泰勒公式和泰勒级数学习教案

1、会计学1泰勒公式(gngsh)和泰勒级数第一页，共24页。注 : 常用(chn yn)已知和函数的幂级数(1)(1x1)(2)(3)(4)(5)第2页/共24页第二页，共24页。3二、麦克劳林(Maclaurin)公式(gngsh)三、泰勒(ti l)级数一、泰勒(ti l)公式的建立7.6 泰勒(Taylor)公式与泰勒级数第3页/共24页第三页，共24页。一次多项式在微分(wi fn)的应用中有近似计算公式:若 f (x0)存在(cnzi), 则在 x0点附近有f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0)f (x) f(x0) + f (x0) (xx0)+ o(xx0)需要解

2、决(jiju)的问题如何提高精度?如何估计误差?不足: 1. 精确度不高;2. 误差不能定量的估计.希望: 在x0点附近, 用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f (x) 一、泰勒公式第4页/共24页第四页，共24页。猜想(cixing)2 若有相同(xin tn)的切线3 若弯曲方向(fngxing)相同近似程度越来越好 n次多项式系数的确定 1 若在x0点相交Pn(x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x0)y=f(x)假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)y=Pn (x)xoyx0第5页/共

3、24页第五页，共24页。即有Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假设(jish) Pn(k)(x0)= f (k)(x0)Pn (n) (x) =n! an Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0 = f(x0),2a2=f (x0),n!an=f(n)(x0), k=0, 1, 2, 3, , n令x = x0得a1=f(x0),a0 = f(x0),a1=f(x0),第6页/共24页第六页，共24页。k=0, 1, 2, 3, , n代入P

4、n(x)中得Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + + (xx0)nPn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n称为(chn wi)函数 f (x)在x0处的泰勒多项式.k=0, 1, 2, 3, , n称为(chn wi)泰勒系数f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .第7页/共24页第七页，共24页。其中(qzhng)定理1 (泰勒中值定理) 若函数f(x)在x0点的某邻域(ln y)UR (x0)内具有直到n+1阶连续导数, 则当x取UR (x0)内任何值时, f (x)可按(xx0)的方幂展开为f (x)=f(x0)+f

5、(x0)(xx0)+( 在x0与x之间)+Rn(x) 公式(1)称为(chn wi)函数 f (x)在x0处的泰勒公式.(1) Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数k=0, 1, 2, , n是唯一的.第8页/共24页第八页，共24页。设 f (x)= f(x0)+f (x0)(xx0)+k 证由于f(x)在UR (x0)内具有(jyu)n+1阶连续导数,作辅助(fzh)函数(t)=f(x)f(t)+f (t)(xt)+(x)=0=(x0),不妨(bfng)设 x0 x时同理可证,第10页/共24页第十页，共24页。其中(qzhng)f (x)=f(0)+f (0) x+1

6、 当x0=0时, ( 在0与x之间)或令 = x, 0 1, 则+Rn(x) .称为(chn wi)函数 f (x)的麦克劳林(Maclaurin)公式.2 f (x) f(x0)+f (x0)(xx0)+其误差(wch)为: Rn(x) 第11页/共24页第十一页，共24页。解例1* 求f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒(ti l)公式.因为(yn wi) f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, 所以(suy) f (n)(0)=e 0=1, n=1, 2, 3, 于是 f(x)=e x 在x=0的n阶泰勒公式为:其中0 1. 第12页/共24页第十二页，共24页。定义 如果函数

7、f (x)在x0的某邻域内是存在(cnzi)任意阶导数,则幂级数称为函数f (x)在x0处的泰勒(ti l)级数.= f(x0) + f (x0)(xx0)二、泰勒(ti l)级数称为函数 f (x)的麦克劳林级数.问题: 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.第13页/共24页第十三页，共24页。解例2* 求 f(x)=sinx 在x=0的泰勒(ti l)级数.当n=2k时, f (2k)(0)=sin(k )=0, k=0,1,2,当n=2k+1时, f (2k+1)(0)=sin (k + ) = (1)k , 得因=0, 于是(ysh) R=+,定理2 f(x)在x0点的泰勒(

8、ti l)级数在UR (x0)内收敛于f (x) 在UR (x0) 内, Rn(x)0.第14页/共24页第十四页，共24页。=0,所以(suy) sin x = 0 其中(qzhng)收敛(shulin)区间为: (, +). x(, +).即第15页/共24页第十五页，共24页。麦克劳林多项式逼近(bjn)sin xy=sinxy=x第16页/共24页第十六页，共24页。7.7 初等(chdng)函数的幂级数展开式一、直接法(泰勒(ti l)级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式第17页/共24页第十七页，共24页。步骤(bzhu):(1) 求 f (n)(x), n=0,1,2,

9、(4) 讨论(toln)?并求出其收敛(shulin)区间.(3) 写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数若为0, 则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x); 若不为0, 则幂级数虽然收敛, 但它的和不是 f(x).一、直接法(泰勒级数法)(2) 计算 an= f (n)(x0), n=0,1,2, 第18页/共24页第十八页，共24页。解例1 将 f(x)=e x 在展开(zhn ki)成 x的幂级数.因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是(ysh) f(x)=e x 在x=0的麦克劳林级数为:其中(qzhng)0

10、1=0, 所以 e x =1+x+x+.收敛区间为: (, +)第19页/共24页第十九页，共24页。二项展开式+ +nxn1+x n(1+x)n=1+nx+(1+x) = 1+x+?第20页/共24页第二十页，共24页。解例2 将 f(x)=(1+x ) 展开(zhn ki)成 x的幂级数.n=0,1,2, f (n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,得(1+x)(n) =(1)(2)(n+1)(1+x)( n) ,注意(zh y): 当x=1时, 级数的收敛性与 的取值有关. 1, 收敛(shulin)区间为: (1, 1).1 0, 收敛区间为: 1, 1.所以(1+x) 的泰勒级数的收敛区间是(1, 1),第21页/共24页第二十一页，共24页。x(1, 1)(1+x)=1+x+牛顿(ni dn)二项式展开式当 = 1时,x (1, 1