新人教版初中数学八年级上册全册知识梳理及练习（提高版）（家教补习复习专用）

1、新人教版八年级上册数学全册知识点及巩固练习题与三角形有关的线段（提高）知识讲解 【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；毛2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 要点诠释：（1）三角形的基本元素：三角形的边：即组成三角形的线段；三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； 三角形的

2、顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的没有意义；ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示【与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2三角形的分类(1)按角分类：要点诠释：锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相

3、等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形

4、的高三角形的高的数学语言：如下图，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC边上的高，或ADBC于D，或ADBADC90.注意：AD是ABC的高ADBADC90(或ADBC于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：()锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；()钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；()直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ABC的中线或AD是ABC的BC边

5、上的中线或BDCDBC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ABC的角平分线，或BADCAD且点D在BC上.注意：AD是ABC的角平分线BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交

6、于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形

7、的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则下图中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）. A2对； B3对； C4对； D6对； 【答案】B.【解析】以BC为公共边的“共边三角形”有：BDC与BEC、BDC与BAC、BEC与BAC三对【总结升华】根据新定义和已学过的知识，全面准确的识图举一反三：【变式】根据下图所示的形、三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( ). A6(n-1) B6n C6(n

8、+1) D12n【答案】C.类型二、三角形的三边关系2.（2016春丹阳市期末）若三角形的三边长分别为a、b、5，其中a、b为正整数，且ab5，则所有满足条件的三角形共有 个【思路点拨】根据已知条件，得a的可能值是1，2，3，4，5，再结合三角形的三边关系，对应求得b的值即可【答案与解析】解：三角形的三边a、b、5的长都是整数，且ab5，c最大为5，a=1，b=5，c=5；a=2，b=4，或5，c=5；a=3，b=3，或4，或5，c=5；a=4，b=4，或5，c=5；a=5，b=5，c=5故存在以a、b、5为三边长的三角形的个数为9个【总结升华】考查了三角形三边关系，此题要注意根据“三角形的任

9、意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析计算举一反三：【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2x-34+2，解得5xB.【答案与解析】证明：在ACE中，BAC 1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.同理在BCE中，2 B，因为1=2，所以BAC B.【总结升华】涉及角的不等关系的问题时，经常用到三角形外角性质：“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”.举一反三：【变式】如图所示，用“”把1、2、A联系起来_.【

10、答案】A 2 1.类型三、三角形的内角外角综合5.（2015春启东市校级月考）如图，BE与CD相交于点A，CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线（1）试探求：F与B、D之间的关系？（2）若B：D：F=2：4：x求x的值【思路点拨】（1）先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到D+1=F+3，B+4=F+2，然后把两式相加即可得到F与B、D之间的关系；（2）设B=2a，则D=4a，F=ax，利用（1）中的结论得到2ax=2a+4a，然后解关于x的方程即可【答案与解析】解：（1）CF为BCD的平分线，EF为BED的平分线，1=2，3=4，D+1=F+3，B

11、+4=F+2，B+D+1+4=2F+3+2，F=（B+D）；（2）当B：D：F=2：4：x时，设B=2a，则D=4a，F=ax，2F=B+D，2ax=2a+4a2x=2+4，x=3【总结升华】本题考查了三角形内角和定理：通过三角形内角和为180列等量关系也考查了角平分线的定义举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明A+B+C+D+E=180. 【答案】解：因为AGF是GCE的外角，所以AGF=C+E.同理AFG=B+D.在AFG中，A+AFG+AGF=180.所以A+B+C+D+E=180.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角( ).A1个 B2个 C3个 D不能确定【答案

12、】A (提示：由于三角形最多有一个内角是钝角，故最多有一个外角是锐角)与三角形有关的角（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1.如图所示，一根直尺EF压在三角板30的角BAC上，与两边AC，AB交于M，N那么CME+BNF是( ) A150 B180 C135 D不能确定2若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( ) A30 B45 C60 D553下列语句中，正确的是( ) A三角形的外角大于任何一个内角 B三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和 C三角形的外角中，至少有两个钝角 D三角形的外角中，至少有一个钝角4如果一个三角形的两个外角之和为270，那么这个三角形是 ( )

