新人教版初中数学九年级下册全册知识梳理及练习（基础版）（家教补习复习专用）

1、新人教版九年级下册数学全册知识点及巩固练习题反比例函数（基础） 【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题【要点梳理】【反比例函数 知识要点】要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不

2、等于0的一切实数.要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比

3、例函数为： ()；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）把求得的值代回所设的函数关系式 中.要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴2、画反比例函数的图象的基本步

4、骤：（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内 3、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象

5、限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成

6、的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、（2014春惠山区校级期中）下列函数：y=2x，y=，y=x1，y=其中，是反比例函数的有（）.A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C；【解析】解：y是x正比例函数；y是x反比例函数；y是x反比例函数；y是x+1的反比例函数故选：C【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般转化为y=kx1（k0）的形式类型二、确定反比例函数的解析式2、（2016春大庆期末）已知y与x成反比例，且当x=3时，y=4，则当x=6时，y的值为 【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案【答

7、案】2【解析】解：设反比例函数为y=，当x=3，y=4时，4=，解得k=12反比例函数为y=当x=6时，y=2，故答案为：2【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键举一反三：【变式】已知与成反比，且当时，则当时，值为多少？【答案】解：设，当时，所以，则24，所以有当时，类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且，则的大小关系是（ ）A B C D【答案】D；【解析】解：因为，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，随的增大而增大因为，所以因为在第四象限，而，在第二象限，所以所以【总结升华】已知反比例函数，当

8、0，0时，随的增大而减小，需要强调的是0；当0，0时，随的增大而减小，需要强调的是0这里不能说成当0，随的增大而减小例如函数，当1时，2，当1时，2，自变量由1到1，函数值由2到2，增大了所以，只能说：当0时，在第一象限内，随的增大而减小举一反三：【变式1】已知的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求的值(2)若点(2，)、(1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、的大小【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且， .(2)由(1)得此函数解析式为： (2，)、(1，)在第二象限，21， 而(1，)在第四象限， 【反比例函数 例5】【变式2】（2014秋娄底月考）对于函数y=，下

9、列说法错误的是（）A. 它的图象分布在一、三象限；B. 它的图象与坐标轴没有交点；C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；D. 当x0时，y的值随x的增大而增大.【答案】D； 解：A、k=20，图象位于一、三象限，正确；B、因为x、y均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；C、它的图象关于y=x成轴对称，关于原点成中心对称，正确；D，当x0时，y的值随x的增大而减小，故选：D类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，2)，点P在函数的图象上，如果PAB的面积是6，求P点的坐标【思路点拨】由已知的点A、B的坐标，可求得AB4，再由PAB的面积是6，可知P点到轴的距离

10、为3，因此可求P的横坐标为3，由于点P在的图象上，则由横坐标为3可求其纵坐标【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P的坐标为，过P作PC轴于点C A(0，2)、B(0，2)， AB4又 且， ， ， 又 在曲线上， 当时，；当时， P的坐标为或【总结升华】通过三角形面积建立关于的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B，作AC轴于C，连BC，则ABC的面积为3，求反比例函数的解析式【答案】解：由双曲线与正比例函数的对称性可知AOOB，则设A点坐标为(，)，而AC|，OC|，于是， ，而由得，所

11、以，所以反比例函数解析式为【巩固练习】一.选择题1. 点（3,4）在反比例函数的图象上，则在此图象上的是点（ ）A（3，4）B（2，6）C（2，6）D（3，4）2. （2016河南）如图，过反比例函数y=（x0）的图象上一点A作ABx轴于点B，连接AO，若SAOB=2，则k的值为（）A2B3C4D53.下列四个函数中：； 随的增大而减小的函数有（ ）A 0个 B 1个 C 2个 D 3个4. 在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（ ）A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数5. （2015潮南区一模）已知一次函数y=kx+k1和反比例函数y=，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的

