山东大学《电磁学》课件08麦克斯韦电磁理论和电磁波

1、麦克斯韦电磁理论和电磁波第八章8.1 麦克斯韦电磁理论由库仑定律和场强叠加原理可得出静电场的两条重要定理：（1）电场的高斯定理（2）静电场的环路定理8.1.1 麦克斯韦电磁理论产生的历史背景8.1.2 位移电流由毕奥萨伐尔定律可得出恒定磁场的两条重要定理：（3）磁场的高斯定理（4）安培环路定理（5）法拉第电磁感应定律 麦克斯韦根据当时的实验资料和理论的分析，全面系统地考察了这些规律。麦克斯韦看出感生电动势现象预示着变化的磁场周围产生涡旋电场，因此在普遍情形下电场的环路定理应是：静电场的环路定理是它的一个特例。 没有发现电场的高斯定理和磁场的高斯定理有什么不合理的地方，麦克斯韦假定它们在普遍情形

2、下应该成立。然而麦克斯韦在分析了安培环路定理后，发现将它应用到非恒定情形时遇到了矛盾。在恒定条件下，安培环路定理可写成 要想上式有意义，必须穿过以L为边界任意曲面的传导电流都相等。具体地说，如果以L为边界取两个不同的曲面 和 ，则应有 但在非恒定情形下，上式不成立。最突出的例子是电容器的充放电电路。如果取 与导线相交， 穿过电容器两极板之间，则有因此，在非恒定的情况下，前面给出的安培环路定理不再适用。 在非恒定情况下电流的连续原理给出按高斯定理：因此可得出 这个量永远是连续的，只要边界L相同，它在不同曲面 上的面积分相等。令代表通过某一曲面的电位移通量则有麦克斯韦把 这个量叫做位移电流(dis

3、placement current)， 是位移电流密度。传导电流 与位移电流合在一起称为全电流。全电流在任何情况下都是连续的。由于全电流具有连续性在非恒定情况下，应该用它来代替磁场环路定理右端的传导电流，即：以上便是麦克斯韦的位移电流假说。在电介质中 位移电流为（1）式右端第二项是由极化电荷的运动引起的电流。(1)式右端第一项是与电场的时间变化率 相联系的。在真空中 ，在位移电流中就只剩下这一项了。所以这项是位移电流的基本组成部分，但它却与“电荷的流动”无关，它本质上是变化着的电场。麦克斯韦位移电流假说的中心思想是，变化着的电场激发涡旋磁场。8.1.3 麦克斯韦方程组在普遍情况下电磁场必须满足

4、的方程组： 一般情况下，式中有关各量是空间坐标和时间的函数 这就是麦克斯韦方程组(Maxwell equations)的积分形式，在实际应用中，更重要的是麦克斯韦方程组的微分形式。 首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，设电荷的体密度为 ，则高斯定理可写成式中V是高斯面S所包围的体积 利用矢量分析中的高斯定理可把上式左端的面积分化为体积分：上式对任何体积V都成立，被积函数本身应相等，故得这就是高斯定理的微分形式。 对于安培环路定理，假定传导电流是体分布的，其密度为 ，则有利用斯托克斯定理(Stokes theorem)，把上式左端的线积分化为面积分：因为上式的积分范围可以任意，被

5、积函数本身必须相等，故得麦克斯韦方程组中其他两个方程的微分形式都可按此法推出，最后得到下列四式：以上是麦克斯韦方程组的微分形式。通常所说的麦克斯韦方程组，大都指它的微分形式。 散度(divergence)旋度(curl)() 在介质内，还需补充三个描述介质性质的方程式，对于各向同性线性介质来说，有：()麦克斯韦方程组()加上描述介质性质的方程组()，全面总结了电磁场的规律，是宏观电动力学的基本方程组，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场问题。LCR电路中的电容器充电后，电荷q满足的微分方程是在电阻R较小时，它的解具有阻尼振荡的形式：这里 ， 或8.2 电磁波 8.2.1电磁波的产生和传播 为了

6、产生持续的电磁振荡，必须把LCR电路（下面简称LC电路）接在电子管或晶体管上，组成振荡器，靠电路中的直流电源不断补给能量。 电磁波的产生首先要有适当的电源。任何LC振荡电路原则上都可以作为发射电磁波的振源，但要想有效地把电路中的电磁能发射出去，还必须具备以下条件： （1）频率必须够高。电磁波在单位时间内辐射的能量是与频率的四次方成正比的， 表明，要加大固有频率 ，必须减小电路中的L和C的值。 （2）电路必须开放。为了把电磁场和电磁能发射出去，必须把LC振荡电路加以改造，以便电磁场能够分散到空间里。 把LC振荡电路按图a、b、c、d的顺序逐步加以改造，使电容器的极板面积越来越小，间隔越来越大，而