13、A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定5（2016春泰山区期中）具备下列条件的ABC中，不是直角三角形的是 ( ) AA+BC BA=B=CCA:B:C=1:2:3 DA=2B=3C6.（2015春泰山区期中）如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，如果ABP=20，ACP=50，则A+P=（）A.70 B.80 C.90 D.100二、填空题7在ABC中，若A-2B70，2C-B10，则C_8如图，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于点O (1)若A76，则BOC_； (2)若BOC120，则A_；(3)A与BOC之间具有的数量关系是_9. 已知等腰

14、三角形的一个外角等于100，则它的底角等于_10将一副直角三角板如图所示放置，使含30角的三角板的短直角边和含45角的三角板的一条直角边重合，则1的度数为_11. （2016贵港二模）如图，ACD是ABC的外角，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC的平分线与A1CD的平分线交于点A2，An1BC的平行线与An1CD的平分线交于点An，设A=，则An=12如图，O是ABC外一点，OB，OC分别平分ABC的外角CBE，BCF.若An，则BOC （用含n的代数式表示）.三、解答题13.如图，求证：A+B+C+D+E=180.14（2015春扬州校级期中）如图，ABC的角平分线BD、CE

15、相交于点P（1）如果A=80，求BPC的度数；（2）如图，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有MPB+NPC=90A若将直线MN绕点P旋转，（）如图，试探索MPB、NPC、A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；（）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图，试问（）中MPB、NPC、A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出MPB、NPC、A三者之间的数量关系，并说明你的理由 15如图，在ABC中，ABC的平分线与外角ACE的平分线交于点D试说明16如图所示，在ABC中，12，CB，E为AD上一点，且EFBC于F

16、 (1)试探索DEF与B，C的大小关系； (2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】A【解析】(1)由A30，可得 AMN+ANM180-30150 又 CMEAMN，BNFANM， 故有CME+BNF1502. 【答案】C；【解析】假如三角形的最小角不小于60，则必有大于或等于60的，因为该三角形三个内角互不相等，所以另外两个非最小角一定大于60，此时，该三角形的三个内角和必大于180，这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于603. 【答案】C ； 【解析】因为三角形的内

17、角中最多有一个钝角，所以外角中最多有一个锐角，即外角中至少有两个钝角.4. 【答案】B； 【解析】因为三角形的外角和360，而两个外角的和为270，所以必有一个外角为90，所以有一个内有为90.5. 【答案】D； 6. 【答案】C； 【解析】解：BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，ABP=20，ACP=50，ABC=2ABP=40，ACM=2ACP=100，A=ACMABC=60，ACB=180ACM=80，BCP=ACB+ACP=130，BPC=20，P=180PBCBCP=30，A+P=90，故选C二、填空题7. 【答案】20； 【解析】联立方程组： ，解得8.【答案

18、】128, 60，BOC90+A；9. 【答案】80或50； 【解析】100的补角为80，(1)80为三角形的顶角；（2）80为三角形底角时，则三角形顶角为20. 10【答案】75；11.【答案】；【解析】解：由三角形的外角性质得，ACD=A+ABC，A1CD=A1+A1BC，ABC的平分线与ACD的平分线交于点A1，A1BC=ABC，A1CD=ACD，A1+A1BC=（A+ABC）=A+A1BC，A1=A，同理可得A2=A1=，An=12.【答案】； 【解析】COB=180-（OBC+OCB），而BO，CO分别平分CBE，BCF，OBC，OCB. COB=180.三、解答题13.【解析】解：

19、延长BE，交AC于点H,易得BFC=A+B+C再由EFC=D+E，上式两边分别相加，得：A+B+CD+EBFCEFC180. 即A+B+C+D+E=18014.【解析】解：（1）如图在ABC中，A+B+ACB=180，且A=80，ABC+ACB=100，1=ABC，2=ACB，1+2=（ABC+ACB）=100=50，BPC=180（1+2）=18050=130（2）（）如图，由（1）知：BPC=180（1+2）；1+2=（180A）=90A，BPC=180（90A）=90+A；MPB+NPC=180BPC=180（90+A）=90A（）不成立，MPBNPC=90A如图，由（）知：BPC=90

