大学物理+热学2

1、热学 电子教案(分子运动论部分参照了陈信义编的Word版内容） 大学物理1第二章 气体分子运动论 (Kinetic theory of gases) 2.1 理想气体的压强与温度 2.2 能量均分定理 2.3 麦克斯韦速率分布律 2.4 麦克斯韦速率分布律的实验验证 2.5 玻耳兹曼分布律 2.6 实际气体等温线 2.7 范德瓦尔斯方程 2.8 气体分子的平均自由程 2.9 输运过程2 2.1 理想气体的压强与温度本节是典型的微观研究方法。 一般气体分子热运动的概念： 分子的密度 31019 个分子/cm3 = 3千亿个亿； 分子之间有一定的间隙，有一定的作用力； 分子热运动的平均速度约 v

2、= 500m/s ； 分子的平均碰撞次数约 z = 1010 次/秒 。TV:布朗运动.一. 微观模型二理想气体压强公式的推导三理想气体的温度和分子平均平动动能3一. 微观模型 1. 对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度0)vx2= ni vxi2inP=dIdt dA = nm vx2 = 13nm v223 n( m v2 )=12= 23n t思考：推导过程中是否应考虑小柱体内，会有速度为ivr的分子被碰撞出来而未打到dA面上?这里的压强只是统计概念8三理想气体的温度和分子平均平动动能P = n kT t =32kT平均平动动能只与温度有关理想气体温标或热

3、力学温标温度是统计概念，只能用于大量分子，温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。方均根速率 v2= m3kT3RT=例.在0oC时，H2分子smv/18361002.2273 31.8332=-O2分子smv/4611032273 31.8332=-9 2.2 能量均分定理研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型要修改，因为分子有平动动能，还有转动动能，振动动能。自由度：确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。N个 原子组成的分子 总自由度= 3N，其中分子整体平动自由度 =3 ，整体转动自由度= 3若 N 个原子都在一条直线，整体转动自由度=2 N 个原子振动自由度 = 3

4、N - 6，直线型分子振动自由度= 3N - 5能量均分定理：由经典统计力学描述的气体在绝对温度 T 时 处于平衡，其能量的每个独立平方项的平均 值等于 kT/2。10由理想气体模型单原子分子： 121212E = mvx2 + mvy2 + mvz2 12平均热能 = 3 kT 每个平动自由度分配平均能12 kT 刚性双原子分子除平动能，还有转动能：1212E转动 = IX x2 + IY y2 z每个转动自由度分配平均能12 kT 非刚性双原子分子除平动能、转动能，还有振动能：1212E振动 = r 2 + kr 2 每个振动自由度分配平均能 2 倍12 kT 振动自由度 = 111设平动

5、自由度 t ，转动自由度 r，振动自由度 v，平均总动能：K=（t + r +2 v） 12 kT 刚性双原子分子K=52 kT 单原子分子 K=32 kT 非刚性双原子分子K=72 kT 理想气体内能E = N K=（t + r +2 v） N2 kT = （t + r +2 v） 2 RT 理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。12 2.3 麦克斯韦速率分布律单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为

6、多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。设总分子数N，速率区间 v v+dv，该速率区间内分子数 dNv则dNvN= f(v)dv速率分布函数速率 v 附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。显然 f(v)dv=1 0归一化条件13麦克斯韦速率分布函数f(v)= 4 m2 kT3/2v2e -m v /2kT2f(v)f(vp)vvpvv+dv面积= dNVN最概然速率 vpf (v) = 0vp =2kTm=2RT14f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，速率大的分子数越多15不要问速率刚好等于某一值的分子数多少，没有意义。平均速率 viNiN =

7、vdNv/N = v f(v)dv0v =v =8kT m=8RT 方均根速率 v2iNiN = v2dNv/N = v2 f(v)dv0v2 =v2 = 3kT/mv2 =3kTm=3RT16麦克斯韦速度分布函数速度 v （vx ，vy ，vz）设总分子数N，速度分量区间 vx vx+dvx ，该速度分量区间内分子数 dNvxdNvxN= g(vx)dvx速度分量分布函数g(vx)=m2 kT1/2e -m v /2kT2x同理对 y、z 分量 g(vx)dvx=1 +- 17既，区间 v v + dv ，分子数dNv速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+d

