新沪科版八年级下册数学全册教学课件

1、经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用16.1 二根次式第16章 二次根式第1课时 二次根式的概念学习目标1.理解二次根式的概念.（重点）2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点） 导入新课情景引入里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？你们是根据哪些特征猜出的呢？下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”-中科院数学与系统科学研究院 李邦河复习引入问题1

2、 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示.问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_m；若面积为S m2，则边长为_m (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_m 图图（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系

3、 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_问题1 这些式子分别表示什么意义？分别表示2，S，3， 的算术平方根 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， 讲授新课二次根式的概念及有意义的条件一根指数都为2;被开方数为非负数.问题2 这些式子有什么共同特征？归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.两个必备特征外貌特征：含有“ ”内在特征：被开方数a 0注意：a可以是数，也可以是式.例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否

4、含二次根号被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式是是否否分析：典例精析例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义?解：由x-20，得x2.当x2时， 在实数范围内有意义.【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由题意得x-10，x1.解：被开方数需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.归纳【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：(1)无论x为何实数，当x=1时，

5、在实数范围内有意义.(2)无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，无论x为何实数， 在实数范围内都无意义. 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.归纳(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；(2)多个二次根式相加如 有意义的 条件：(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A0；(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A0且B0.归纳总结1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_; (2)若式子 在实数范围

6、内有意义，则x的 取值范围是_.x 1 x 0且x2 练一练问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a0时， 表示a的算术平方根，因此 0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a0时， 0.问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的双重非负性二 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0；（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 0. 二次根式的被开方数非负二次根式的值非负二次根式的双重

7、非负性归纳总结例3 若 ，求a -b+c的值.解： 由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4.a-b+c=2-3+4=3. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.归纳典例精析例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根.解：由题意得 x=3，y=8，3x+2y=33+28=25.25的算术平方根为5，3x+2y的算术平方根为5【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长解：由题意得a=3，b=4.当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；当b为腰长时，三角形的周长为4+

8、4+3=11 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.归纳已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0解得x=1，y=2x+4y=1+24=9，x+4y的平方根为3.练一练当堂练习2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x2 B.x2 C.x2 D.x23.当x=_时，二次根式 取最小值，其最小值 为_1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）CA-104.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围解：由题意得m-20且m2-m-20，解得m2且m-1，m2，m2(2)无论x取任何实数

9、，代数式 都有意义，求m的取值范围解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.(x+3)20，则m-90，即m9.6.若x，y是实数，且y ,求 的值. 解：根据题意得x=1.y ,y ， .7.先阅读，后回答问题：当x为何值时， 有意义？解：由题意得x(x-1)0由乘法法则得解得x1 或x0即当x1 或x0时， 有意义.能力提升：体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？解：由题意得则 解得x2或x ，即当x2或x 时， 有意义课堂小结二次根式定义带有二次根号在有意义条件下求字母的取值范围抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.被开方数为非负数二次根式的双重非

10、负性二次根式 中,a0且 0经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用16.2.1 二根次式的乘除第16章 二次根式第1课时 二次根式的乘法学习目标1.理解二次根式的乘法法则.（重点）2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性 质进行简单运算.（难点）导入新课情景引入近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就，无论是嫦娥探测器还是玉兔月球车，既体现了中华民族传统文化的意味，又契合了我国和平利用太空的意愿，下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频： 问题1 运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙

11、速度v与地球半径R之间存在如下关系：v12=gR，其中g是重力加速度.请用含g，R的代数式表示出第一宇宙速度v1.第一宇宙速度v1可以表示为 .第二宇宙速度v2可以表示为 .问题2 飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度.第二宇宙速度为v2= v1，请结合问题1用含g，R的代数式表示出第二宇宙速度v2.思考 若已知地球半径R6371km及重力加速度g10m/s2，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？(1) _=_;=_;讲授新课二次根式的乘法一计算下列各式:(2) _=_;(3) _=_;=_;=_.23645205630观察两者有什么关系？

12、 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1) (2) (3) 思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测： 你能证明这个猜测吗？求证：证明：根据积的乘方法则，有就是ab算术平方根.又 表示ab算术平方根， .证一证一般地，对于二次根式的乘法是语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.二次根式的乘法法则:二次根式相乘，_不变，_相乘.根指数被开方数归纳总结注意：a,b都必须是非负数. 在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数典例精析例1 计算:解: (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，

13、即 .归纳可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则例2 计算:解: 当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .归纳问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？试回顾如何计算3a22a3= .6a5提示：可类比上面的计算哦二次根式的乘法法则的推广：归纳总结多个二次根式相乘时此法则也适用，即当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即例3 比较大小(一题多解):解：(1)方法一： ， ，又2027， ，即 .方法二： ， ，又2027， ，即 .解：(2) ， ， 又5254， ，