20、+A，MPBNPC=180BPC=180（90+A）=90A 15.【解析】解：D4-2(ACE-ABC)A， DA16.【解析】解： (1) 12， 1BAC 又 BAC180-(B+C)， 1180-(B+C)90-(B+C) EDFB+1B+90-(B+C)90+(B-C) 又 EFBC， EFD90 DEF90-EDF90-90+(B-C)(C-B) (2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，(1)中探索所得的结论仍成立多边形（提高）知识讲解【学习目标】1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式；3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳

21、图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【要点梳理】知识点一、多边形的概念1定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形2相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线凸多边形凹多边形3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，

22、那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图： 要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形知识点二、多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)180(n3)要点诠释： (1)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；知识点三、多边形的外角和 多边形的外角和为360要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点

23、处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和n边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360的作用是：已知各相等外角度数求多边形边数；已知多边形边数求各相等外角的度数【典型例题】类型一、多边形的概念 1（2014春定陶县期末）观察下面图形，解答下列问题：（1）观察规律，把下表填写完整：（2）若一个多边形的内角和为1440，求这个多边形的边数和对角线的条数【思路点拨】（1）过n边形的一个顶点可画出（n3）条对角线，那么过n个顶点可以画出n（n3）条对角线，根据两点确定一条直线，再把所得结果除以2即可

24、求得多边形的对角线的总条数；（2）根据内角和公式可得多边形的边数，把边数代入（1）得到的公式即可求得相应的对角线条数【答案与解析】解：（1）9,14，. （2）设多边形的边数为n则（n2）180=1440，解得n=10对角线的条数为：=35（条）【总结升华】主要考查三角形的内角和公式及n边形对角线的条数的规律根据一个顶点处的对角线条数得到n边形对角线的条数的相应规律是解决本题的难点举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，B40，沿直线MN剪去B，则所得五边形AEFCD中，1+2 。【答案】220【变式2】（2014秋黄陂区校级期中）（1）如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到

25、5个角，B1，B2，B3，B4，B5，求B1+B2+B3+B4+B5的度数；（2）若延长凸n边形A1A2An的各边得n个角，则得到n个角的和等于 【答案】解：（1）如图，1=B2+B4，2=B1+B3，1+2+B5=180，B1+B2+B3+B4+B5=180；（2）若延长凸n边形A1A2An的各边得n个角，则得到n个角的和=（n2）180n180+（n2）180=（n4）180故答案为（n4）180类型二、多边形内角和定理2.如图所示，求A+B+C+D+E+F的度数【思路点拨】由于A、B、C、D、E、F的度数都不能直接求出因此求A+B+C+D+E+F的结果只能实施整体求值【答案与解析】解：连

26、接DE，用对顶三角形的性质，可得A+BBED+ADE， 所以A+B+C+ADC+BEF+F BED+ADE+C+ADC+BEF+F C+EDC+FED+F 因为四边形CDEF的内角和为360， 所以A+B+C+D+E+F360【总结升华】如图所示为对顶三角形利用A+BC+D“转移”角 举一反三：【多边形及其内角和 例5（2）（3）】【变式】（1）如图1，则ABCDEF= .（2）如图2，则ABCDEF+G= .【答案】（1）360；（2）5403.（2016河北）已知n边形的内角和=（n2）180（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明

27、理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x【思路点拨】（1）根据多边形内角和公式可得n边形的内角和是180的倍数，依此即可判断，再根据多边形内角和公式即可求出边数n；（2）根据等量关系：若n边形变为（n+x）边形，内角和增加了360，依此列出方程，解方程即可确定x【答案】D【解析】解：（1）360180=2，630180=390，甲的说法对，乙的说法不对，360180+2=2+2=4答：甲同学说的边数n是4；（2）依题意有：（n+x2）180（n2）180=360，解得x=2故x的值是2【总结升华】此问题比较抽象，可以利用四边形类比发现其规律，然后再推

28、广到一般【多边形及其内角和 例2、3】举一反三：【变式1】（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005，求多边形的边数。（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570，求这个没有计算在内的内角的度数. 【答案】（1）用2005180=11余25，n-2=11，n=13（2）用2570180=14余50，180o-50o =130o 【变式2】若多边形最多有四个钝角，那么此多边形的边数最多是_. 【答案】七类型三、多边形的外角和4.科研人员为某机器人编制了一段程序，如果机器人在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ( )A6米 B8米 C12米 D不能