8、vzdNvN= g( v ) dv =g(vx) g(vy) g(vz) dvx dvydvzg( v )=m2 kT3/2 e - m v /2kT2平均速度 vixNiN = vxdNvx/N = vx g(vx)dvx = 0+-vx =同理对 y、z 分量，故平均速度为零。18 2.4 麦克斯韦速率分布律的实验验证OD蒸汽源检测器R抽气抽气Lv=rRLlv =L给定 v =v = r lv小孔充分小，改变，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布19从小孔出射的气体分子数目单位时间内打到单位面积上的分子数目（分子数密度n） 61nv速率在 v v+dv 的分子数目泻流的速率分布率v dtd

9、Ax或 vdtv(v)dv 61 f(v)dv nv (v) v3 e - m v /2kT 2严格推导速度在 v v+dv ，斜柱体内的分子数目 g(v)dv n dA dt vx 20只有vx0的才打到墙壁 (v)dv = n g(vx) vx dvx=n =0+kT2 m=41nv压强P= 2mvx(v)dv = n 2mg(vx) vx2 dvx 0+= n mg(vx) vx2 dvx=nm vx2 = -+31nm v2(v)dv = n g(v) vx dv 以上推导用到 g(vy)dvy= +- g(vz)dvz=1 +- 21 2.5 玻耳兹曼分布律假如气体分子有势能 Ep

10、= Ep( x，y，z )， E = Ep+ Ek玻耳兹曼推广：气体分子速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ， 位置在区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz 分子数目为在麦克斯韦速度分布率中，有一因子e - m v /2kT 2e -E /kT k 即dNe -E /kT dvx dvy dvz dx dy dz为准确描述玻耳兹曼统计，引入一概念 - 微观状态22微观状态：一气体分子处于速度区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ，位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz， 称该分子处于一种微观状态

11、， dvx dvy dvz dxdydz 所限 定的区域称为状态区间。玻耳兹曼统计：温度T 的平衡状态下，任何系统的微观粒子按 状态的分布，即在某一状态区间的粒子数与该 状态区间的一个粒子的能量 E有关，而且与 e -E /kT 成正比。玻耳兹曼因子其它情形，如原子处于不同能级的原子数目E0E3E2E1 ni e -E /kTi23Ek =21m（vx2+ vy2+ vz2）代入上式，归一化分子数 dN 处于位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dzdNe -E /kT dx dy dzpdNdx dy dz=C e -E /kT p令 Ep =0 处 气体密度 n0 n = n0 e

12、 -E /kT= n0 e - mgh /kT= n0 e - gh /RTp气体密度随高度变化重力场中的气体分子按位置分布dNe -（E +E ） /kT dvx dvy dvz dx dy dzkp24恒温气压公式（高度计）设温度不随高度变化 P = P0 e - gh /RT根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。25 2.6 实际气体等温线在非常温或非常压的情况下，气体就不能看成理想气体了。v（10-3 l /mol）CO2等温线液汽液共存汽气P（atm）95.50455072.3KABC48.1 OC31.1 OC21 OC13OCVP理想气体2

13、6饱和蒸汽压（汽液共存时的压强）与体积无关临界点以下汽体可等温压缩液化，以上气体不能等温压缩液化 实际气体的等温线可以分成四个区域:汽态区(能液化)，汽液共存区，液态区，气态区(不能液化)。例. 设P0=1 atm.恒压下加热水，起始状态为a点。ab: P = P0 不变，t 增加，直到到达 t =1000C的等温线上的b点。 这时液体中有小汽泡出现（汽化）。27再继续加热，液体中有大量汽泡产生-沸腾。但温度仍是t=1000C，它就是1大气压下水的沸点。bc: 继续加热，水与水汽共存，温度保持不变，水吸收汽化热，直到全部变为水蒸气。cd: 继续加热，水蒸气的温度升高。如果在压强 P P0 的条