14、 ,即 比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.归纳两个负数比较大小，绝对值大的反而小A. B. C. D.1.计算 的结果是 ( ) A. B.4 C. D.2B2.下面计算结果正确的是 ( ) D3.计算： _. 30练一练二次根式乘法公式的逆用二反过来：（a0，b0）（a0，b0）一般的：我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.解：（1） 例4 化简：（1） ；（2） （2） (2)中4a

15、2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.（1） ； （2） 【变式题】 化简：解：（1） （2） 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.归纳例5 计算：（1） ；（2） ； （3） 解：（1）（2）（3）3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 a2 = 把这个因式(或因数)开出来，将二次根 式化简 .1.把被开方数分解因式(或因数) ；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因 式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：归纳总结1. 计算：解： 练一练易错提醒： 中，a,b必须是非负

16、数.2.下面是意大利艺术家列奥纳多达芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积.解：它的面积为当堂练习1.若 ，则 （） Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数 A2.下列运算正确的是 （ ）A.B.C.D.D4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“”“” 或“=”）： 3. 计算： 5.计算：6.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.(1)已知 , ，求S； 解：S = ab = = = = （2）已知 , ，求S. 解：S = ab = = = =240. 7.已知 试着用a,b表示 .解：能力提升：课堂小结二次根式乘法法则性质拓展法则经典 专业 用心精品课件本课件来源于网

17、络只供免费交流使用16.2.1 二根次式的乘除第16章 二次根式第2课时 二次根式的除法学习目标1.了解二次根式的除法法则.（重点）2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点）3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .导入新课情景引入解：问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：二次根式的除

18、法该怎样算呢解：思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？(1) _=_;= _;讲授新课计算下列各式:(2) _=_;(3) _=_;= _;= _.234567观察两者有什么关系？ 二次根式的除法一观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1) (2) (3) 思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式除法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？特殊一般议一议问题 在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？不对，同乘法法则一样，a,b都为非负数.a,b同号就可以啦你们都错啦，a0，b0,b=0时等式两边的二次根式就没有意义啦归纳总结二次根式的除法法则:文字叙述:算

19、术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得例1 计算：解:除式是分数或分式时，先要转让化为乘法再进行运算典例精析解: 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.归纳二次根式除法法则的逆用二我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到例2 化简:解:还有其他解法吗?补充解法：典例精析解：1.能使等式 成立的x的取值范围是（ ） A.x2 B.x0 C.x2 D.x2 C2.化简：解：练

20、一练最简二次根式三问题1 你还记得分数的基本性质吗？分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.即问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉 这样的式子分母的根号吗？是不是可以用分数的基本性质去掉分母的根号呢？下面让我们一起来做做看吧： 把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.概念学习例3 计算:解:典例精析 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使分母不含根号.归纳满足如下两个特点：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.简记为：一根号无分母，分母无根号

21、；二不能再开方.归纳总结在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简解：只有(3)是最简二次根式；练一练例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.解:二次根式除法的应用四例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？解:由题意得当堂练习1.化简 的结果

22、是（）A9 B3 C D B2.下列根式中，最简二次根式是（） A. B. C. D.C3.若使等式 成立，则实数k取值范围是 （ ）BA.k1 B.k2 C. 1k2 D. 1k2 4.下列各式的计算中，结果为 的是（） A. B. C. D.C5. 化简： 解:6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒试求电流I解：当W=2400，R=100，t=15时，7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根

23、式 中实数a的取值范围”，她告诉 刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？解：刘敏说得不对，结果不一样理由如下：按 计算，则a0，a-30或a0，a-30,解得a3或a0；而按 计算，则a0，a-30,解得a3能力提升：课堂小结二次根式除法法则性质拓展法则相关概念分母有理化最简二次根式经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用16.2.2 二根次式的加减第16章 二次根式第1课时 二次根式的加减学习目标1.了解二次根式的加、减运算法则.（重点）2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.

24、 （难点）问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式?问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.化简后被开方数相同导入新课复习引入问题3 有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？ aaaaaaaaaa=+在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当a= 时，分别代入左右得 ;当a= 时，分别代入左右得 ;.讲授新课 在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式一你发现了什么？因为 ，由前面知两者可以合并. 你

25、又有什么发现吗? 当a= ,b= 时，得2a+3b= .a2a+3bb=+bba这两个二次根式可以合并吗？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：归纳总结将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，像这样的二次根式称为同类二次根式. 注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：例1 若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得即典例精析 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可

26、.归纳【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.解：由题意得3a-8=17-2a,a=5，20-2x0，x-50，5x10.练一练1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.D2. 与最简二次根式 能合并，则m=_.13.下列二次根式，不能与 合并的是_(填 序号）.二次根式的加减及其应用二思考 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?S=8dm2S=18dm2问题2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果