29、确定【答案】C 【解析】解析：先按照程序的步骤画图(如图所示)，发现一次转弯后不能回到出发点，从画出的图形，可以发现要使机器人回到点A处，那么机器人走过的路径应该是一个多边形，每次转弯的角就是这个多边形的外角利用多边形的外角和为360，而3012360，所以经过12次转弯即可到达点A处又因为每次走1米，所以该机器人所走的总路程为12米【总结升华】解决此题的关键同样是把生活实际问题转化为数学问题，在散步之中感悟数学知识其中蕴含了多边形的外角和为360的有关知识本例为“设计程序”类考题，读懂程序，画出图形，理解很重要举一反三：【变式】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边ABCF，CDAE.

30、 按规定AB、CD的延长线相交成80角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测那一个角吗？说明理由. 【答案】解：测A或C的度数，只需A=100或C=100，即知模板中AB、CD的延长线的夹角是否符合规定.理由如下：连接AF，ABCF，BAF+AFC=180.又EAF+E+AFE=180，BAE+E+EFC=360.若C=100，则AB、CD的延长线的夹角=540 360 100= 80，即符合规定. 同理：若连接CE，可得AEF+F+DCF=360.若A=100，则也符合规定.多边形及其内角和（提高）巩固练习【巩固练

31、习】一、选择题1过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为 ( )A5 B6 C7 D82一个多边形的内角和超过640，则此多边形边数的最小值是 ( ) A5 B6 C7 D83如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于 ( ) A3 B4 C5 D64（2015莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510，则这个多边形对角线的条数是（）A27B35C44D545利用边长相等的正三角形和正六边形的地砖镶嵌地面时，在每个顶点周围有a块正三角形和b块正六边形的地砖(ab0)，同a+b的值为 ( )A3或4 B4或5 C5或6 D46如

32、图所示，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是 ( ) A360 B540 C720 D6307. （2016台湾）如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点若图中1、2、3、4的外角的角度和为220，则BOD的度数为何？（）A40B45C50D60二、填空题8.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个.9.如图，国旗上的五角星的五个角的度数是相同的，每一个角的度数都是 .10（2015徐州）若正多边形的一个内角等于140，则这个正多边形的边数是 11将一块正六边形硬纸片(如图(1)，做成一个底面仍为

33、正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，如图(2)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图(1)中的四边形，那么的度数是_12. 将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中BAC_13. 用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各板完全吻合，如果其中两块木板的边数都是5，则第三块木板的边数是_三、解答题14.（2016春单县期末）如图，六边形ABCDEF的内角都相等，1=2=60，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样的位置关系？为什么？15.一个多边形除一个内角外，其余各内角之和是2570，求这一内

34、角的度数16. （2014春西城区校级期中）附加题：探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的ABC中AB、BC是两腰，所以BAC=BCA利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a如图：正五边形= ； 正六边形= ； 正八边= ；当正多边形的边数是n时，= 【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D；2. 【答案】B；【解析】(提示：假设内角和是640的多边形的边数为n，则有(n-2)180640，解得，因为多边形的内角和越大，其边数也越大，故当多边形的内角和超过640时，其边数，因为n是正整数，所以其最小值是6)3.

35、【答案】C； 【解析】(提示：因为每个外角都是锐角，即小于90，设边数为n，则这些锐角的和一定小于n90，而外角和为360，所以360n90，即n不小于5)4. 【答案】C； 【解析】解：设这个内角度数为x，边数为n，（n2）180 x=1510，180n=1870+x，n为正整数，n=11，=44，故选：C5. 【答案】B； 【解析】(提示：根据正多边形镶嵌的条件，在每个顶点处各正多边形的内角之和为360，得60a+120b360，即a+2b6，即a6-2b，因ab0，且a，b均为正整数，所以当b1或2，b1时，a4，a+b5；当b2时，a2，a+b4，故选B)6. 【答案】D； 7. 【答

