sin 0 +1 很 sin 0 )ii i 222(i 一、

8、2 3 m2lJ32=m 12026 2 2 2i i TOC o 1-5 h z T = J 32 = m22 2 2=T + T = i m (&2 2j&(2l 很 cos 0 +1 很 cos 0 )m2 m222i ii 2 224l202 + 1202 + 4l l 0& cos (0 0 )i i 3 2 2 i2 i 22 i 7因此，可以得到系统的总动能为:T= Tm + Tm + T 21=L MX + 上 m & - m l X& cos 0 + m 12(&222 i 11 i i 3 ii i+ m C&2 - 2j&(2l 律 cos 0 +1 律 cos 0 )2

9、2i i i 2 22i+ m2 24l 2E&2 + 1202 + 4l l 0& cos(0 -0 ) I i i 3 2 2 i2 i 22 i )系统的总势能为:V = Vm1 m 2 m 3,、=m gl cos 0 + m g (2l cos 0 +1 cos 0 )11121122从而拉格朗日算子:L = T - Vi八 i=M& +2工i (+ m2 :i+ m2 2-m gl cos 0m& - m l x& cos 0 + m 12022 i 11 i i 311 i! &2 - 2X(2l & cos 0 +1 & cos 0 )21 112 224l 202 + 4 1

10、202 + 4ll 0& os (0 -0 )I 1 1322121221 )-m g (2l cos 0 +1 cos 0 )21122由于因为在广义坐标0广0 2上均无外力作用，有以下等式成立:d dt801d J dL I dL dt 8很)80、2 /2对唯求解代数方程，得到以下两式俄=(3(2gm sin0 4gm sin0 4m g sin0 + 3m g cos(0 -0 )sin 0 TOC o 1-5 h z 11121312212+ 6m l cos(0 0 )sin(0 0 )02 + 4m l sin(0 0 )02 2m &cos0211212122122114m &

11、cos0 4m &cos0 + 3m &cos(0 0 )cos 0 ) /(2l1(4m1 12m2 12m3 + 9m2 cos2(q 02)俄=( m (m + 3(m + m )l2l (3g sin0 6l02sin(0 0 ) 3&cos0 )921231 221 11222+ m 12l cos(0 0 )(6m 102sin(0 0 )21212222123(m + 2(m + m )(g sin0 + &cos0 )/ 1231116(m (m + 3(m + m )l22 + 4m?l22 cos2(0 0 )92123 1 221 212表示成以下形式：0& =倍耳且,岬

12、堂,&)0 = f (x,0 ,0 ,离,X)221212取平衡位置时各变量的初值为零，A = (x,0 ,0 ,炒0, X) = (0,0,0,0,0,0,0) = 01212将(23)式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:K1广fA=0 = 0K _ f 1= 3(-2 gm4 gm2 - 4 gm3)12 f0 A=02(4m 一 3m 12m )lK _ 世 I _9m g121360 A=o2(-4m - 3m - 12m )lK -知 -0146 X A - 0-6 n-1 01660& A-02K6f |3(-2m - m - 4m )176&X A-02(-4m - 3m

13、 )l带入式，得到线性化之后的公式0& - K 0 + K 0 + K X112 113 217将式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令K 21K226f60A - 012 g (m + 2 m )4m l -导(m + 3m )l6fK 23602A-04 g (m + 3m )3(4m l -史(m + 3m )l )161K _f | K25 W-0A-01入,K _6fK 27=顶K f I K26 2二0A=02A=0带入（22）式，得到4 /2(m. + 2m ) - (m. + 3m )4m l - ?(m + 3m )l敝=K 0 + K 0 + K X222 123 22

14、7即：0 = K 0 + K 0 + K X112 113 217敝=K 0 + K 0 + K X222 123 227现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输因此还需加上一个方程u =敝取状态变量如下:21x =0 x = Xx =律62由（33），（41），（42）式得到状态空间方程如下:1-000100 _X-0 11L000010X022义000001X03=3+000000X144义0KK000XK51213517&0KK000XK6122231627u其中直线两级倒立摆系统参数为:小车质量 2.32kgm =0.3kg； m =0.2kg； q为摆杆1与垂直向上方向的

15、夹角Q为摆杆2与垂直向上方向的夹角； = 1m； 12=0.5m； F为作用在系 统上的外力由以上方程，将以下参数代入即可。M = 0.8m - 0.31m = 0.2媚9.8IMI 2神经网络建模本文采用的神经网络采用4-5-3结构的三层前馈网。输入变量X = xx x x = j e(t)x =e (t) de (t)x =3 dte(t)= xn (t)-吮(t)网络隐含层的局部诱导域和输出分别为二(n口 jn)O0 (n)O0 (n )*(vi (n ) j = 1,2,3,., Qi(0-1)(0-2)其中，w为隐含神经元的突触权值，w表示神经元的偏置，Q 为隐含神经元的节点数，隐含

16、神经元的激活函数取双曲正切函数x )=tanh(x )=竺土 ex + e-x网络输出层的诱导局部域和输出分别为v 2 (n )淫 W2 (n)Oi (n)j=0O2(n)= f (v 2 (n) k = 1,2,3k = O 2 (n ) k = O 2 (n )k = 02 (n)Id 3(0-3)(0-4)(0-5)(0-6)考虑到输出参数不能为负值，所以激活函数采用非负函数(0-7)f (x )= 1 (1 + tanh(x)=-_2ex + e-x控制率为M (t)= k -e(t)+ k (t)+ k七)(0-8)采用BP学习算法，对网络的突触权值进行迭代修正，并附加 一个使搜索快

17、速收敛的全局极小的动量项。定义系统的代价函数 为。(0-9)佻(t)dw2 (t)w2 (t)= -q +a kjkkW2 (t)dtkj=g 2 (t)O (n )+a 籍k jdt(0-10)其中，yita是学习率，alpha是动量因子，根据微分链式规则， 局部梯度可计算如下佻(t)5 2 (t )=-k彻 2 (t)k佻(t)ay(t)汕(t)0O2(t)=-f E E 2 outkk(0-11)由于输出对控制量的偏导未知，所以用符号函数近似表示， 由此带来的计算不精确的影响尽量由调整学习率来补偿。由控制 方程不难得到M (t)= K X，= k -e(t)+ k ! e(t)dt+k，

18、血(0-12)种 f (t) dO2 (t)kk(0-13)将所有公式整合，不难得到神经元k的局部梯度为8 2 (t)=e(t)sgn k街(t)Mj) I、 c /(0-14)由此可得，网络输出层神经元的突触权值调整的修正公式为同理其中w;(t) = B 22 (t )O1 (t)+aj wjdt可得隐含层神经元的突触权值学习算法。w1 (t) = .81(t)O0 (t)+aj w1 (td jij iji神经元j的局域梯度为8 1 (t)* (V1 (t眼 8 2 (t)w2 (t)jjk kkk=1(0-15)(0-16)(0-17)至此，本文采用的神经网络原理已介绍完成，考虑到本次仿 真过程采用的变时间步长仿真方式类似于连续仿真，故在上文公 式中将神经网