7、自感线圈的匝数越来越少，这一方面可以使C和L的数值减小，以提高固有振荡频率 ；另一方面是电路越来越开放，使电场和磁场分布到空间中去。最后振荡电路完全演化为一根直导线（d），电流在其中往复振荡，两端出现正负交替的等量异号电荷。这样一个电路叫做振荡偶极子（偶极振子(dipole oscillator)），它已适合作为有效地发射电磁波的振源了。广播电台或电视台的天线都可以看成是这类偶极振子。bacd 电磁振荡能够在空间传播，就是靠两条（1）变化的磁场激发涡旋电场；（2）变化的电场（位移电流）激发涡旋磁场 在空间某处有一个电磁振源，在这里有交变的电流或电场，它在自己周围激发涡旋磁场，由于这磁场也是交变

8、的，它又在自己周围激发涡旋电场。交变的涡旋电场和涡旋磁场相互激发，闭合的电力线和磁感应线就像链条的环节一样一个个地套连下去，在空间传播开来，形成电磁波。需要媒介电磁波不 赫兹于1888年用类似上述的振荡偶极子产生了电磁波，他的实验在历史上第一次直接验证了电磁波的存在。 图a是赫兹的实验装置，当充电到一定程度间隙被火花击穿时，两段金属杆连成一条导电通路，这时它相当于一个振荡偶极子，在其中激起高频的振荡。感应圈以10-100Hz的频率一次一次地使火花间隙充电，但是由于能量不断辐射出去而损失，每次放电后引起的高频振荡衰减得很快。因此赫兹振子中产生的是一种间歇性的阻尼振荡（图b）。ab 振子发射出来的

9、电磁波可以用谐振器接收，如图a中的圆形铜环就是赫兹用过的一种谐振器，间隙的距离可利用螺旋做微小调节。将谐振器放在距振子一定的距离之外，适当地选择其方位，并使之与振子谐振。赫兹发现，在发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的间隙里也有火花跳过。他在实验中初次观察到电磁振荡在空间的传播。 赫兹利用这种实验装置还观察到振荡偶极子辐射的电磁波与由金属面反射回来的电磁波叠加而产生的驻波现象，并测定了波长，这就证实了振荡偶极子发射的确实是电磁波；他还证明这种电磁波与光波一样具有偏振性质，能产生折射、反射、干涉、衍射等现象。因此赫兹初步证实麦克斯韦电磁理论的预言，即电磁波的存在和光波本质上也是电磁波。当振子

10、中激起电磁振荡时，其中有交变电流，其两半所积累的电荷也正负交替变化。从距离较远的地方看来，振子相当于电偶极矩 做简谐变化的偶极子，故该振子称为偶极振子。8.2.2 偶极振子发射的电磁波偶极振子周围电场矢量 位于子午面内，磁场强度矢量 位于与赤道面平行的平面内，二者互相垂直。（1）在靠近振子中心的一个小范围内（即离振子中心点的距离 或与波长 具有同样数量级的范围内），电场的瞬时分布与一个静态偶极子的电场很相近，电场线的始末两端分别与偶极振子的正负电荷相连。把偶极振子简化为一对等量异号的点电荷围绕共同中心做相对简谐运动的模型。偶极振子附近电场线的变化（2）在离振源足够远的地方（ ），称之为波场区。

11、电场线都是闭合的，当距离r增大时，波面渐趋于球形，电场强度矢量 趋于切线方向，也就是说，在波场区内 垂直于矢径r。 无论在哪个区域里，磁感应线都是平行于赤道面内的一系列同心圆，故 同时与 、r垂直。每根环形磁感应线的半径都随时间不断向外扩散。电场线环和磁感应线环之所以会不断向外扩散，就是因为它们相互激发，相互感生之故。电磁波是传递电磁能的过程。单位时间内通过与传播方向垂直的单位截面的能量叫做能流密度。在波动过程中能流密度是随时间做周期性变化的，用S代表能流密度， 代表它的平均值。偶极振子发射的电磁波能流密度的一些理论计算结果：一组实验：自学8.2.3 带电粒子加速运动的电磁辐射（自学）8.2.