36、案】A；【解析】解：延长BC交OD与点M，如图所示多边形的外角和为360，OBC+MCD+CDM=360220=140四边形的内角和为360，BOD+OBC+180+MCD+CDM=360，BOD=40故选A二、填空题8. 【答案】3.9.【答案】36；【解析】将五角星的五个角转移到一个三角形中，由三角形内角和定理以及五角星的各个角都相等，即可求出各个角的度数.10.【答案】9；【解析】解：正多边形的一个内角是140，它的外角是：180140=40，36040=9故答案为：911【答案】60；12.【答案】36；13.【答案】10；三、解答题14.【解析】解：ABDE，ADBC，六边形ABCD

37、EF的内角都相等，六边形ABCDEF的每一个内角都相等120，EDC=FAB=120，1=2=60，EDA=DAB=60，ABDE，C=120，2=60，2+C=180，ADBC15.【解析】解：设这一内角为x，多边形的边数为n，则2570+x(n-2)180，因为n是正整数，所以x必须等于130 这一内角度数为130；16.【解析】解：五边形ABCDE是正五边形，AB=BC=AE，ABC=BAE=108，BEA=ACB=36，CAE=10836=72，5=180EAOAOE=72；同理：6=60，8=45，当正多边形的边数是n时，=三角形全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角

38、形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题 3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一

39、、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围2.三角形按“边”分类： 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交

40、点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性 要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边

41、长不改变(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角

42、三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相

43、等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形；(2)n边形共有 条对角线要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n2)180(n3，n是正整数) 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公

44、式的应用： 已知外角度数，求正多边形边数； 已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： n边形的内角和等于(n2)180(n3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同. 要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360.(3)只用一种正多

45、边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. （2016长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是 ( ) A2,3 B3,4 C2,3，4 D3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,解得：2a5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键.举一反三：【变式】（20

46、14秋孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|a-b+c|【答案】解：a、b、c是三角形三边长，b+c-a0，b-c-a0，c-a-b0，a-b+c0，|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b2.如图，O是ABC内一点，连接OB和OC (1)你能说明OB+OCAB+AC的理由吗? (2)若AB5，AC6，BC7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在ABE中，AB+AEBE；在EOC中，

47、OE+ECOC，两不等式相加，得AB+AE+OE+ECBE+OC由图可知，AE+ECAC，BEOB+OE 所以AB+AC+OEOB+OC+OE，即OB+OCAB+AC(2)因为OB+OCBC，所以OB+OC7又因为OB+OCAB+AC，所以OB+OC11，所以7OB+OC11【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题【与三角形有关的线段 例1】类型二、三角形中的重要线段3.在ABC中，ABAC，AC边上的中线BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以ADCD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类

48、讨论【答案与解析】 解：如图(1)，设ABx，ADCD (1)若AB+AD12，即，所以x8， 即ABAC8，则CD4故BC15-411 此时AB+ACBC，所以三边长为8，8，11 (2)如图(2)，若AB+AD15，即，所以x10 即ABAC10，则CD5故BC12-57 显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7 综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7【总结升华】BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论【与三角形有关的线段 例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进

49、四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF类型三、与三角形有关的角4.（2015春石家庄期末）已知ABC中，AE平分BAC（1）如图1，若ADBC于点D，B=72，C=36，求DAE的度数；（2）如

50、图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PFBC于点F，若BC，则EPF=是否成立，并说明理由【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出1的度数，进而得到3的度数，再根据EPF=18023计算即可【答案与解析】证明：（1）如图1，B=72，C=36，A=180BC=72；又AE平分BAC，1=36，3=1+C=72，又ADBC于D，2=90，DAE=18023=18（2）成立如图2，AE平分BAC，1=90，3=1+C=90+，又PFBC于F，2=90，EPF=18023=【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键

51、举一反三：【与三角形有关的角 练习（3）】【变式】如图，ACBC,CDAB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 【答案】3,2类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】如图，我们知道要使四边形木架不

52、变形，至少要钉一根木条那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形又至少要钉多少根木条?【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条类型五、多边形内角和及外角和公式6某多边形除一个内角外，其余内角的和是2750求这个多边形的边数【思路点拨】由已知条件可知，这个多边形内角和要大于2750，而因为凸多边形的每一个内角的范围是：0180，所以2750加上一个180又大于内角和，所以本题建立不等式组来解答.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，275

