信息技术2.0微能力：中学八年级数学上（第十三单元）定理与证明-中小学作业设计大赛获奖优秀作品模板-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学八年级数学上（第十三单元）定理与证明义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品1初中数学单元作业设计一、 单元信息基本 信息学科年级学期教材版本单元名称数学八年级第一学期沪科版三角形中的边角关 系、命题与证明单元组 织方式 自然单元 重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1三角形中边的关系第 13.1(P67-69)2三角形中角的关系第 13.1(P69-71)3三角形中几条重要的线段第 13.1(P71-73)4命题第 13.2(P75-77)5定理与证明第 13.2(P78-80)6三角形内角和定理第 13.

2、2(P80-82)7三角形的外角第 13.2(P82-83)二、单元分析(一) 课标要求1.理解三角形及其内角、外角、边、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形的稳定 性。2.会证明三角形中任意两边之和大于第三边,探索并证明三角形内角和定理和三角形外 角性质。3.通过具体实例,了解定义、命题、基本事实、定理、,推论的意义,会区分命题的条件 和结论,了解原命题及其逆命题的概念,会识别两个互逆的命题知道原命题成立，其逆 命题不一定成立。4.知道证明的意义和必要性知道证明要合乎逻辑,会综合法证明的格式，打好形式化证 明的基础。5.了解反例的作用知道利用反例可以判断一个命题是错误的。应2022版新课标

3、的要求，在“图形与几何”方面指出：利用图形描述和分析问题 的意识与习惯，能够感知各种图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；根据语 言描述画出相应的图形。利用图形探索解决问题的思路。并会用数学的眼光观察现实世界几何直观、空间观念与创新意识。2三 角 形中的边角关系 命 题 与 证 明三条边三个内角按角分概念分类按边分等腰三角形稳定性与三角形有关的线段三 角 形三角形的外角与三角形有关的角直角三角形概念命题语句题设结构结论由已知事项推出的事 项命 题 与 证 明定理概念真命题分类假命题概念反证法(二) 教材分析1.知识网络三角形的两边之和大于第三边 三角形的两边之差小于第三边三角形的内角和等于

4、180锐角三角形直角三角形钝角三角形三边不相等的三角形底和腰不相等的三角形 等边三角形高：三条高交于一点，该点叫垂心。中线：三条中线交于一点，该点叫重心。角平分线：三条角平分线交于一点，该点叫内心。三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180 .三角形的外角和等于360 .性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和。性质：直角三角形的两个锐角互余。判定：有两个锐角互余的三角形是直角三角形。可以作为判断已知事项题设成立时， 结论一定成立题设成立时，结 论不一定成立了解即可32.内容分析三角形是最简单的多边形,是研究其他图形的基础。本章是在学生已学过一些 三角形知识的基础上,进一步系统地研究它的

5、概念、分类、性质和应用。本章的另 一内容是形式逻辑训练的开始,让学生学习:命题的概念与结构,命题的真假能判断, 定理、推论、基本事实、定义和证明的意义以及简单证明。全章共分两部分:第一部分是“三角形中的边角关系”,主要内容是三角形的有关概念、分类、 三边关系和三角形内角和定理及其推论。第二部分是“命题与证明”教科书首先通过只凭剪拼的直观操作方法来说明 三角形内角和是180 。这个结论难以使人信服的,说明了推理证明的必要性接着 给出了命题、真命题、假命题的意义,说明命题由题设和结论两部分组成;介绍了 原命题的逆命题和反例的意义,及利用反例可以说明一个命题是假命题。在第二部分中,教科书先给出了基本

6、事实、定理、证明的概念,随后以“内错 角相等,两直线平行”等几个例子说明了什么是证明.通过例3至例5,让学生了解证 明的过程,熟悉推理过程和每步的依据，其中通过“三角形内角和定理”的证明,说明添加辅助线的作用,并了解证明一个文字表述的几何命题的完整过程。(三) 学情分析学生在小学阶段已学过一些三角形的知识。教学时,一方面要充分利用学生在小学学过的知识,又要不失时机地把他们在小学学过的偏重于感性认识的知识加以系统化在说理的过程中,让学生熟悉几何符号、几何图形和文字语言的运用。这个学段的学生模仿力强,思维更多地依赖具体直观的形象,教学时应充分利用 他们的这方面的特点在介绍新概念、讲授新知识时,要注

