导数中的构造函数

1、 导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想， 而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中，下 面我就导数小题中构造函数的技巧和大家进行分享和交流。(一)利用f (x)进行抽象函数构造1、利用f (x)与x构造；常用构造形式有 xf f ;这类形式是对u v/型函 xv数导数计算的推广及应用，我们对u v, u_的导函数观察可得知，u v型导函数中 v体现的是 “法，u型导函数中体现的是“ ”法，由此，我们可以猜测，当 v导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造u v型，当导函数形式出现的是”法形式时，优先考虑构造u,我

2、们根据得出的“优先”原则，看一看 v例1,例2.生【例1】f (x)是定义在R上的偶函数，当x 0时，f (x) xf (x) 0,且 f ( 4) 0,则不等式xf (x) 0的解集为? 思路点拨：出现“ ”形式，优先构造F (x) xf (x),然后利用函数的单调性、 奇偶性和数形结合求解即可.【解析】构造 F (x) xf (x)，贝 UF(x) f (x) xf (x),当 x 0 时，f (x) xf (x) 0 , 可以推出x 0 , F (x) 0 , F (x)在(，0)上单调递减. f (x)为偶函数，x为奇函 数,所以F (x)为奇函数，F (x)在(0,)上也单调递减.根

3、据f ( 4) 0可得 F ( 4) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知 xf (x) 0的解 集为(，4) (0,4).【例2】设f (x)是定义在R上的偶函数,且f (1) 0 ,当x 0时，有xf (x) f (x) 0恒成立，则不等式f (x) 0的解集为一一 f (x)?思路点拨：出现“”形式，优先构造F (x) 然后利用函数的单调 x性、奇偶性和数形结合求解即可.唾【解析】构造F (x)工竺，则F (x)f(X)x f(X),当x 0时，Xxxf (x) f (x) 0 ,可以推出 x 0 , F (x) 0 , F (x)在(，0)上单调递增Mx)为偶函数，x

4、为奇函数，所以F (x)为奇函数，. F (x)在(0,)上也单调递减.根据f(1) 0可得F (1) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f (x) 0 的解集为(，1) (1,).xf (x)，但是比较简单常见的f (x)与x之间的函数关系式，如果碰见复杂的, x TOC o 1-5 h z 不易想的我们该如何处理，由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F (x)xn f (x) , F (x) nxn 1 f (x) xn f (x) xn 1nf (x) f (x);F I f (x) F I f (x) xn nxn 1 f (x) xf(x) nf(x).F (

5、x) n ， F (x)2nn 1?xxx结论：出现nf(x) xf (x)形式，构造函数 F (x) xnf (x);出现xf (x) nf (x)形式，构造函数F (x)f (x) .xn我们根据得出的结论去解决例3题0，当 x 0整【例3】已知偶函数f (x)(x 0)的导函数为f (x),且满足f ( 1)时，2 f (x) xf (x),则使得f (x) 0成立的x的取值范围是?思路点拨：满足“ xf(x) nf (x)”形式，优先构造F (x)工也 然后利用nx函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.【解析】构造F (x)华，则F (x) xf (x) x 2 f (x)xf (x

6、) 2 f (x) 0，可以推出 x 0 ,F (x) 0 ,F (x)在(0,)上单调递减.= f (x)为偶函数，x 【解析】构造F (x) xf (2x),则 F (x) 2xf (x) f(2x),当 x 0 时，F (x) 2xf (x) f (2x) 0，可以推出 x 0 , F (x) 0 , F (x)在(，0)上单调递减.为偶函数，所以F (x)为偶函数，F (x)在(，0)上单调递增.根据 f ( 1) 0可得F ( 1) 0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像，根据图像可知f (x) 0 的解集为(1,0) (0,1).生【变式提升】设函数f (x)满足x3 f (x)

7、3x2 f (x)1 In x，且 f ( . e ),2e则 x 0 时，f (x)()A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值?思路点拨：梆“ xf (x) nf (x) ”形式，为n 3时情况，优先构造F (x) 华,xn然后利用积分、函数的性质求解即可.生i【例4】设f (x)是定义在R上的奇函数，在(，0)上有2xf (2x) f (2x) 0 ,且f( 2) 0,则不等式xf (2x) 0的解集为.?思路点拨：满足“ xf (x) nf (x) ”形式，优先构造F (x) xf (2x),然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解

8、即可.注意f ( 2) 0和F (x)的转化.利用f (x)与ex构造;(ex )f (x)与ex构造，一方面是对u v, u函数形式的考察，另外一方面是对vf (x)ex的考察.所以又t于f (x) f (x)类型，我们可以等同 xf (x),的类型处理,法优先考虑构造F (x) f (x)xf (x)法优先考虑构造F (x) 【例5】已知f (x)是定义在()上的函数，导函数f (x)满足f (x) f (x)对于x R恒成立，则()A、f (2) e2 f (0), f (2014) e2014f (0)B、f (2)e2 f (0), f (2014)e2014f (0)C、f (2)

9、e2 f (0), f (2014) e2014f (0)D、f (2) e2 f (0), f (2014) e2014 f (0)? 思路点拨：满足 f(x) f (x) 0”形式，优先构造F (x) 函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.f (x)；然后利用 xeM【解析】构造F (x)孕形式，则F (x) eex f (x)exf (x) f (x) f (x)函数f (x)满足f (x) f (x)，则f (x) 0 , F (x)在R上单调递减，根据单调性可知 选D.同样exf (x),f (x)是比较简单常见的f (x)与ex之间的函数关系式，如果碰 xe见复杂的，我们

