三角形的五心强烈推荐

1、三角形的五心在本节中将分三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用别给予介绍三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心（外接圆圆心）三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等都等于三角形的外接圆半径锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心（内切圆圆心）三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径内切圆半径r的计算1S设三角形面积为S,并记p=2（a+b+c）,则r=S

2、2p特别的，在直角三角形中，有r=2（a+bc）.3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1：2.4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心.斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点.所以把这样的四个点称为一个“垂心组”.Ia5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点，称为三角形的旁心（旁切圆圆心）.每个三角形都有三个旁切圆.A类例题例1证明重心定理。证法1如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G,连接EF，A

3、FE显然EF=y1BC,由三角形相似可得GB=2GE,GC=2GF.又设AD、BE交于G，同理可证GB=2GE,GA=2GD，即卩G、G都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G、G重合.即三条中线AD、BE、CF相交于一点G.EF、FH、HI、IE，因为EF=y1BC,HI2BC,证法2设BE、CF交于G,BG、CG中点为H、I.所以EFHI为平行四边形所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF同证法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共点.即定理证毕.链接证明外心、内心定理是很容易的。外心定理的证明：如图，设AB、BC的中垂线交于点O,则有OA=OB=OC,故O也在AC的中垂线上

4、，因为O到三顶点的距离相等，故点O是AABC外接圆的圆心.因而称为外心.内心定理的证明：如图，设ZA、ZC的平分线相交于I、过I作ID丄BC,IE丄AC,IF丄AB,则有IE=IF=ID.因此I也在ZC的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点.上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成.例2证明垂心定理分析我们可以利用构造外心来进行证明。证明如图，AD、BE、CF为AABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线相交成AABC,显然AD为BC的中垂线；同理BE、CF也分别为ACAB的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证.链接（1）对于三线共点问题还可以利用Ceva定理进行证明，同

5、学们可以参考第十八讲的内容。（Ceva定理）设X、Y、Z分别为AABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于点的充要条件是AZBXCY=1是ZBXCYA（2）对于三角形的五心，还可以推广到n边形，例如，如果我们称n（三3）边形某顶点同除该点以外的nT个顶点所决定的nT边形的重心的连线，为n边形的中线，（当nT=2时，nT边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：n边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）:1的两条线段，这点叫n边形的重心.请同学们自己研究一下其他几个“心”的推广。NGC情景再现1.设G为ABC的重

6、心，M、N分别为AB.CA的中点，求证:四边形GMAN和AGBC的面积相等.2.三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.B类例题例3过等腰AABC底边BC上一点P引FMIICA交AB于M；引PNBA交AC于N.作点P关于MN的对称点P.试证：P点在AABC外接圆上.（杭州大学中学数学竞赛习题）PA分析分析点M和N的性质，即能得到解题思路。MBCP证明由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故点M是APEP的外心，点N是厶PPC的外心.于是有ZBPP=2zBMP=*ZBAC,ZPPC=|zpNC=2zbAC.ZBPC=ZBPP+ZPPC=ZBAC.从而，P点与A、B、C共

7、圆，即P在AABC外接圆上.链接本题可以引出更多结论，例如PP平分ZBPC、PB:PC=BP:PC等等.例4AD,BE,CF是AABC的三条中线，P是任意一点.证明：在厶P4D,APBE,PCF中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克)证明设G为A4BC重心，直线PG与AB，BC相交从A，C，D，E，F分别作该直线的垂线，垂足为A，C，D，E，F.AFFGEEDDCCCPA易证AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，有SPGeTSPGDSPGF.两边各扩大3倍，有例5设A1A2A3A4为OO内接四边形，一1，一2它一4心八八jpvn的垂心求证：比，H2,H3,

8、H4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.证明连接a2H,A/,耳乞，记圆半径为尺由厶a2aa4知AH21=2R=A2H=2RcosZA3A2A4；sinAAH21324231由AA3A4得A1H2=2RcosZA3A1a4.+Sapcf.,H,H2,H3,H4依次为A2A3A4A3A4Ai，（1992，全国高中联赛）a4a1a2,a1a2a3A2A1H1OH2.EE=DD+FF.但ZA3A2a4=ZA3A1A4，故A2H1=a1H2.易证a2h1a1a2,于是，a2h1=7a1h2,故得H1H2A扎设HA与/A?的交点为M,故H1H2与人宀关于M点成中心对称.同理，h2h3与a2a3,h3h4与

9、a3a4,h4h1与a4a1都关于m点成中心对称.故四边形h1h2h3h4与四边形AA2AA4关于M点成中心对称，两者是全等四边形，H1，H2,H3,H4在同一个圆上后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称由O,M两点，Q点就不难确定了.链接三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；三角形的外心到三顶点的距离相等；三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；三角形的内心、旁心到三边距离相等；三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;三角形的外心是它的中点三角形的垂心

10、；三角形的重心也是它的中点三角形的重心；三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再现3.在AABC的边AB,BC,CA上分别取点P,Q,S.证明以APS,ABQP,CSQ的外心为顶点的三角形与ABC相似.(B波拉索洛夫中学数学奥林匹克)K4如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.C类例题例6H为A4BC的垂心，D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆心的0H交直线EF,分析证明FD,DE于A”A2,B,B2,q,C2.求证：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)只须证明AA