7、意从学生熟悉的事物入手, 通过观察、实验、猜想,再适当说理还要注意联系学生的生活实际,尽量地给学生提 供一些能够运用所学知识解决的实际问题,以增强学生对数学的兴趣。三、单元学习与作业目标1.理解三角形及其内角、外角、边、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形的稳定性。42.会证明三角形中任意两边之和大于第三边,探索并证明三角形内角和定理、三 角形外角性质。3.通过具体实例,了解定义、命题、基本事实、定理、,推论的意义,会区分命题 的条件和结论。了解原命题及其逆命题的概念,会识别两个互逆的命题知道原命题成立 其逆命题不一定成立。4.知道证明的意义和必要性知道证明要合乎逻辑,会综合法证明的格式，打

8、好形 式化证明的基础。5.了解反例的作用知道利用反例可以判断一个命题是错误的。四、单元作业设计思路分层设计作业。每课时均设计“基础性作业” (面向全体， 体现课标， 题 量 3-4大题， 要求学生必做) 和“发展性作业” (体现个性化， 探究性、实践性， 题量 2大题，要求学生有选择的完成) 。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时 (13.1.1 三角形中边的关系)作业 1 (基础性作业)1.作业内容(1) 设三角形三边之长分别为5，10，1-2a，则a的取值范围是_ 。(2) 下列说法：等腰三角形是等边三角形；三角形按边分可分为等腰三角 形和等边三角形；等腰三角形至少有两边相等。其中正确的

9、是_ (填序号).(3) 已知三角形的周长为15 cm，其中的两边长都等于第三边长的2倍，则这个 三角形的最长的边长为_。(4) 等腰三角形一边长是8，另一边长是4，则其周长是 _。52.时间要求 (15分钟以内)3.评价设计作业评价表评价指标等级备 注ABC答题的准确性A 等， 答案正确、过程正确。B 等， 答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确， 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等， 过程规范，答案正确。B 等， 过程不够规范、 完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等， 解法有新意和独到之处， 答案正确。B 等， 解法思路

10、有创新， 答案不完整或错误。C 等， 常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 ( 1) 题是考察了三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。要求学生具有一定的观察能力和数学思维能力； 第 (2) 题考察了三角形按边分的 分类； 第 (3) (4) 题 考察了学生对构成三角形的边的要求 ，要求学生对 本节知识的综合应用。5.作业答案(1) -7a-2 (2) (3) 6cm (4) 20作业 2 (发展性作业)1. 作业内容(1)已知A

11、BC的两边长分别为3和7，第三边的长是关于x的方程 =x+1的解， 求a的取值范围.(2) 周长为24，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？ (写出求解过 程)2.时间要求 ( 15 分钟)63.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A 等， 答案正确、过程正确。B 等， 答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确， 过 程错误、或无过程。答题的规范性A 等， 过程规范，答案正确。B 等， 过程不够规范、 完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等， 解法有新意和独到之处， 答案正确。B 等， 解法思路有创新， 答案

12、不完整或错误。C 等， 常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 ( 1) 题综合运用三角形边的性质和方程的综合应用，加深学生对三角形 边的性质的理解； 第 (2) 题三角形边的性质和三元方程的综合应用，加深对三角形 边的性质的理解，体会数学的应用价值。5.作业答案(5) 解关于x的方程=x+1，得 x=a-2.由题意得：7-3x7+3，即：4x10，4a-210，6a12.答：a的取值范围是6a12.(6) 解：设三角形的三边长分别为a，

