高数极限定义和性质

1、关于高数极限的定义与性质第一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限例1.2.1 考察函数在当x趋向于1时函数值的变化。解如图，该函数定义域为考察x从x=1的左侧及右侧接近1时，其函数值的变化情况 。列表如下第二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月结论：当x充分接近1（但不等于1）, y的值接近于常数2.2.0000011.0000011.9999990.9999992.0011.0011.9990.9992.011.011.990.992.11.11.90.9一般地，我们有第三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定义1.2.1 设函数在点

2、的某去心邻域内有定义 ,或反之，若不存在这样的常数 A，则称当时没有极限或极限不存在。则例1.2.1可表示为的值任意地接近常数A, 函数如果当x充分接近时，则称当的极限为A,记作时函数第四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1.2.2 设函数求解如图，.观察其函数图象，得结论：函数在某点的极限的存在与否与函数在该点是否有定义或等于什么并无关系.第五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1.2.3 求解如图，观察其函数图象，得解如图，观察其函数图象，得例1.2.4 求第六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1.2.5 求不存在 .解如图，观察其函数图象，得第七张，PPT共二

3、十三页，创作于2022年6月1.2.2. 单侧极限定义1.2.2 设函数在点右（或左）邻域内有定义 ,（或函数如果当x从的右侧（左侧）充分接近时，的值任意地接近常数A, 则称在处的右（或左）函数记作极限为A,有时记为（或第八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1.2.6. 设函数讨论 时的左右极限是否存在 . 解:如图第九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1.2.7 设函数求解如图，和由这两个例子，得一般地定理1.2.1 .第十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限例1.1.8第十一张，PPT共二

4、十三页，创作于2022年6月一般地，定义1.2.3 设函数对大于（或小于）某个数X的x都（或记作的极限为A,函数有定义，如果当x无限地趋向时，（或的值任意地接近常数A, 则称当（或时函数第十二张，PPT共二十三页，创作于2022年6月又设函数对绝对值大于某个正数X的x都有定义，记作的极限为A,函数如果当|x|无限地趋向时，的值任意地接近常数A, 则称当时函数于是在例1.1.8中第十三张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定理1.2.2 .例1.1.9 设求解如图所以不存在。第十四张，PPT共二十三页，创作于2022年6月有一类特别地、重要的极限定义1 .2.4. 若时 , 函数则称函数为时

5、的无穷小 .例1.1.10 因为 故当时函数为无穷小 .例1.1.11 因为 故当时函数为无穷小 .第十五张，PPT共二十三页，创作于2022年6月例1.1.12 如图 故当时函数为无穷小 .当时函数接近于0 ，所以但当时函数不是无穷小 .注1: 无穷小与很小的数。 注2: 无穷小是与x的变化过程有关。第十六张，PPT共二十三页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.4、无穷极限例1.1.13y值不断增大，且有一种趋势，趋向正无穷大。此时极限并不存在，记为y值不断减小，且有一种趋势，趋向负无穷大。此时极限并不存在，记为第十七张，PPT共二十三页，创作于2022年6月机

6、动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.2.5 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,或记作则称当趋向于正无穷大（或负无穷大）时函数变得任意大， 函数如果当x充分接近时，如果上述定义中将(或叙述成则称当x趋近时函数趋向于无穷大，记作第十八张，PPT共二十三页，创作于2022年6月注1: 上述中的极限称为无穷极限. 注2: 无穷大是与x的变化过程有关。无穷极限并不代表 极限存在。 注3: 和无穷小类似，不要把无穷大与很大的数(如一亿)混淆.注4: 无穷大一定无界, 反之不然 .第十九张，PPT共二十三页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.1.14 求解 如图所以第二十张，PPT共二十三页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.1.14 求解 如图所以不存在。第二十一张，PPT共二十三页，创作于2022年6月定理1.2.4(局部有界性） 若则存在1.2.5 极限的性质最后无穷大与无穷小有如下的关系定理1.2.3 在自变量的同一极限变化过程中, 如果函数 为无穷大， 则 为无穷小； 反之如果为无穷小， 则 为无穷大。 的一个邻域，使得函数在该