11、=BB1=CC1即可.设BC=a,CA=b,AB=c,ABC外接圆半径为R,OH的半径为r.连HA,AH交EF于M.AA2=AM2+A,M2=AM2+r2MH2111=r2+(AM2MH2),B2AA1FH2MEBHDH1C1A2例7证明又AM2-HM2=(2aH)2-(AH-*AH)2=AHAHAH2二AH2ABAH2=cosAbcAH2,AH而SnABH=2RnAH2=4R2co沁a=2Rna2=4R2sin2A.sinA.AH2+a2=4R2,AH2=4R2a2.由、有b2+c2一a2AA2=r2+bc(4R2a2)12bc=2(a2+b2+c2)4R2+r2.同理，BB1=2(a2+b

12、2+c2)4R2+r2,CC2=1(a2+b2+c2)4R2+r2.12故有AA1=BB1=CC1.已知0O内接ABC,0Q切AB,AC于E,F且与0O内切.试证:心.（B波拉索洛夫中学数学奥林匹克）CC2B1EF中点P是ABC之内r如图，显然EF中点P、圆心Q,bc中点K都在ZBAC平分线上易知AQ=-sin:QKAQ=MQQN,MQQN(2R一r)rr/sina=sina(2R一r).由RtEPQ知PQ=sina-r.PK=PQ+QK=sina-r+sina(2R一r)=sina-2R.PK=BK.利用内心等量关系之逆定理，即知P是AABC这内心.说明在第20届IMO中，美国提供的一道题实

13、际上是例7的一种特例，但它增加了条件AB=AC.例8在直角三角形中，求证：r+r+rb+r=2p.式中r，r，rb，r分别表示内切圆半径及与a，b，c相abcabc切的旁切圆半径，p表示半周.(杭州大学中学数学竞赛习题)证明设RtAABC中，c为斜边，先来证明一个特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).*.*p(p-c)=2(a+b+c)*(a+b-c)rcO3AK=4(a+b)2-c2=2。方；OrErCaO1O2rb(p-a)(p-b)=2(a+b+c)J(a-b+c)=4】c2(ab)2=gab.p(p-c)=(p-a)(p-b).观察图形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-B

14、C=p-arc=CK=p.而r=2(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.例9由及图形易证.M是ABC边AB上的任意一点.r”r2,r分别是AAMC,BMC,ABC内切圆的半径，q”rr亠=.(IMO-12)qq2rq2,q分别是上述三角形在ZACB内部的旁切圆半径.证明2q1证明对任意ABC，由正弦定理可知AOD=OA性=ABBsin-2sinAOBAsin-2A.E=ABABsin，sin-22.A+Bsin2OE=ABABcoscos-22.A+Bsin2ODABOE亦即有rACMACNBB亠=tgtgtgtgq2

15、2222ABr=tg2tg2q例10锐角AABC中，O,G,H分别是外心、重心、垂心设外心到三边距离和为d,重心到三边外距离和为d，垂心到三边距离和为d.重垂求证：1d+2d=3d.垂外重证明设ABC外接圆半径为1,三个内角记为A,B,C.易知d=OO+OO+OO外123=cosA+cosB+cosC,2d=2(cosA+cosB+cosC).外：AH=sinBAB=sinB(2sinC)=2sinBsinC,同样可得BH2CH.：.3d=ABC三条高的和重=2(sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB)BH=2,sinBCH.HH厂cosCBH=2cosBcosC.同样可得hh2

16、,hh3.d=HH+HH+HH垂123=2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)OGIH2O1G1H1欲证结论，观察、,须证（cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB）+（cosA+cosB+cosC）=sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB.即可.说明本题用了三角法。情景再现设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC,CD二DE,EF=FA.试证：（1）AD,BE,CF三条对角线交于一点；AB+BC+CD+DE+EF+FA三AK+BE+CF.（1991,国家教委数学试验班招生试题）ABC的外心为0,AB=AC,D是AB中点，E是AACD的重心.证

17、明OE丄CD.（加拿大数学奥林匹克训练题）ABC中ZC=30,0是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：0I丄DE,OI=DE.（1988，中国数学奥林匹克集训题）习题171.在AABC中，乙A是钝角，H是垂心，且AH=BC,则cosZBHC=（）A22B.22C.33D.如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，则此直线一定通过三角形的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心（1996年全国初中联赛）（1997年安徽省初中数学竞赛）若0AABC周长.（1982，澳大利亚数学奥林匹克）T的三边分别等于AT的三条中线，且两个三角形有一组角相等求证这两个三角形相似

18、.（1989，捷克数学奥林匹克）I为AABC的内心.取A/BC,AICA,AIAB的外心O,O2，o3.求证：O1O2O3与aabc有公共的外心.（1988，美国数学奥林匹克）AD为aabc内角平分线.取aabc,ABD,ADC的外心O,O,O2.则厶OO02是等腰三角形.12.AABC中ZCABC周长.（1982,澳大利亚数学奥林匹克）2.T的三边分别等于厶T的三条中线，且两个三角形有一组角相等求证这两个三角形相似.（1989,捷克数学奥林匹克）3.I为AABC的内心.取IBC,ICA,IAB的外心OO2，O3.求证：OO2O3与ABC有公共的外心.（1988，美国数学奥林匹克）AD为AABC内角平分线.取ABC,AABD,AADC的外心O,OO2.则OOO2是等腰三角形.ABC中ZC90,从AB上M点作