13、b，c，且abc，所以a+b+c2c，即2c24，所以c23 (4) 80作业 2 (发展性作业)1.作业内容(5) 如图，在ABC中，点D是边BC上一点， 1=2， 3=4， BAC=120， 求DAC的度数.第6题图(6)如图， AOB=90 ，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是ACD的平分线，CE的 反向延长线与CDO的平分线交于点F.如图1，当OCD=50，求F的度数；如图2，当点C，D在射线OA，OB上任意移动时 (不与点O重合) ， F的大小是 否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出F的度数.222.时间要求 ( 10 分钟)3.评价设计作业评价表评价指标等级备注ABC答题

14、的准确性A 等， 答案正确、过程正确。B 等， 答案正确、过程有问题。C 等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确， 过程错误、或无过程。答题的规范性A 等， 过程规范，答案正确。B 等， 过程不够规范、 完整，答案正确。C 等， 过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A 等， 解法有新意和独到之处， 答案正确。B 等， 解法思路有创新， 答案不完整或错误。C 等， 常规解法，思路不清楚， 过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB 综合评价为 A 等； ABB、BBB、AAC 综合评 价为 B 等； 其余情况综合评价为 C 等。4.作业分析与设计意图作业第 ( 5) 题考察了三角形内角

15、和和外角的综合应用，发展学生直观想象和逻 辑思维；第 (6) 题考察三角形的高和角平分线的证明的综合应用，提 升 了 探 究 意 识 。5作业答案(5)解BAC=120， 2+3=60 1=2，3=4=1+2=22把代入得：32=60 ，即2=20 1=20 DAC=BAC- 1= 120- 20=100(6) 解：AOB=90 ， OCD=50， CDO=40 ， ACD=130CE是ACD的平分线，DF是CDO的平分线， ECD=65 ， CDF=20 ECD=F+CDF， F=45.不变化. AOB=90， CDO=90- OCD， ACD=180- OCD.CE是ACD的平分线，DF是

16、CDO的平分线 ECD=900CD， CDF=45-OCD. ECD=F+CDF， F=45.23六、单元质量检测作业(一) 单元质量检测作业内容第13章 单元质量检测作业一、选择题1.下列命题中的真命题是 ( )A.无理数的相反数是有理数 B.相等的角是对顶角C.内错角相等，两直线平行 D.若|a|=1，则a=12.ABC的三边的长一定不是 ( )A.5 cm,15 cm,17 cm B.3 cm,14 cm,13 cmC.2 cm,16 cm,18 cm D.4 cm,12 cm,12 cm3.在ABC中，若A+B- C=0，则ABC是 ( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

17、 D.等腰三角形4.如图，在ABC中，已知SABC :SACD=2：1，E是AB的中点，且ABC的面积为9cm2，则AED的面积为 ( )A.1 cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm HYPERLINK l _bookmark1 25.如图，BE平分CBD， EBD=55，则A+C= ( )A.55 B.70 C.100 D.1106.如图，ABC的面积为1.第1次操作：分别延长AB,BC，CA至点A，B，C，使 A1B=AB，B1C=BC，C1A= CA，顺次连接A1 ，B1 ，C1 ，得到A1B1C1.第2次操作：分别延 长A1B1 ，B1C1 ，C1A1 ，至点A2 ，B

18、2 ，C2 ，使A2B1=A1B1 ， B2C1=B1C1 ，C2A1=C1A1 ，顺次连接 A2 ，B2 ，C2 ，得到A2B2C2 按此规律，要使得到的三角形的面积 超过2021，经过的操作次数至少为 ( )A.4 B.5 C.6 D.7二、填空题 7.“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是_，结 论是 _。8.如图所示的折线图形中， += _ 。第8题 第9题9.如图，在ABC中，BD平分 ABC， AEBD.若ABC=30 ， C=50则CAE的度数为 _ 。2410、给出如下定义：点P是ABC内部一点，如果存在过点P的直线可以将ABC分 成面积相等的两部分，则称该点为ABC的