14、件下加热水，因为饱和蒸汽压比较小，水的沸点也比较小，水在不到1000C的条件下保持沸腾状态（比如900C），温度上不去，饭就煮不熟。用高压锅制造一个局部高压，沸点就提高了。28 2.7 范德瓦尔斯方程实际气体要考虑分子大小和分子之间的相互作用两个分子之间的相互作用势r0 称作分子半径 10 -10 m平衡位置s 有效作用距离 10-9m分子“互不穿透性”rV(r)2r0s29分子为刚性球，气体分子本身占有体积 ，容器容积应有修正一摩尔气体P =v-bRT理论上 b 约为分子本身体积的 4 倍估算 b 值 10 -6 m3通常 b 可忽略，但压强增大，容积与 b 可比拟时，b 的修正就必须了。

15、实际 b 值要随压强变化而变化。30分子间引力引起的修正ss器壁附近分子受一指向内的引力，降低气体对器壁的压力，称为内压强。器壁分子对气体分子的引力，增大气体分子的冲量，加大对器壁的压强，但同时，气体分子对器壁分子的引力减少对器壁的压强，这两个量刚好互相抵消。P =v-bRT- Pi31内压强与器壁附近吸引气体分子的气体密度成正比，同时与在器壁附近被吸引气体分子的气体密度成正比。Pi n2av2Pi =P =v-bRTav2-(P + av2)( v - b ) = RT质量为 M 的气体(P + aV2)( V - b ) = RT2M2MM上两式就是范德瓦耳斯方程对氮气，常温和压强低于 5

16、107 Pa范围a = 0.84 105 Pa l2/mol b = 0.0305 l/mol1v232v范德瓦耳斯等温线液汽液共存汽气PKABCFEEFCF 过热液体遇汽化核心 - 汽化气泡室BC 虚线实际气体等面积原理 EF 实际不可实现BE 过饱和蒸汽遇凝结核心 - 液化云室人工降雨33 2.8 气体分子的平均自由程气体分子自由程线度 10-8m一个分子连续两次碰撞之间经历的平均 自由路程叫平均自由程 一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率 Z单位时间内分子经历的平均距离 v ，平均碰撞 Z 次 =Zv34平均碰撞频率 Z设分子 A 以相对平均速率 u 运动，其它分子可设为静止

17、运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞该圆柱体的面积 就叫 碰撞截面 = d2Addduu35单位时间内分子 A 走 u ，相应的圆柱体体积为 u ， 则Z = n u 统计理论可计算 u= 2 vZ = 2 d2 v n平均自由程 =Zv= 2 d2 n1= 2 d2 PkT对空气分子 d 3.5 10 -10 m标准状态下 Z 6.5 10 9s ， 6.9 10 -8 m 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。36u = v - v平方u = v + v - 2 v v222取平均u = v + v - 2 v v 2 22各个方向随

18、机运动，故为零u = v + v 222相等u = 2 v22设 均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式 u= 2 v37 2.9 输运过程最简单的非平衡态问题：不受外界干扰时，系统自发地从非平衡态向物理性质均匀的平衡态过渡过程 - 输运过程。系统各部分的物理性质，如流速、温度或密度不均匀时，系统处于非平衡态。非平衡态问题是至今没有完全解决的问题，理论只能处理一部分，另一部分问题还在研究中。介绍三种输运过程的基本规律：内摩擦热传导扩散38内摩擦AB现象：A盘自由，B盘由电机带动而转动，慢慢A盘也跟着转动起来。解释：B盘转动因摩擦作用力带动了周围的空气层，这层又带动邻近层，直到带动A盘。这种相邻的流体之间因速度不同，引起的相互作用力称为内摩擦力，或粘滞力。x zu = u (z)dSdf df流速不均匀，沿 z 变化（或有梯度）不同流层之间有粘滞力39设，dS 的上层面上流体对下层面上流体的粘滞力为 df，反作用为 df ，这一对力满足牛顿第三定律。实验测得df = dzduz=z0dS 称为粘滞系数20 oC 时，水为 1.005 10-3 Pa s空气为 1.71 10-7 Pa s流速大的流层带动流速小的流层，流速小的流层后拖流速大的流层。用分子运动论应该可以从微观推导出上面公式。40微观上，这种粘滞力是动量传递的结果下层 平均自由程 l 的区域，单位时间通