五大策略优化解析几何运算

1、五大策略优化解析几何运算解析几何是中学数学的重要内容，它涉及的知识深广，方法灵活多变，是学习的重点 和难点，也是历年高考的热点.在实际解题中，解析几何问题中的运算往往无处不在.掌 握运算方法，优化运算过程，提高运算速度，是解好解析几何问题的关键。策略1回归定义运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机地结合起来，可使问题解决 起来思路清晰、运算过程简捷明快.4倍.分析这是在椭圆&+y=i上求一点p，使点p到右焦点的距离等于它到左焦点距离的xix芸+，y1），根据题设条件，点P满足方程组二二19匚,匚璀（x - 4）2 + y2 = 4j（x + 4）2 + y21*1111个复杂的运算

2、.如何简化呢？根据椭圆的第二定义，可以得到焦半径公式，这样求解起来就简单很多.c 54IPF2l=a-exl=5-5 工 1解由椭圆方程知F1（-4,0），F2（4,0），e=-=厂设所求点P（x1，y1），依题意4点P在y轴的左侧，则x10，焦半径IPF户a+eX=5+15x1=- J，3-睨 从而 y1= 444由题意有 4（5+5x 1）=5-5x 1，154r故所求点p的坐标为i点评凡涉及焦点坐标、离心率、准线、焦准距、焦半径等问题，往往与定义有关，求解时采用回归定义策略是优化解题运算的重要途径.策略2借助平几解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同，所以有些

3、解析几何问题借助平面几何知识简化运算，起到事半功倍的效果例2 已知圆C： （x-3） 2+ （y-4） 2 =4，直线11过点A （1，0），且与圆相交于P，Q 两点，线段PQ的中点为M，又11与12： x+2y+2=0的交点为N.求证：AM-AN为定值.分析 若设11方程为y=k（x-1），代入圆方程C，用k表示出弦PQ中点M的坐标，再求 出11与12的交点N的坐标，最后代入计算AM-AN的值.则显得比较繁冗，如果能充分考 虑题中条件的平面几何背景，注意到AC所在直线与12的垂直关系，利用相似三角形知识求 解，则显得非常简便.证明 由两点式得AC所在直线的方程0 = : 1 .即2x-y-2

4、=0.4 - 0 3 -1又12方程为x+2y+2=0.AAC/2,如图1,设垂足为B,再由M为弦PQ中点知CM1PQ,故AMCsABN,.a = AC,AB AN图111 +2 | 77 T3 c .K ,贝，AMAN=ABAC= .= x/(3 1)2 + 42 =p 2*5 = 6.V1 + 22v5aam-an为定值.点评本题从条件中挖掘得出ac/2,是使命题顺利得证的关键一步.策略3设而不求解析几何中有些问题，若把所涉及的量全部计算出来再加以解决，有时反显得多余而 低效.设而不求，尽显方法之绝妙，是优化运算、提高解题效率的重要策略x 2y 2例3 已知直线l交双曲线言：=1的右支于M

5、、N两点，定点B (0, 4),若54BMN的重心为双曲线的右焦点.求直线l的方程.解双曲线的右焦点F (3, 0),设M (x1, y1), N (x2，y2),则由F ABMN的重x + x y + y + 4 八心得 1 3 2 = 3 ,2= 0.于是 x1+x2=9, y1+y2= -4.线段MN中点P的坐标为f9, - 21.又M、N在双曲线上，x 2 -y 2 = 1.54V2) x12 - y12= 1,54一得 TOC o 1-5 h z y - y4(x + x )4 x 99kMNi=1= 一一x - x5(y + y )5 x (-4)51212 9(9、故直线l的万程

6、为y+2= 一 w x , 即18x+10y-61=0.5 k 2 7点评上述解法中涉及M、N两个点坐标的4个参数，但本题目标是求直线l的方程，故只需求出MN中点P的坐标和l的斜率.故设而不求，在解题中只让这些参数体现 其桥梁和纽带作用.策略四合理引参处理解析几何问题，恰当地引入参变量，把许多相关或不相关的量统一在一个参数下， 往往能起到减少变量、简化结构、优化运算的作用.x 2y 2例4已知椭圆=+ ； = 1，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴94相交于P (x0，0).试求x0的取值范围.分析 若用常规方法求解，涉及A、B两点和线段AB的中点M的坐标共6个参变量， 头绪繁多

7、，需不断进行思维转换.如引入参数，则不但可以减少变量个数，同时也能优化 问题的结构关系，从而便于化简运算.解 设 A (3cosQ，2sin。)， B (3cos。，2sin0 )，由|PA2+|PB|2可得1122(x0 -3cos0)2 + (2sin0)2 = (x0 -3cos02)2 + (2sin02)2,即 5 (cos20 -cos20 ) =6x (cos0 -cos0 ).12012AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，即cos 0 Ncos 02，所以有 cos0 +cos0 E(-2，2).从而，x = 5(cos0 + cos0 ) e (- ,5 .120

8、 612 k 3 3 7点评凡涉及曲线上点的坐标问题，采用合理引参，这是解析几何中求取值范围或求最值时的重要策略，其优点是能使解题思路清晰，加之三角知识的合理运用，使运算简 捷流畅，对问题的顺利解决起到出奇制胜的效果.策略五整体代换解析几何的许多问题，常需在解题中把某个相关的式子看作整体，并将其代入另一式 子，这种整体代换的做法有利于看清问题的本质，找出内在规律，更有利于简化运算环节， 使问题轻松获解.例5 已知圆C： x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线1，使以l被圆C截得的 弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.分析 常规解法是设所求直线l

9、存在，方程为y=x+b，将其与圆的方程联立，用l的斜 率k表示出x1，x2和y1，y2，然后代入x1x2+y1y2=0，求得k值，再检验所求得的k是否适 合题意，从而确定l存在与否？相对而言，运算量较大.如果设出以AB为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，用整体代换表示出它们相交弦所在直线l的方程，再根据条件求出相关 的参数，则运算过程必然简捷得多.解 由题意，可设以弦AB为直径经过原点的圆方程为C： x2+y2+Dx+Ey=0，,圆 C： x2+y2-2x+4y-4=0.一得：(D+2) x+ (E4) y+4=0，此即直线l的方程.由l的斜率为1可知 D+2= (E4)，在直线l上，故(D+2)(D)-+(ER)V 2)-E +4=0.V 2 J| D = 2, ID = -3, 由、解得=0,或e = 5.故存在满足题意的直线l，其方程为x-y+1=0或x-y-4