19、“中立点” ，下列四个结论：当点P在ABC的一条中线上时，该点为ABC的“中立点”；ABC的“中立点”的个数为有限个；ABC的“中立点”有无数个，但不是ABC内部所有的点；ABC内部所有的点都是ABC的“中立点”. 其中正确结论的序号是_。三、推理题：11.如图所示，在ABC中，D是BC让一点， 1=2， 3=4， BAC=63.求 1和DAC的度数.12.先把下列两个命题分别改写成“如果那么”的形式，再判断该命题 是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)一个角的补角一定是钝角.四、证明题13.如图，有三个论断：1=2；B=C；A=D.请你从中任

20、选两个 作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性.14.如图1,在ABC中，AD为BC边上的中线，ABD和 ADC的周长之差为2，且 AB与AC的和为14.(1) 求AB，AC的长；(2) 若BAC=90，E为AD的中点，如图，求出 CDE的面积.25五、简答题：15. (1)如图，求证： ABC=A+C+ADC;(2)如图，若A=52 ， C=20，BE，DE分别平分ABC和ADC，且两者交 于点E，求E的度数(二) 单元质量检测作业属性表序号类型对 应 单 元 作业目标对应学习水平难度来源完成时间了解理解应用1选择题3易自编45分钟2选择题2易自编3选择题1、2易自编4选

21、择题1、2易选编5选择题1、2、4中选编6选择题1、2、4较难选编7填空题3易自编8填空题1、2中选编9填空题1、 2、4易选编10填空题1、 3、4较难改编11推理题1、2易选编12推理题2、 5易自编13证明题3 、4易改编14证明题1、 4中选编15简答题1、2、4较难选编(三) 单元质量检测作业答案一、选择题1 、A 2 、C 3 、A 4 、C 5 、D二、填空题7 、两条直线平行于同一条直线；这两条直线平行10、三、推理题11、解：设1=2=x，则3=4=2x. 因为BAC=63，6、A8、859、25所以2+4=117 ，即x+2x=117，所以x=39；所以3=4=78，DAC

22、=180- 3- 4=24. 12、解： (1) 如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角互补，那么这两条 直线平行.是真命题.(2)如果一个角是另一个角的补角，那么这个角一定是钝角.是假命题； 如：设1=60 ， 2=120 ， 1 是2 的补角，但1 不是钝角.四、证明题13、已知： 1=2， B=C.求证： A=D. 证明： 1=CGD， 1=2， CGD=2.EC/BF. AEC=B.又B=C， AEC=CAB/CD A=D14 解： (1)AD是BC边上的中线，BD=CD,ABD的周长-ADC的周长= (AB+AD+ BD)- (AC+AD+CD)=AB-AC=2即AB-AC=2，又

23、AB+AC=14，+得.2AB=16，解得AB=8，AC=14-AB=6,AB和AC的长分别为：AB=8，AC=6(2) BAC=90，AB=8，AC=6，SABC=AB AC=86=24AD是BC边上的中线，E为AD的中点，SACD = SABC ，SCDE = SACDSCDE =SABC =24 = 615、简答题(1)证明：连接DB，延长DB到T. ABT=A+ADB, CBT=C+CDB， ABC=ABT+CBT=A+ADB+CDBC=A+ADC+ C(2)设DE交AB于点O.设ADO= ， OBE= ABC=A+ADC+C， = +36BE平分ABC，OBE=ABC=(A+ADC+

24、C)A+ADO=E+OBE,E=A+ADO- OBE,DE平分ADC， ADE=ADC，+E= +52即E=16知识备份（根据实际情况删减）概念被认为是儿童智力的基本组成部分，对基本概念的获得与儿童整体智力发展密切相关（Bruce, Bracken,1998），在数学领域亦是如此，儿童对数学概念的理解是进行数学问题解决和交流的前提和基础，例如，儿童理解定量的相关概念，如“多”、“少”、“很多”、“较少”可以让而儿童掌握量的比较并进行描述(Barner, Chow & Yang, 2009)；掌握空间概念能够让儿童对数轴上的数字关系以及空间物理对象之间的关系进行感知并交流和讨论(Ramani,

