数列的放缩问题

1、放缩法证明数列不等式常见的数列不等式大多与数列的求和或求积有关，基本结构形式有如下四种:n形如Vak（k为常数）in形如ai:：:fni1n形如Iai:：:fni1n形如Ia：k（k为常数）i1放缩目标型可求和n（一）形如ai:k（k为常数）TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 土1111例1.求证：1-2-71nN“22223n变式1.求证_飞飞u”：2nN“22232n HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 111变式2.求证厂厂3-厂1nN1212121123n变式3.求证

2、一厂厂厂2nN2+12+12+12+1【分析】例1：求和公式可证变式1错位相减法.1变式2:放缩飞.2+12变式3:放缩专片，然后错位相减法.2+12例2.求证:丄.丄丄133557112n-12n12n变式1.求证111（：2nN3nTOC o 1-5 h z、1117变式2.求证1222n二Ni223n2415变式3.求证1211一7：一n三N23n3【分析】例2:裂项后求和公式可证变式1：放缩1.1n_2，然后裂项求和nn（n-1）变式2：11放缩2n_3，然后保留前两项，从第三项开始放缩.nn（n-1）111（11）或者放缩2：2n_2，然后裂项求和.nn-125-1n+1丿变式3：!

3、：J111n_3，然后保留前两项，从第三项开始放缩n2n2-12n-1n1小试牛刀（变式练习）TOC o 1-5 h z1115求证：14-丄2异nN35（2n-1）411111c【分析】22n_22n-14n-4n4n-1n（08辽宁卷）已知:an2二nn1,bn二n+1，求证：aCn+Cn_312n-1nn1=2、，n-一n-15.2.n1-、n二一-Jn+1+(nJn2jnJn+Jn1 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document nn6226.22nn(2n-1)(2-1)(2-12n2n11-2)I3丿I3丿Sn:Tn所以-7产1n-21(11左边

4、3“产1714【总结】一般地，形如a.二an-bn或a.二an-b(这里ab_1）的数列，在证明111k（k为常数）时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放所谓等aia2an比模型n（二）形如二a：fni土例5.求证:、一12心23川nn1n【分析】不等式形如gn：7aj：fn，左右两边的式子都是某等差数列的和，因此考i虑将通项、n_n放缩为等差模型后求和思路：=,Sn代、石M：矿1启要证Tn:Sn:Rn，则只需要证明b:a.：C故只需证明kGn-n所以=、k：、1223nn1:、k1kn【总结】形如va：fn的数列不等式证明的思路：设S.和Tn分别为数列aj和仏？的iz前n项和，显然若a

5、n:bn，利用不等式的“同向可加性”这一基本性质，则有放缩目标型一一可求积放缩法证明与数列求积有关的不等式，方法与上面求和类似，只不过放缩后的可求积的模型，能求积的常见数列模型是6=(分式型)，累乘后化简为ni-1n（三）形如Iai:fniX例6.求证:135占2462n【思路分析】245川穿爲I13跡bn利用bn(nH2)，易得bn=因此，问题转化为只要证2n-1”2n1n【总结】形如i【ai:fn的数列不等式证明的思路：设代和Bn分别为数列曲和bji土的前n项积，显然若0：an:bn，利用不等式的“正数同向可乘性”这一基本性质，则有我们可以这样总结本节课学到的放缩方法:E亠切1111111,小刀虽”卄如+1)斥心_1)_J；1I1ZV=n1zr-121”-1n+.14=ir4h2wl2刃+1亠（问（2川-1）4（-1）4（、-1nJ立方型：1*w（/r-1）2L（1）mw（/+1）（心2）212根式