27、不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.（化成最简二次根式）（逆用分配律）在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板解：列式如下： 在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立.归纳总结二次根式的加减法法则: 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.(1)化将非最简二次根式的二次根式化简； 加减法的运算步骤：(2)找找出被开方数相同的二次根式； (3)并把被开方数相同的二次根式合并. “一化简二判断三合并”化为最简二次根式 用分配律合并 整式加减 二次根式性质 分配律 整式加 减法

28、则依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题 典例精析例2 计算:解：例3 计算:解：有括号，先去括号例4 已知a,b,c满足 .(1)求a,b,c的值；(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.解：(1)由题意得 ；(2)能.理由如下： 即acb，又 a+cb，能够成三角形，周长为分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.解：当腰长为 时，此时能构成三角形，周长为 当腰长为 时，此时能构成

29、三角形，周长为 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.归纳练一练1.下列计算正确的是 （） A. B. C. D. C2.已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其周长为_.当堂练习1.二次根式： 中，与 能进行合并的 是 （ ）A.B .C .D .2.下列运算中错误的是 （ ）A.B.C.D.AC3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为_. 4.计算:解：5.计算:解：6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（取3.14）.d解设大圆和小圆的半径分别为R，

30、r，面积分别为 ， ，由 ， 可知则答：圆环的宽度为d7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求（2*3）（27*32）的值解：a*b= ，（2*3）（27*32）=能力提升：课堂小结二次根式加减法则注意运算顺序运算原理 一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.运算律仍然适用与实数的运算顺序一样经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用16.2.2 二根次式的加减第16章 二次根式第2课时 二次根式的混合运算学习目标1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点）2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.（

31、难点）导入新课问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么?问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb复习引入(ma+mb+mc)m=a+b+c分配律 单多 转化 前面两个问题的思路是：思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单单 讲授新课 二次根式的混合运算及应用一 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.例1 计算： 解： 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，

32、再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.归纳解：此处类比“多项式多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.解：(1)原式(2)原式【变式题】计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.归纳例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积路基的长度)为多少立方米呢？典例精析解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：答：这段路基的土石

33、方为 计算： 练一练问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行二次根式的运算二问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 整式的乘法公式就是多项式多项式前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟例3 计算： 解：典例精析 解： 进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，在根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算.归纳【变式题】计算：解：(1)原式(2)原式 计算：练一练先用乘法

34、交换律，再用乘法公式化简.求代数式的值三 例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.解： x2+2xy+y2=（x+y)2把 代入上式得原式= 解: ，x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy(x+y)2-2xy【变式题】 已知 ，求x3y+xy3. 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成知含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值.归纳在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:拓展探究思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根

35、式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？例4 计算:解: 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.归纳【变式题】 已知 ,求 .解: 解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可.归纳已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.解：练一练当堂练习1.下列计算中正确的是（ ）B2.计算：5 3.设 则a b(填“”“ ”或 “= ”）. = 4.计算：解：解：原式5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边长为 cm的正方形，求剩余部分的面积.

36、解：由题意得即剩余部分的面积是6.(1) 已知 ，求 的值；解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)(2)已知 ，求 的值.解：6.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：方法一：方法二：能力提升：(1)请用两种不同的方法化简：(2)化简：解：(1)课堂小结二次根式混合运算乘法公式化简求值分母有理化化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2 +(a+b)x+ab经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用17.2 一元

37、二次方程的解法第17章 一元二次方程17.2.1 配方法学习目标1.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p0)的方程.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点)3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.(难点)1.如果 x2=a,则x叫做a的 .导入新课复习引入平方根2.如果 x2=a(a 0),则x= .3.如果 x2=64 ,则x= .84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课直接开平方法一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长

38、为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程106x2=1500，由此可得x2=25，开平方得即x1=5，x2=5.棱长不能是负值，正方体的棱长为5dmx=5，试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1) x2=4(2) x2=0(3) x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,负数没有平方根，原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次

39、方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1) x2=6；(2) x2900=0.解：（1） x2=6，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30, x2=30.典例精析在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:(x+3)2=5 ， 得对照上面方法，你认为怎样解方程(x+3)2=5探究交流于是，方程(x+3)2=5的两个根为 上面的解法中 ，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳例2 解下列方程：(1)即x1=3，x2=-1.解：移项，得 x

40、-1是4的平方根，x-1=2. x1= ， x2=(2) 解： 移项，得 两边都除以12，得3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5.1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn)2= p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流配方的方法二问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1) a2+2ab+b2=( )2；(2) a2-2ab+b2=( )2.a+ba-b探究交流问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x2

41、+4x+ = ( x + )2（2）x2-6x+ = ( x- )2（3）x2+8x+ = ( x+ )2（4）x2- x+ = ( x- )2你发现了什么规律？222323424二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+( )2=(x+ )2配方的方法用配方法解方程三探究交流怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平