25、Zippert, Schweitzer, etal.,2014)，同时，早期儿童的数学学习是操作性的，但是这种操作是建立在对基本数学概念理解基础之上的，当儿童不能准确理解数学概念时，也无法掌握更进一步的数学内容(Barner, Chow & Yang, 2009)，因此，数学概念的理解是儿童进行数学交流的前提和保障。一、3-6 岁儿童数学概念理解能力的现状水平（一）3-6 岁儿童数学概念理解能力的整体 表现为了解 3-6 岁儿童在基本概念理解上的整体表现，对 433 名儿童在各个题项上的答题正确率进行统计，结果如表 5-2-1 所示：表 表 5-2-1 3-6 岁儿童在基本概念理解上的表现测试

26、项目 分量表题项总数 平均答对题数 1 项目通过率 2颜色 11 10 90.9%数字/计数 19 16 84.2%量/大小 13 10 76.9%比较 10 7 70%形状 20 15 75%基本概念理解 73 60 82.2%由表 5-2-1 可知，3-6 岁儿童在基本概念上理解上的整体表现较好，整体通过率为 82.2%。在各分量表上而言，儿童在颜色理解上的表现最优，通过率为90.9%，其次为数字和量通过率为 84.2%，76.9%，儿童在形状和比较上的表现稍微较弱，通过率仅为 75%和 70%。具体来说，儿童在颜色这一概念上的理解能力非常好，其中对黑色、白色、绿色、蓝色、黄色、粉色 6

27、中颜色的识别率最高，其正确率在 95%以上，其次为红色、紫色和橙色，正确率在 90%左右，再次为灰色，正确率为 82.4%，儿童在褐色理解的表现上不佳，正确率进位 79.7%。儿童在数字/计数上理解总正确率 84.2%，其中对 “数字 1,2,3,4”的理解识别理解率最高，正确率均在 95%左右；其次对 5-9 数字的理解正确率要高于数字10 以上的，但是“数字 9”和“数字 6”的正确率稍微偏低，在 85%左右；儿童对两位数的理解正确率要低于“个位数”，并且数字的增大，儿童的正确率降低，“数字 95”、“数字 41”、“数字 27”的理解正确率会显著低于其他数字，在70%左右。在图形计数方面

28、，随着量的增多，儿童的正确率下降，儿童对“一头熊”、“三朵花”的正确率要高于“六只鸭子”和“九只蜜蜂”，其中“九只蜜蜂”的正确率最低，为 75.1%。儿童在量/大小上的理解情况略低于数字/计数上的表现，总正确率为 76.9%，说明儿童已经能够掌握量、大小等概念。具体来说，儿童对最大、最小、最细、最长概念的理解情况要优于对最深、最浅、最密的理解。儿童在比较概念上的理解程度较差，在此项目上的通过率为 70%，具体来看，儿童对“配成一对”、“完全匹配”、“某物体最像”、“读的不是书”等概念的理解还存在一定的困难，尚不能从否定方面或者事物特征的某一方面做出选择和分辨差异。儿童对形状理解的正确率为 75

29、%，略优于对比较的理解。具体来说，除了对“菱形”、“斜线”、“曲线”、“角”这四个概念的图形辨认率比较低之外，儿童对二维图形的理解辨认能力要优于三维图形，其中二维图形中，“圆形”、“正方形”、“五角星”、“心形”、“三角形”、“长方形”的正确率最高，其次为“排成一队”、“排成一行”、“对号”、“椭圆形”。在三维图形中，儿童对“柱子”、“三棱锥”、“圆柱体”的理解水平要高于“立方体”、“圆锥体”。总体来说，Breaken 基本概念难度的设计是由易至难、循序渐进的，儿童回答正确题目的越少，所获得概念的难度就越低。因此，从上述结果表明，3-6 岁小班儿童在比较上的整体理解能力偏差，正确通过率仅为 5