12、4 电磁波的性质在远离波源的自由空间中传播的电磁波可近似看成平面波(plane electromagnetic wave)。所谓自由空间是空间既没有自由电荷，也没有传导电流，且空间无限大，即不考虑边界的影响。空间可以是真空，也可以充满均匀介质。自由空间内传播的平面电磁波的性质可归纳为以下几点：电磁波的这些性质可由麦克斯韦方程组一一导出。自由空间的麦克斯韦方程组可写为把它们在直角坐标系中写成分量形式：xyzxyz设平面波沿z轴正向传播，则波面垂直z轴，在波面内的相位相同，即相位与x、y变量无关，假设振幅也与x、y无关，上式中所有对x和y的偏微商全等于0，于是，Z，Z四式简化为这表明电场矢量和磁场

13、矢量沿波传播方向的分量 和 （称之为纵分量）是与任何时空变量无关的常量，它们与这里考虑的电磁波无关，可以假定 。从这里就得到有关电磁波的第一个重要特性，即它是横波。其余四式简化后给出电、磁矢量横分量满足的方程式：xyxy如果取x轴沿E矢量的方向，则E只剩下 一个分量，而 。这样一来上列式中的x ，y两式给出即 分量也是一个与时空变量无关的常量，可以设它为0，即 ，于是H矢量就只剩下一个 分量了。由此可见若E矢量沿x方向，H矢量就沿y方向，它们彼此垂直。从这里得到电磁波的另一重要特性，即其中电场矢量和磁场矢量彼此垂直。得到如下的物理图像，在电磁波中电场矢量E、磁场矢量H和传播方向 三者两两垂直。

14、最后只剩下y ，x两个方程式了，略去下标x、y，得1为了解这一联立方程，将一个式子对z取偏微商，另一式子对t取偏微商，便可把一个场变量消去。消去H的方程为2同理，消去E的方程式为3这类偏微分方程叫做波动方程。把E和H设成沿z方向传播的简谐波，它们可用如下复数形式来表示：其中 和 是角频率和波数，它们与周期T和波长 的关系为4波的传播速度（相速）为4式中的复振幅 和 分别为 分别是E、H的振幅和初相位。现将试探解4式分别代入波动方程2，3式，即可看出，只要 和 满足如下关系：4式即可满足2，3式。可知波速将4式带入1式，可以得到复振幅之间的关系：由此可得：因为这里是按右旋坐标系来标定E、H、k三

15、个矢量的取向的， 意味着E和H永远同号，即在任何时刻、任何地点，三个矢量都构成右旋系8.2.5 光的电磁理论 麦克斯韦得出这样的结论：光是一种电磁波，c就是光在真空中的传播速度。在介质中的电磁波速：光在透明介质里面的传播速度这里n为折射率如果光是电磁波的话，则有对于非铁磁质， 从而8.2.6 电磁波谱(spectrum of electromagnetic wave) 自从赫兹应用电磁振荡的方法产生电磁波，并证明电磁波的性质与光波的性质相同以后，人们又陆续发现了X射线和放射性辐射中的 射线都是电磁波。这些电磁波本质上完全相同，只是频率或波长有很大差别。我们可以按照波长或频率的顺序把这些电磁波排

16、列起来，这就是所谓电磁波谱。 习惯上常用真空中的波长作为电磁波谱的标度，在真空中电磁波的波长 与频率 成反比： 8.3 电磁场的能流密度与动量在非恒定情况下，电磁能的变化率为8.3.1 电磁场的能量原理和能流密度矢量在空间取一任意体积V，设其表面为，在此体积内的电磁能为利用麦克斯韦方程组，利用矢量场论的高斯定理最后得到1利用附录E中的式（E.28），则有现在来分析1式的物理意义。先看右端第二项。有非静电力K的情况下欧姆定律的微分形式为于是1式右端第二项的被积函数变为为了看清楚上式中各项的物理意义，可取V为一个小电流管，设其截面积和长度分别为和l，于是上式右端第一项是单位时间释放出来的焦耳热，第

17、二项则是单位时间电源做的功。对于任何体积V,1式右端第二项体积分都代表此体积内单位时间释放的焦耳热Q与单位时间非静电力做的功A之差，即现在看1式右端第一项面积分，引入一个新的矢量S，其定义如下：它叫做坡印廷矢量。于是1式可写为2上式表明，在体积V内单位时间增加的电磁能 等于此体积内单位时间电源做的功A减去焦耳损耗Q和坡印廷矢量的面积分。从能量守恒的角度看来，这面积分应代表单位时间从体积V的表面流出的电磁能量（这个叫做电磁能流），而坡印廷矢量 方向代表电磁能传递的方向，其大小代表单位时间内流过与之垂直的单位面积的电磁能量。S就是电磁能流密度矢量。根据电磁波的E、H、k构成右旋系的性质可以看出，电