42、方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳像这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解配方法解方程的基本步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p (p 0); 四直接开平方法解方程.例3 解下列方程：解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42 ,( x4)2=1

43、5由此可得即配方，得由此可得二次项系数化为1，得解：移项，得2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得 实数的平方不会是负数，x取任何实数时，上式都不成立，原方程无实数根解：移项，得二次项系数化为1，得为什么方程两边都加12？即例4.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k24k5的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=(k-2)21(k-2)20，(k-2)211.k24k5的值必定大于零.1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-22.应用配方法求最值.(1) 2

44、x2 - 4x+5的最小值；(2) -3x2 + 5x +1的最大值.练一练C解：（1） 2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3. （2） -3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4.归纳总结配方法的应用 类别 解题策略1.求最值或证明代数式的值为恒正（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.

45、3.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.当堂练习 (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= 3, x1= ; x2=(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）(A) x2=-2,解方程，得x=(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 .

46、 (3)方程(2x-1)2=9的根是 .3. 解下列方程： (1)x2-810； (2)2x250； (3)(x1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212.填空:解：x19, x29.解：x15, x25.解：x11, x23.4.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.5.如图

47、，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm, 根据题意得(35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.答：道路的宽为1m.6.若 ，求(xy)z 的值.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 7.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ABC为等边三角形. 课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n

48、)2=p (p 0);四直接开平方法解方程.特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明直接开平方法利用平方根的定义求方程的根的方法经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用17.2 一元二次方程的解法第17章 一元二次方程17.2.2 公式法学习目标1.经历求根公式的推导过程.（难点）2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）导入新课复习引入1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?讲授新课 求根公式的推导一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 能否也用

49、配方法得出它的解呢？合作探究用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0).方程两边都除以a，得 解:移项，得配方，得即即一元二次方程的求根公式特别提醒 a 0,4a20，当b2-4ac 0时，当b2-4ac 0时，而x取任何实数都不能使上式成立.因此，方程无实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根由方程的系数a，b，c确定因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0 (a0) ，当b2-4ac 0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式

50、可知，一元二次方程最多有两个实数根.注意 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0); 2.b2-4ac0. 公式法解方程二 例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0.解： b2-4ac=(-4)2-45(-12)=2560.典例精析例2 解方程：化简为一般式：解：即 ：这里的a、b、c的值是什么？例3 解方程： （精确到0.001）.解：用计算器求得：例4 解方程：4x2-3x+2=0在实数范围内负数不能开平方，方程无实数根.解：要点归纳公式法解方程的步骤1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;3

51、.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac 0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac0, 即 x1 = -9, x2 = 2 .当堂练习2. 解方程(x - 2) (1 - 3x) = 6.解：去括号 ，得 x 2 - 3x2 + 6x = 6, 化简为一般式 3x2 - 7x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = -7 , c = 8. b2 - 4ac=(-7 )2 4 3 8 = 4996 = - 47 0 , 即 x1= x2=课堂小结公式法求根公式步骤一化（一般形式）；二定（系数值）；三求（ b2-4ac值）；四判（方程根的情况）；五代（求根公式计算）.务必将方程

52、化为一般形式经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用17.4 一元二次方程的根与系数的关系第17章 一元二次方程学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根.b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.b2 - 4ac

53、0. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.（2）2x2 -3x -2 = 0.解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2 -4ac = (-3)2 4 2 (-2) = 25 0, 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . x1 x2=2x2= 即 x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=7.答

54、：方程的另一个根是 ，k的值为-7.变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15.答：方程的另一个根是5，m的值为15.例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.解：根据根与系数的关系可知： 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: (1)x1+x2= , (2)x1x2= , (3) , (4) .411412练一练例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实

55、数根，且x12 +x22 =4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得= 4(k -1)2 -4k2 0 即 -8k + 4 0, 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.k=0.总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,

56、再整体代入.归纳当堂练习1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1-2-33.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 x1 = x1 =4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系 (x1+1)(x2+1)=

57、x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7. （2）k=-7, 则：5.设x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)解:根据根与系数的关系得：（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=（2）6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1. (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1拓展提升由根与系数的关系，得7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （

58、1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足x1-x2= 1 求m的值.解：(1)方程有实数根m的取值范围为m0(2)方程有实数根x1,x2，解得m=8.经检验m=8是原方程的解 m0，课堂小结根与系数的关系（韦达定理）内 容如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么应 用经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用17.5 一元二次方程的应用第17章 一元二次方程学习目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点）2.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（

59、重点、难点）导入新课问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？讲授新课平均变化率问题与一元二次方程一填空：1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元.探究归纳7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生

60、产1吨甲种药品的成本是 元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得5 000 ( 1x )2 = 3000，解方程，得x10.225，x21.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5.注意下降率不可为负，且不大于1.例2