一阶微分方程

1、一阶微分方程一、可别离变量的微分方程一般表示别离变量并积分求解过程通解形式例1. 细菌生长过程的即时存在量 ，方程为 ，求通解和满足 的特解。解2例2 求微分方程 的通解解例3 如图5-2电路， 是开关，如果和闸 时，电容器上电压 ，求和闸后电压 的变化规律。解图5-2 RC电路3一阶可别离变量的微分方程习题选讲求以下微分方程的通解或特解解解解解习题五42习题五411课外题4二、一阶线性微分方程1.什么是一阶线性微分方程？1定义 含有 ，且 与 都是一次幂。通常 指 一阶微分方程中不能直接别离变量的类型2一般形式3齐次方程4非齐次方程例为函数*可别离变量 5-11即原方程5-1152.一阶线性

2、微分方程的通解公式推导1解齐次方程5 12，求出其通解注：推导过程*别离变量*两边积分*令*称齐次通解62再求原方程1的通解形式并作对照*局部别离变量* 为未知函数*按常规两边积分*不定积分性质2*再令*非齐次通解设 并积分，那么有即 5-1473确定非齐次通解中的特定函数对式5-14两边同时求导数，得把上式与5-14式代入原方程，得即*、项抵消8对 两边积分，就有：代入非齐次通解得即称为一阶线性微分方程的通解公式 5 - 159小结：一阶线性微分方程解的构造齐次通解非齐次特解简写：103.一阶线性微分方程的解法1公式法直接用通解公式5 - 152常数变易法A.求出齐次通解；B.将其中的任意常

3、数 改换成待定函数 ，并确定 ；C.构成非齐次通解。例1 求 的通解例2 求 的通解解解11第五章 作业P124P12552 一阶微分方程习题41，4，7 9， 可别离变量12 一阶微分方程习题讲解*选做1. *P125，4102. *412，作业题3. *课外题解解解13解：将方程 化为 *解法说明*别离变量两边积分得*只取一个积分常数作对数指数变换，*令故有通解14将初始条件 通解，就有：即所以特解为即*指数性质当 时，可简化为：返回15解：对方程别离变量得两边积分故方程通解为继续化简作指数变换返回16解：本例描述RC电路充电过程，根据回路电压及有关 定律有 其中 *欧姆定律，电流瞬变*电

4、容器性质故得微分方程*一阶可别离变量型17别离变量得两边积分得移项并令 得利用初始条件 ，代入通解可求得所以特解为图53 RC的电压变化规律曲线18图53 RC电压变化规律曲线返回191.微分方程 *求通解解： *别离变量*两边积分*常数暂写*其中注特解可以是隐函数或其他形式返回20求特解*别离变量*两边积分*作指数变量其中通解为将初始条件 时， 代入上式得所以特解为解：返回21解：*求通解*分解*可别离变量*两边积分*作指数变换其中得通解为返回22分析：2经过变形，可以用两边积分求通解；3变换原理，根据 。解：原方程变换为两边积分故通解为返回1此题属不能直接别离变量的微分方程；23例1 求

5、的通解解法一：据通解公式要领1熟记通解公式； 2注意指数项的积分运算； 3结果只有一个任意常数。24解法二：相应的齐次方程为别离变量得两边积分齐次通解为令 , 有求导数得1 2 325将2、3式代入方程1得注：如有、项相销即 ，再两边积分得，代入非齐次通解2得小结：常数变易法不用死记通解公式，但要熟悉推算 过程返回26一阶微分方程习题讲解解法一：用常数变易法原方程的齐次方程为别离变量得两边积分即齐次通解为求特解注： 27原方程通解形式为将 和 代入原方程有即 ，或积分得故原方程通解为代入初始条件 ，得所以特解为28方法二：用通解公式原方程变形为即其中代入公式可得非齐次通解返回29 2. 解微分

6、方程解：原方程化为 *关键步骤别离变量并积分通解将 代入通解可得所以原方程特解为返回30*求通解分析1此方程不可直接别离变量； 2假设化为 ，与一阶线性方程标准不符思路将变量 与函数 互换位置，寻找它们的关系式 既通解解：原方程化为 *函数即 一阶线性方程其中 可用通解公式31方法二：用常数变易法对应齐次方程为别离变量并积分所以 即 齐次通解设原方程通解为 1那么求导数有 2将1，2代入原方程有32化简得两边积分所以代入1式有 原方程通解小结： 与 位置可互易，通解可以用显函数或隐函数 表示。返回33人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培