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文档简介

1、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:称为一阶齐次线性方程.称为一阶非齐次线性方程.例如非齐次对应地一阶齐次线性方程的通解为(1) 使用别离变量法求对应地一阶齐次线性方程的通解求一阶非齐次线性微分方程通解的步骤一阶线性齐次方程(使用别离变量法)(2) 求一阶非齐次线性方程的通解非齐次方程通解形式与对应地齐次方程通解相比:常数变易法把对应地齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换其中的 u 为 x 的待定函数. 假设一阶非齐次线性微分方程的解为积分得一阶非齐次线性微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解 注1 . 注2 把对应地齐次线性方程通解中的任意常

2、数 c 变易为待定函数 u(x), 使其满足非齐次线性方程而求出的 u(x), 从而得到非齐次线性方程通解的方法称为 “常数变易法 是求解线性微分方程的一种常用的重要方法.解例解 将方程改写为 例 求方程的通解. 先求齐方程的通解 别离变量, 得 两端积分并整理, 得齐方程的通解 故原方程的通解为将 y与y代入方程, 并整理, 得两端积分, 得用常数变易法求非齐次线性方程的通解 y = (ex + c) (x+1)2 求方程 (sin2y + xcoty) dy = dx 的通解及满足初始条件 y|x=1 = / 2 的特解. 解 将方程改写为 所以由非齐次线性方程的通解公式, 得练习将初始条

3、件 x = 1, y = /2 代入上式, 得 c = 1故满足初始条件的特解为x = siny (1 - cosy)是关于函数 x=x(y) 的一阶线性方程！解变形为：第一步:先求解齐次方程对应齐次方程通解是练习第二步:用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程的解为代入方程并计算化简积分得通解伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.详细做法如下：二、贝努利方程求出通解后，将 代入即得代入上式即解例 例 求方程 y= xy + x3y2 的通解. 解 将方程改写为 所以由非齐次线性方程的通解公式, 得练习解较难的例子例 用适当的方程解以下微分方程:解所求通解为解别离变量法得所求通解为解代入原式别离变量法得所求通解为另解4. 设可微函数 f(x) 满足 解 为了求 f(x) 在等式两端同时求导, 得 求 f(x).这是关于未知函

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