10、是否也能找出此类函数的一般形式呢？F (x)enxf (x) F (x) n enxf (x)enx f (x)enx f (x) nf (x).F (x)肾 F.(x)f (x)enx nenxf (x) f (x) nf (x)2nx enxe -结论:1、出现 f (x)2、出现 f (x)nf (x)形式，构造函数F (x) enx f (x)；nf (x)形式，构造函数F (x)-f-(x)-.e我们根据得出的结论去解决例6题.生【例6】若定义在R上的函数f (x)满足f (x)2 f (x)0, f (0)f (x) e2x的解集为：ftx)h 匚* .?思路点拨：满足“ f (x

11、) 2 f (x) 0”形式，优先构造F (x) 打，然后利用e函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.M【解析】构造F (x)婴形式，则F (x) e2 x 一2 x 一一一e f (x) 2e f (x) f (x) 2 f (x)导函数f (x)满足f (x) 2 f (x)f (0) 1,则 F (0) 1 , f (x) e20 ,则 F (x) 0f (x)2x 1 F(x) eF (x)在R上单调递增.又丁F (0),根据单调性得x 0 TOC o 1-5 h z I【变式提升】若定义在R上的函数f (x)满足f (x) 2 f (x) 4 0, f (0)1则不等式f

12、(x) e2 x 2的解集为? 思路点拨：利用通式构造函数时考虑4如何转化.构造函数F (x)、e? xe2 x刍【例7】已知函数f x在R上可导，其导函数为f x ,若f x满足：(x 1)f x f x 0, f(2 x) f x e2 2x ,则下列判断一定正确的是()(A)f (1)f (0)(B)f (2)e2 f (0)(C)f (3)e3 f (0)(D)f (4)e4 f (0)f (x)? 思路点拨：满足“ f (x) f (x) ”形式，优先构造F (x)，然后利用函数e的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.嘎1 解析构造 F (x)举形式，则 F (x) e f (

13、x) 2 xe f (x) f (x) x f (x),导 eee函数 f (x)满足(x 1) f (x) f (x)0，则x HF (x) 0 , F (x)在1,)上单调递增.当x 1时F (x) 0 ,F (x)在(，1上单调递减.又由f (2 x) f (x)e2 2 x F (2 x) F (x) F (x)关于x 1对称，根据单调性和图像，可知选C.(3)利用 f (x)与 sin x, cosx 构造.sin x, cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式.F (x)f (x) sin x, F (x) f (x) sin x f

14、(x) cos x .?F (x)f (x), F (x) sin xf (x) sin x f (x) cosxsin 2 xF (x)f (x) cosx, F (x)f (x) cos x f (x) sin x .?F (x)f(x), F(x) f cosx(x) cos x f (x) sin xcos2 x根据得出的关系式，我们来看一下例【例8 1已知函数 y对于任意的x ( 一)满足2 2f x cos x f x sin x 0(其中f是函数f x的导函数)，则下列不等式不成立的是()A、Wf ()24B、C、f (0)2 f ( 44f( 3) f( 4)f (0) 2 f

15、 (才? 思路点拨：满足f x cosx f x sin x 0 ” 形式，优先构造 F (x) f (x) cos x然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.I【解析】构造F (x).形式，则F (x)cosxf (x) cos x f (x) sin xcos2 x,导函数f (x)满足f x cosx f x sin x 0，则F (x) 0 , F (x)在(一二)上单调递增.把选项转 2 2化后可知选B.【变式提升】 定义在(0,-)上的函数，函数f (x)是它的导函数，且恒有2f (x)f (x) tanx 成立，则()A . 3f(-)2f (-)B、f (1)

16、2 f (-) sinlG .2f ( -)f ( -)D3f ( -) f (-)? 思路点拨： 满足 f (x) sin x_f (x) cos x” 形式，优先构造 F (x) f (x) , Wf sin x利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.(二)构造具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不 等式及求值问题.331【例9】， ，且sin sin 0,则下列结论正确的是()2 2-A、B、2【解析】构造f (x) x sin x形式，则f (x) sin x x cosx , x 0,时导函数 2f (x) 0 , f (x)

17、单调递增；x -0)时导函数f (x) 0 , f (x)单调递减.有 f (x) 为偶函数，根据单调性和图像可知选B. 三【变式提升】定义在R上的函数f (x)满足f(1) 1且对x R, f (x) 1则 ，2不等式f (log2x) 合的解集为.? 思路点拨：构造函数 F (x) f (x) 1 x2,令t 10g x，然后原不等式等价于 t 12 f (t) 限，利用单调性求解集，然后解对数不等式即可. -【例 10等比数列a。中，a1 2 , a8 4,函数 f (x) x(x a1)(x a2)(x as),2C、D 0? 思路点拨：构造函数f (x) x sin x,然后利用函数

18、的单调性和数形结合求解即A、26B、29C、212D、215可.?思路点拨：构造函数f (x) xg(x),然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.【解 析】 令 g(x) (x a)(x a2)(x a8)形式，则 f (x) xg(x),_412f (x) g(x) xg (x)，.二 f (0) g(0) a a2 . a 8 (2 4) 2 ,故选 C.【例11】已知实数a, b, c满足a 2eab1 ,其中e是自然对数的底数,那么(a c)2 (b d)2的最小值为()A、8 R 10 G 12 D 18?思路点拨：把(a c)2 (b d )2看成两点距离的平方，然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.【解析】由 1 b a *进而 f (x)为(0,2),所以(ag(x) 2 x ;由 f (x) 1c)2 (b d )2的最小值为12ex1,得 xx 2ex ; 又由0,所以切点坐标【变式提升】已知实数a,b满足2a2 51n a b 0 , c R，则J(a c)2 (b c)2的最小值为一?思路点拨：构造函数f (x) 2x2 5 In x , g(x) x，然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可.生!【课后作业】设函数 f (x)在R上的导函数f (x),在(0,)上 f (x) sin 2x，且 x R，有f (