12、图象不可能是（）6. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（）A.图象经过点（1，1）B.图象在第一、三象限C.当时， D.当时，随着的增大而增大二.填空题7. （2016春德州校级月考）已知y与成反比例，当y=1时，x=4，则当x=2时，y=8. 已知反比例函数的图象，在每一象限内随的增大而减小，则反比例函数的解析式为 9. （2015和平区模拟）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y=的图象上的点，并且x10 x2x3，y1，y2，y3的大小关系为 10. 已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（1，2）则_；_；它们的另一个交点坐标是_11. 如图，如果曲线是反

13、比例函数在第一象限内的图象，且过点A (2，1)， 那么与关于轴对称的曲线的解析式为 (). 12. 已知正比例函数的图象与双曲线的交点到轴的距离是1, 到轴的距离是2,则双曲线的解析式为_.三.解答题13. 已知反比例函数的图象过点(3，12)，且双曲线位于第二、四象限，求的值14. （2015秋龙安区月考）如图，已知反比例函数y=（m为常数）的图象经过ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（2，0）（1）求出函数解析式；（2）设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，求P点的坐标15. 已知点A(，2)、B(2，)都在反比例函数的图象上(1)求、的值；(2)若直线与轴交于

14、点C，求C关于轴对称点C的坐标【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】由题意得，故点（2，6）在函数图象上.2.【答案】C.【解析】点A是反比例函数y=图象上一点，且ABx轴于点B，SAOB=|k|=2，解得：k=4反比例函数在第一象限有图象，k=4 3.【答案】B；【解析】只有，注意不要错误地选了，反比例函数的增减性是在每一个象限内讨论的.4.【答案】A； 【解析】函数在二、四象限，随的增大而增大，故.5.【答案】C； 【解析】当k0时，反比例函数y=的图象在一、三象限，一次函数y=kx+k1的图象过一、三、四象限，或者一、二、四象限，A、B选项正确；当k0时，反比例函数y=的图象在

15、二，四象限，一次函数y=kx+k1的图象过一、三、四象限，选项D正确，C不正确； 故选C6.【答案】D； 【解析】D选项应改为，当时，随着的增大而减小.二.填空题7.【答案】【解析】由于y与成反比例，可以设y=，把x=4，y=1代入得到1=，解得k=2，则函数解析式是y=，把x=2代入就得到y=8.【答案】； 【解析】由题意，解得.9.【答案】y2y3y1； 【解析】a210，反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，x10 x2x3，y2y3y110.【答案】 ； (1，2)； 【解析】另一个交点坐标与A点关于原点对称.11.【答案】；12.【答案】或； 【解析】由

16、题意交点横坐标的绝对值为2，交点纵坐标的绝对值为1，故可能是点（2，1）或（2，1）或（2，1）或（2，1）.三.解答题13.【解析】解：根据点在图象上的含义，只要将(3，12)代入中，得， 6又 双曲线位于第二、四象限， 0， 614.【解析】解：（1）四边形ABOC为平行四边形，ADOB，AD=OB=2，而A点坐标为（0，3），D点坐标为（2，3），12m=23=6，m=，反比例函数解析式为y=（2）反比例函数y=的图象关于原点中心对称，当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（2，3），反比例函数y=的图象关于直线y=x对称，点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP

17、=OD，此时P点坐标为（3，2），点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，此时P点坐标为（3，2），综上所述，P点的坐标为（2，3），（3，2），（3，2）15.【解析】解：（1）将点A(，2)、B(2，)的坐标代入得：，解得；，所以.（2）直线为， 令，所以该直线与轴的交点坐标为C（1,0），C关于轴对称点C的坐标为(1，0) 实际问题与反比例函数（基础） 【学习目标】1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.2根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.【要点梳理】【实际问题与

18、反比例函数 知识要点】要点一、利用反比例函数解决实际问题基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的 系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.要点二、反比例函数在其他学科中的应用当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数

19、；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.【典型例题】类型一、反比例函数实际问题与图象1、（2016广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（）Av=320tBv=Cv=20tDv=【思路点拨】根据路程=速度时间，利用路程相等列出方程即可解决问题【答案】B；【解析】解：由题意vt=804，则v=故选B【总结升华】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构建方程解决问题，属于中考常考题型举一反三：【变式1】（2015广西）已知矩形的面积为10，长和宽分别

