数学建模4-稳定性模型

1、稳定性模型一、微分方程和差分方程的稳定性理论简介详见数学模型7.7节（Page247）,包括一阶微分方程、二阶微分方程和差分方程的平衡点及稳定性，关键记住结论。二、捕鱼业的持续收获模型1.渔场鱼量（x）满足的方程：r固有增长率，E单位时间捕捞率（捕捞强度）。2.根据F（x）=0，当EVr时有平衡点。进一步根据图解法（作f（x）=rx（1-x/N）和h（x）=Ex的图像，求交点）可得最大产量模型：(6)(7)()此时的稳定平術点为且单位时间杓绘大持绞产昼为丽由（4）式用难算出保持涵场值凰稳定在叮的捕捞率为3.最大效益模型：R单位时间利润，p鱼的销售单价，c单位捕捞率费用R（E）二T（E）一3（瓦

2、）=PNE（1-yj-eE用微分洁容矣求出蹩利润斤（E）达到最大的捕捞强度为八去_話）将代入（4）式可得晟大利润下的犍场稳定鱼駐窃及枫位时间的持鍾产鼠町为(U)（4.捕捞过度模型：令R（E）=0，得Es=r（1-c/pN）,为盲目捕捞下的临界强度。图解法可得，ES存在的必要条件是pc/N。三、食饵-捕食者模型賞饵（倉用鱼）和摊食若（電隹）在时割的數金分别记作讥仃闵为大海中资憑丰商假设当食舛独立生存时以指数规律增长，（相对）堵拴率为r.即斤工肚而捕含样曲存在便官饵的增长率滅小，设减小的釋摩与捕倉者数酷咸正比，于是工(门满足方稈x(t)=f(r-ay)-rxaxy(I)比例系数环反映捕食者掠取食饵

3、的能力.捕食者晡开食莎无迭生存，设它独自存衽时死亡率为孔即=儿而食幄的存在为捕食者提供了負物，相当于便抽食者的死亡率降低，且促便我增拴设这种作用与食博数量成正比，于是讥匕)満足y(C)=y(d+)=Jy+bxjr(2)比例系数B反映負饵对捕食者的供养能力.方(1),(2是柱自然环境中食饵利捕食者之间依存和制約的关塞，这里嗖有考虑种辭自身前阳滞增长作用.是Voltenaffi出的最简瞅的模型.首先求微分方程的数值解，然后研究其平衡点和相轨线,得到平衡点为P(-,-)(也可以求x(t)和y(t)在一个周期内的平均值)。得到模型解释如下：上闻的结果是在自琳环境下得到的，为了考應人为捕蕊的證响可以引人

4、表示捕族能力的系数相当于食饵增长率由r下降为尸而捕食者死亡率由dI：升为d,用石表示这种情况下侵用也(岌饵)和輩鱼(捕食者的(平均)數量，由(11(12)式可知乔=V-T71=-&(1显然巨I“丘5战争期阿韓就京F降，即捕获系敛为ef(叮.于余食用鱼刹鲨值的数幣变为显然為J；A真.这正说明战爭期间鳌铉的比例会有明显的增加.四、差分形式的阻滞增长模型解代数方程x=f(x)=bx(1-x),得非零平衡点x*=1-1/b。1阻滞增长模型的差分形式：r最大增长率，N最大容量)2平衡点及其稳定性根据|f(x*)|1，得1VbV3。图解法：在条件(10)下*,收敛于兀“的状况可以通过方程(6)的图解迭清楚地表示出来.以工为横坐标作y=/(x)=bx1-z)和p=w的图形(图1)*曲线y=/()和直线yp交点的横坐标为平衡点*对于初值吋由方程3)求叭宀，的过程表示为图上带酰头的