山东大学高等数学课件10无穷级数

1、无穷级数第一节 数项级数的概念和性质 无穷级数表达函数解微分方程数值计算第一节 数项级数的概念和性质一. 数项级数的概念中学: 无穷等比级数就是无穷级数的一种定义将其各项依次累加所得的式子称为数项无穷级数设有数列项通项问题:如何理解无穷个数相加?变化趋势1. 部分和:2. 部分和数列:3. 收敛:称级数收敛称为级数余项极限不存在,称级数发散例. 判断级数敛散性:(1). 1+2+3+n+级数发散(2).级数收敛=1(3).q =1时q =-1时极限不存在,级数发散级数发散级数发散总之:级数收敛级数发散(4).级数发散二. 数项级数的性质性质1若级数 收敛于和 S, k 为常数,则证推论: 级数

2、的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性证不妨设去掉前k 项,得级数常数原级数部分和时,同时敛散因此,不影响级数的敛散性.例:因为 和 都收敛级数收敛性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变证:设收敛级数新级数注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.例如: (11)+ (11)+ (11)+.收敛而11+11+11+.发散.性质5.(级数收敛必要条件)若级数 收敛,则证:注意:(1). 若 ,则级数 发散(2). 时,级数 不一定

3、收敛判断级数发散的第一步骤但可以证明级数发散假若级数收敛,则但是,矛盾例如:调和级数(2)不存在级数发散例. 判断级数敛散性:(1)级数发散思考无穷级数第二节 数项级数的审敛法第二节 数项级数的审敛法一.正项级数及其审敛法每一项都非负其部分和数列有界定理1(基本定理)正项级数 收敛的充要条件是证(充分性)是正项级数,因此单调增加单调有界数列必有极限,则级数收敛.(必要性)由收敛数列必有界的性质可知定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数,且若 收敛,则 收敛;若 发散则 发散.证:设 收敛于,则 部分和由定理1,收敛.反之,若 发散则 必发散.否则与上面的结论矛盾.注意: 定理2可以与第一节的

4、性质相结合,灵活运用.例: p-级数的敛散性解时,级数显然发散.因为 , 而 发散,则 p-级数发散时,它的各项不大于下面的等比级数各项收敛收敛因此 p-级数的部分和有界,故收敛. 发散 收敛时,例. 判断级数敛散性:而 收敛收敛而 发散发散而 收敛收敛定理3(比较审敛法极限形式)设 和 都是正项级数,如果则 和 同时收敛或同时发散.证对存在自然数N, 当 nN 时,即由比较审敛法可知结论例如前面例(3),由也可以得出结论例而 发散发散定理4.(比值审敛法)设 是正项级数,如果则:收敛;发散;无法确定.(证明略)例. 判断级数敛散性:收敛收敛发散发散定理5.(根值审敛法)设 是正项级数,如果则

5、:收敛;发散;无法确定.(证明略)例 证明收敛并估计以 近似代替和 S 所产生的误差解则级数收敛二.任意项级数及其审敛法各项为任意实数的级数1. 交错级数:或定理6 (莱布尼兹定理)若交错级数满足:则级数收敛,且其和 ,其证单调有界则同理交错级数例如收敛且S0,使得当 |x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1) 仅在 x = 0 处收敛;(2) 在 内处处收敛;(3) 在(R,R )内收敛,端点另外讨论收敛区间R收敛半径R= 0R= + 2.收敛半径的求法定理2(证明略)例 求收敛半径和收敛域x =1 时收敛；x =1时收敛域是(1，1发散 收敛域是(，）仅在 x =0 点收敛设 x2 t ,

6、由(1)知收敛域是(1,3收敛域是(1,1令t =3 时t =3时发散发散收敛域是(3,3)收敛域是缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R1时,收敛.1时,发散.则收敛区间为时,发散.注:缺少奇次项,也可以用此方法.三.幂级数的运算性质1.四则运算性质设收敛半径分别为 和 ,记则对于任意的 , 有利用乘法可以定义除法则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2. 分析运算性质设收敛半径为R, 则(1) S(x) 在收敛域内连续;(2) S(x) 在(-R,R)内可导,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3) S(x)在(-R,R)内可积,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例 求和函数设和函数为S(x)( |x| 1时,展式在 x =1成立;0时,展式在 x = 1成立.2.间接展开法利用已知的