20、为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】C；提示：根据题意得：xy=10，y=，即y是x的反比例函数，图象是双曲线，100，x0，函数图象是位于第一象限的曲线；【实际问题与反比例函数 例6】【变式2】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（）. A. 1.4 B. 5 C. 6.4 D. 7【答案】D；提示：由题意知，当V5时， ，故.类型二、利用反比例函数解决实际问题2、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣的进价为80元，在营销中发现，该衬衣的日销售量(件)是

21、日销售价元的反比例函数，且当售价定为100元时，每日可售出30件 (1)请求出关于的函数关系式(不必写自变量的取值范围)； (2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其单价应是多少元?【思路点拨】（1）因为y与x成反比例函数关系，可设出函数式，然后根据当售价定为100元/件时，每天可售出30件可求出的值（2）设单价是元，根据每天可售出件，每件的利润是（80）元，总利润为1800元，根据利润售价进价可列方程求解【答案与解析】 解：(1)设所求函数关系式为，则因为当100时30，所以3000，所以；(2)设单价应为元，则( 80)1800，解得200经检验200是原方程的解，符合题意

22、即其单价应定为200元件【总结升华】本题考查反比例函数的概念，设出反比例函数，确定反比例函数，以及知道利润售价进价，然后列方程求解的问题举一反三：【变式】某运输队要运300吨物资到江边防洪 (1)根据运输时间t(单位：小时)与运输速度v(单位：吨/时)有怎样的函数关系? (2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2小时之内运到江边，则运输速度至少为多少?【答案】解：(1)由已知得vt300 t与v的函数关系式为 (2)运了一半后还剩300150150(吨) t和v关系式变为，将t2代入，得，v75 剩余物资要在2小时之内运完，运输速度为每小时至少运75吨3、某闭合电路中，电源电压为定

23、值，电流I(A)与电阻R()成反比例函数如图所示表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数关系式为 ( )A B C D【答案】A；【解析】设，由于点B(3，2)在反比例函数图象上，则有，可求得U6从而可求得函数关系式为【总结升华】从图象上可以看出，这是一个反比例函数关系的问题电流I与电阻R成反比例关系，设，再求电压U.4、（2015衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4x10时，y与x成反比例）（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下

24、降阶段y与x之间的函数关系式（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【思路点拨】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案【答案与解析】解：（1）当0 x4时，设直线解析式为：y=kx，将（4，8）代入得：8=4k，解得：k=2，故直线解析式为：y=2x，当4x10时，设直反比例函数解析式为：y=，将（4，8）代入得：8=，解得：a=32，故反比例函数解析式为：y=；（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，当y=4，则4=，解得：x=8，82=6（小时），血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时【总结升华

25、】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键【巩固练习】一.选择题1. （2015河北）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当x=2时，y=20则y与x的函数图象大致是（）A. B.CD.2. 日常生活中有许多现象应用了反比例函数，下列现象符合反比例函数关系的有（ ）购买同一商品，买得越多，花得越多；百米赛跑时，用时越短，成绩越好；把浴盆放满水，水流越大，用时越短；从网上下载一个文件，网速越快，用时越少.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. （2016海南）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人

26、）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷4. 若为圆柱底面的半径，为圆柱的高当圆柱的侧面积一定时，则与之间函数关系的图象大致是（ ）. 5. 如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流与电阻的函数关系图象大致是（ ）6. 下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）A：小明完成100赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（）之间的关系.B：菱形的面积为48，它的两条对角线的长为（）与（

27、）的关系.C：一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系.D：压力为600N时，压强P与受力面积S之间的关系.二.填空题7（2016春灌云县期末）某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式 8. 由电学欧姆定律知，电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R20时，电流强度I0.25A则(1)电压U_V； (2)I与R的函数关系式为_；(3)当R12.5时的电流强度I_A；(4)当I0.5A时，电阻R_9.