53、0+0(n-2)1802750+180 n为正整数， n=18.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和的综合运用.一般设出边数，根据条件列出关于的不等式组，求出的取值范围，再根据n取正整数得出正确的值即可.举一反三【变式】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。【答案】可设多边形的边数为n，某一个外角为则(n2)1801350从而(n2)=因为边数n为正整数，所以90，n9类型六、多边形对角线公式的运用7某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？【思路点拨】本题体现与体育学科的综合，解题方法参

54、照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图：【答案与解析】共需要比赛（场）.【总结升华】对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决. 举一反三【变式】一个多边形共有44条对角线，则多边形的边数是（ ）. A8 B9 C10 D11【答案】D；类型七、镶嵌问题8分别画出用相同边长的下列正多边形组合铺满地面的设计图.(1)正方形和正八边形；(2)正三角形和正十二边形；(3)正三角形、正方形和正六边形.【思路点拨】只要在拼接处各多边形的内角的和能构成一个周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌.【答案与解析】正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形的每一个内角分别

55、是60、90、120、135、150.(1)因为902135360，所以一个顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)所示.(2)因为602150360，所以一个顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图(2)所示.(3)因为60290120360，所以一个顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2个正方形，如图(3)所示.【总结升华】用两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题.三角形全章复习与巩固（提高）巩固练习【巩固练习】一、选择题1如果三条线段的比是：1:3:4；1:2:3；1:4:6；3:3:6；6:6:10；3:4:5，其中

56、可构成三角形的有( )A1个 B2个 C3个 D4个2下列正多边形能够进行镶嵌的是（）A正三角形与正五边形 B正方形与正六边形 C正方形与正八边形 D正六边形与正八边形3一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为 ( ) A2个 B4个 C6个 D8个4（2016乐山）如图，CE是ABC的外角ACD的平分线，若B=35，ACE=60，则A=（）A35B95C85D755如图，ACBC，CDAB，DEBC，则下列说法中错误的是 ( ) A在ABC中，AC是BC边上的高 B在BCD中，DE是BC边上的高 C在ABE中，DE是BE边上的高D在ACD中，AD是CD边

57、上的高6每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，则这个多边形的边数( ) A19 B20 C21 D227给出下列图形： 其中具有稳定性的是( ) A B C D8（2015春历城区期中）下面有关三角形的内角的说法正确的是（）A.一个三角形中可以有两个直角B.一个三角形的三个内角能都大于70C.一个三角形的三个内角能都小于50D.三角形中最大的内角不能小于60二、填空题9. （2016春南陵县期中）如图，在ABC中，ADBC，AE平分BAC，若1=30，2=20，则B= 10若a、b、c表示ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|_11三角形的两边长

58、分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为_12一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180，这个多边形的边数为 13如图，在ABC中，D是BC边上的任意一点，AHBC于H，图中以AH为高的三角形的个数为_个14. 用正三角形和正方形镶嵌平面，每一个顶点处有 个正三角形和 个正方形15（2015金平区一模）已知a、b、c是ABC的三边，且满足+（b4）2=0，则第三边c的取值范围是 16如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB8cm，AD6cm，使AB固定，转动AD，当DAB_时，ABCD的面积最大，最大值是_三、解答题17（2015春福泉市校级期中）如图，

59、已知ABCD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，BEF与EFD的平分线相交于点P，求证：EPFP18一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520，求原多边形边数19已知AD是ABC的高，BAD70，CAD20，（1）求BAC的度数（2）ABC是什么三角形20（2014春苏州期末）观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由（1）如图，ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由（2）将（1）中点P移至ABC内，得图，试观察比较BPC的周长与ABC的周长的大小，并说明理由（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP

60、1P2C的周长与ABC的周长的大小，并说明理由（4）将（3）中的点P1、P2移至ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且P1BCABC，P2CBACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小，并说明理由（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与ABC的周长的大小，并说明理由【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B；【解析】根据两边之和大于第三边：满足.2. 【答案】C；【解析】解：A、正三角形的每个内角是60，正五边形每个内角是1803605=108，60m+108n=