28、 一水桶的下底面积是桶盖面积的2倍，如果将其底朝下放在桌上，它对桌面的压强是500翻过来放，对桌面的压强是_10一个水池装水12，如果从水管中每小时流出的水，经过可以把水放完，那么 与的函数关系式是_，自变量的取值范围是_11（2014秋甘州区校级月考）某种大米单价是y元/千克，若购买x千克花费了2.2元，则y与x的表达式是 12.一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当V20时，当V40时，_.三.解答题13. 池内装有12的水，如果从排水管中每小时流出的水是，则经过小时就可以把水放完 (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)画出函数图象的草图14. （2015温州模

29、拟）去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x（分）之间存在如下的关系：y=，求：（1）若等待时间x=5分钟时，求舒适度y的值；（2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适函数y=的图象如图（x0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？15.某机床加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12小时可以完成(1)设每小时加工个零件，所需时间为小时，写出与之间的函数关系式，画出图象；(2)若要在一个工作日(8小时)内完成，每小时要比原来多加工几个?【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】设y=（k0），当

30、x=2时，y=20，k=40，y=，则y与x的函数图象大致是C.2. 【答案】C； 【解析】为反比例函数，为正比例函数.3.【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，y随x的增大而减小，A，B错误，设y=（k0，x0），把x=50时，y=1代入得：k=50，y=，把y=2代入上式得：x=25，C错误，把x=50代入上式得：y=1，D正确.4.【答案】B；【解析】侧面积一定，h,r成反比例，考虑到实际问题，选第一象限内的图象.5【答案】B；【解析】应用物理学的知识：UIR.6.【答案】C；【解析】因为mV，当V3

31、0时，m30，故为正比例函数.二.填空题7.【答案】t=【解析】某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，该水池的蓄水量为86=48（立方米），Qt=48，t=8【答案】(1)5； (2)； (3)0.4； (4)10.9【答案】1000【解析】压强与面积的乘积是一个定值.10【答案】；0；11.【答案】；12.【答案】0.68；三.解答题13.【解析】解：(1)由已知条件，得(2)如图所示14.【解析】解：（1）当x=5时，舒适度y=20；（2）舒适度指数不低于10时，由图象y10时，0 x10所以作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟15.

32、【解析】解：(1)需加工的零件数为3012360(个)与之间的函数关系式为图象如图所示(2)当8时，360845，453015 要在8小时内完成，每小时比原来要多加工15个反比例函数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】1使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】要点一、反比例函数的概念一

33、般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但

34、永远不与坐标轴相交要点诠释：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；(k0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比

35、例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限；，二、四象限，一、三象限，二、四象限增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而增大（4）反比例函数y中的意义过双曲线(0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线(0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际

36、问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、已知函数是反比例函数，则的值为. 【答案】【解析】根据反比例函数概念，且，可确定的值.【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（ ）.A. B. C. 0D. 1【答案】D；反比例函数过点（2，3） 类型二、反比例函数的图象及性质2、已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围【思路点拨】由反比例函数性质知，当0时，在每个象限内随的增大而

37、减小，由此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围【答案与解析】解：由题意得：，解得，所以，则3【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键举一反三：【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为_（写出满足条件的一个的值即可）【答案】3（满足2即可）.3、在函数（，为常数）的图象上有三点(3，)、(2，)、(4，)，则函数值的大小关系是（ ）A B C D【答案】D；【解析】 |0， |0，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(3，)、(2，)在第二象限，(4，)在第四象限， 它们的大小关系是：【总结升华】根据反比例函数的性质，比较

38、函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(3，)、(2，)在双曲线的第二象限的分支上，因为32，所以，点(4，)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值举一反三：【变式1】（2014春海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k0）的图象大致是（）.A. B.C. D. 【答案】C；提示：分两种情况讨论：当k0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；当k0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限故选C【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】【变式2】已知,且则函数与在同一坐标

39、系中的图象不可能是( ) . 【答案】B ；提示：因为从B的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函数来说，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.4、（2016齐齐哈尔）如图，已知点P（6，3），过点P作PMx轴于点M，PNy轴于点N，反比例函数y=的图象交PM于点A，交PN于点B若四边形OAPB的面积为12，则k= 【思路点拨】根据点P（6，3），可得点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入函数解析式分别求出点A的纵坐标和点B的横坐标，然后根据四边形OAPB的面积为12，列出方程求出k的值【答案】6【解析】解：点P（6，3），点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，代入反比例函数y=得

40、，点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即AM=，NB=，S四边形OAPB=12，即S矩形OMPNSOAMSNBO=12，6363=12，解得：k=6故答案为：6【总结升华】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B的纵横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解举一反三：【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小.【答案】解：， 且，.类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(3，4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的

41、距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式【思路点拨】因为点(3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交点，所以把(3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式【答案与解析】解：因为函数的图象经过点(3，4)， 所以，所以12 所以反比例函数的表达式是 由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(5，0)，则分两种情况讨论：当直线经过点(3，4)和(5，0)时，有 解得

42、所以当直线经过点(3，4)和(5，0)时，有 解得 所以所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解举一反三：【变式】如图所示，A、B两点在函数的图象上（1）求的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数【答案】解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得6设直线AB的解析式为 A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上， 解得 直线AB的解析式为（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3类型

43、四、反比例函数应用6、（2015兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60v120（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇求两车的平均速度；甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离【答案与解析】解：（1）设函数关系式为v=，t=5，v=120，k=1205=600，v与t的函数关系式为v=（5t10）；（2）依题意，得3（v+v20）=6

44、00，解得v=110，经检验，v=110符合题意当v=110时，v20=90答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t（60090t）=200，解得t=4，此时110t=1104=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=1102=220答：甲地与B加油站的距离为220或440千米 【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.【巩固练习】一.选择题1.（2014宜阳县校级模拟）若

45、一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（）A（2，3） B（3，2） C（2，3） D（2，3）2. 函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）3. （2016兰州）反比例函数是y=的图象在（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限4. 数是反比例函数，则的值是（ ）A1 B1 C D15. 如图所示，直线与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，的值为（ ）A1 B2 C3 D46. 点(1，)，(2，)，(3，)在反比例函数的图象上下列结论中正确的是（ ）A B C D7. 已知、是反比例函数图象上的三点，且，则、的大小关系是（）

46、A B C D8. 如图所示，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点，则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（ ）A B C D二.填空题9. （2016徐州）若反比例函数的图象过点（3，2），则其函数表达式为 10.（2014秋大竹县校级期末）若函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围_.11.反比例函数的图象叫做_.当时，图象分居第_象限，在每个象限内随的增大而_；当时，图象分居第_象限，在每个象限内随的增大而_.12. 若点A(，2)在反比例函数的图像上，则当函数值2时，自变量的取值范围是_.1

47、3.若变量与成反比例，且时，则与之间的函数关系式是_，在每个象限内函数值随的增大而_.14.已知函数，当时，则函数的解析式是_.15如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则.16.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变在一定范围内，密度是容积V的反比例函数当容积为5时，密度是1.4，则与V的函数关系式为_三.解答题17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t()与行驶速度v()满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(，0.5)（1）求和的值；（2）若行驶速度不得超过60

48、，则汽车通过该路段最少需要多少时间？18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（）的反比例函数，其图象如图所示(1) 求P与S之间的函数关系式；(2) 求当S0.5 时物体承受的压强P 19.（2015淄博模拟）如图，直线y=x与双曲线y=（x0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x0）交于点B，与x轴交于点C.（1）求C点的坐标. （2）若=2，则k的值为？20.如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A(4，)和B(8，2)，与轴交于点C(1) _，_；(2)根据函数图象可知，当时，的取值范围是_；(3)过点A作AD轴于点D，点P是反比例

49、函数在第一象限的图象上一点设直线OP与线段AD交于点E，当时，求点P的坐标【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，该点的坐标为（2，3）故选：D2.【答案】B； 【解析】分0，和0分别画出图象，只有B选项是正确的.3.【答案】B【解析】反比例函数是y=中，k=20，此函数图象的两个分支分别位于一、三象限4.【答案】D；【解析】由反比例函数的意义可得：解得，15.【答案】C；【解析】把3代入，得 A(1，3)把点A的坐标代入，得.6.【答案】B；【解析】 ， 反比例函数的图象位于第二、

50、四象限，画出函数图象的简图，并在图象上表示出已知各点，易知 7.【答案】C；【解析】观察图象如图所示8.【答案】D；【解析】 由点P的横坐标为2，可得点P的纵坐标为 由题意可得点 在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式为故选D项二.填空题9.【答案】y=【解析】设反比例函数解析式为y=（k为常数，且k0），该函数图象过点（3，2），k=3（2）=6该反比例函数解析式为y=10.【答案】m2；【解析】函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，m20，解得m2 11.【答案】双曲线；一、三；减小；二、四；增大；12.【答案】2或；【解析】结合图象考虑反比例函数增减性.13.【答案】；

51、增大 ；14.【答案】；15.【答案】3；【解析】由矩形OABC的面积3，可得B点的横坐标与纵坐标的乘积的绝对值3，又因为图象在第四象限，所以反比例函数的.16.【答案】.三.解答题17.【解析】解：（1）将(40，1)代入，得，解得40 该函数解析式为 当t0.5时，解得80， 40，80（2）令v60，得，结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要小时18.【解析】解：（1）设所求函数解析式为,把（0.25,1000）代入解析式， 得1000, 解得250 所求函数解析式为（s0） （2）当s0.5时，P500(Pa)19.【解析】解：（1）将直线y=x向下平移个6单位后得到直线BC，直线B

52、C解析式为：y=x6，令y=0，得x6=0，C点坐标为（，0）；（2）直线y=x与双曲线y=（x0）交于点A，A（，），又直线y=x6与双曲线y=（x0）交于点B，且=2，B（+，），将B的坐标代入y=中，得（+）=k，解得k=1220.【解析】解：(1)，16；(2)80或4；(3)由(1)知， 4，点C的坐标是(0，2)，点A的坐标是(4，4) CO2，ADOD4 ， 即， DE2 点E的坐标为(4，2)又点E在直线OP上， DE2 点E的坐标为(4，2)由 得 （不合题意舍去） P的坐标为.图形的相似和比例线段-知识讲解（基础） 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观

53、察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、比例线段【图形的相似 预备知识】1线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成2成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段

54、3比例的基本性质：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）要点二、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；要点三、相似多边形【图形的相似 二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称

55、为相似比【典型例题】类型一、比例线段1.（2014甘肃模拟）若=（abc0），求的值【答案与解析】解：设=k，则a=2k，b=3k，c=5k，所以=【总结升华】本题考查了比例的性质解题的关键是先假设=k，得出a=2k，b=3k，c=5k，降低计算难度举一反三：【变式】（2015兰州一模）若3a=2b，则的值为（）ABCD【答案】A【解析】解：3a=2b，=，设a=2k，则b=3k，则=故选A类型二、相似图形2.（2014江北区模拟）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似A.1个 B.

56、2个 C.3个 D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个故选：C【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同；两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图

57、形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形3. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【思路点拨】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长【答案与解析】四边形相似于四边形 ，即 四边形的周长.【总结升华】观察一下可以发现，周长比等于边的比.举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMN

58、H、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：矩形MFGN与矩形ABCD相似当时，S有最大值，最大值为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.图形的相似和比例线段-巩固练习（基础）【巩固练习】一选择题1.（2014秋慈溪市期末）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A相似 B平移 C轴对称 D旋转2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （） A. 2，4，3，6B. ，1，C. 6，4，10，5 D. ，2，23. 下列命题正确的是()A所有的等腰三角形都相似

59、 B所有的菱形都相似C所有的矩形都相似 D所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点()A(-2a，-2b) B(-a，-2b) C(-2b，-2a) D(-2a，-b)5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A19 B17 C24 D21 6. .ABC与A1B1C1相似且相似比为，A1B1C1与A2B2C2相似且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为 ()ABC或D二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5

60、cm，这张图的比例尺为_.8. 若，则_9判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_,对应角_时，两个多边形相似.10.已知则11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40，60，则另一个三角形的最大角为_,最小角为_.12.（2015春庆阳校级月考） 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .三 综合题13. （2014春徐州校级月考）（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段