30、0%，具体来说，儿童在“不一样”、“不同”、“不一样多”几个概念的理解能力略高，正确率在 60%以上，其次是“相似”、“一样大”、“一样”、“一对”，正确率均在50%左右，儿童在“完全匹配”、“读的不是书”、“两条船最像”等几个概念的理解上存在较大的困难，其正确率仅为 30%左右。小班儿童对形状理解的正确率为 65%，具体来说，小班儿童能够理解绝大多数的二维平面图形，例如在 “圆形、正方形、三角形、长方形、五角星、心形”上的正确率为 90%左右，但对“椭圆形”“菱形”的识别率不高。同时，在二维图形中，儿童对“斜线”、“曲线”、“角”等几个概念的理解还存在很大的困难，特别是“曲线”和“斜线”，儿

31、童的正确率仅为 20%左右。相对于平面图形来说，儿童对三维立体图形的理解能力稍微偏弱，但 50%上的儿童能够识别并正确识别“三棱锥”、“圆柱体”、“柱子”、“立方体”等几何形体，而对于“圆锥体”的理解存在困难。最后，小班儿童能够对一些形状用语做出理解和判断，例如对“排成一队”、“排成一行”、“对号”等正确率也较高。在颜色中，除了“褐色”和“灰色”的正确率在 80%以上，其余颜色正确率均在 90%以上，95%左右，因此，中班儿童已经能够数量理解并辨识各种颜色。在计数上，除了在“数字 95”的正确率为 69.3%之外，其他数字的识别以及对图片数字的计数的正确率都在 80%以上。在量的理解上，中班儿

32、童已经能够正确理解大小、粗细等概念，但在“水最浅”、“船最宽”、“网最密”上的正确率较低。在比较概念上，中班儿童理解能力稍微较弱，总正确率为 60%，具体来看，中班儿童能够基本理解“不一样、不同、不一样多”等三个比较概念，其正确率在 80%左右，但对于“相似、一样大”稍微较弱，通过的正确率在 70%左右，而在“一样、读的不是书、配成一对、两条船最像”不佳，其正确率在 60%左右。对于“完全匹配”这一概念的理解和掌握则存在困难，其正确率不足 50%。在形状上，除了“菱形”的正确率为 51.2%之外，中班儿童已经能够完全理解和掌握各种平面几何图形的名称和概念，其项目通过的正确率均为 90%以上，但

33、在二维空间概念上，对“斜线”、“曲线”、“角”这三个二维概念的理解和掌握上存在很大的困难，尤其“曲线”的正确率仅为 20%，“斜线”与“角”的正确率也不足 50%。在三维立体图形的概念中，儿童准确的理解“柱子”、“三棱锥”，其正确率为 80%以上，对“立方体”、“圆柱体”的理解偏差一点，在 60%左右，还不能较好的理解“圆锥体”的概念，其正确率不足 50%。数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。3-6 岁的学前儿童，通过日常生活经验，他们对数字、模式、形状、数量、大小等逐渐形成了一套相对复杂的数学概念，而这些数学概念正是日后正式数学学习的基

34、础。因此，对数学概念的理解与掌握则成为数学学习的首要任务，也是进行数学交流的前提和保障。儿童在不同概念维度上的表现并不一致，首先，从儿童整体概念的理解水平上看，颜色的理解能力显著高于其他概念，这是由于颜色概念是人类发展较早的概念之一，已有研究表明，4 个 月 的 婴 儿 已 经 能 够 分 辨 红 黄 蓝 绿 四 种 颜 色 (Bornstein, Kessen &Weiskopf,1976)，因此在颜色概念的理解和表达上会显著高于其他内容；其次是数字/计数概念，赵振国（2008）通过对 3-6 岁儿童数感能力发展研究得出，在数感的六个组成部分中，数符号的辨认和比较是表现最优的(赵振国,200

35、8)，这与本研究的结果相一致；再次是量和形状概念，早期儿童的数学内容是与关于数、量、形分不开的，而量与形的相关概念也是最早起源于日常生活(黄瑾,2016)，因此，儿童也较为能够掌握相应的概念。在五种基本概念中，儿童对比较的理解能力相对较弱，一方面是因为，比较的概念是与量的相对性联系在一起的，而量的相对性对学前儿童来说是较为抽象的概念(黄瑾,2016)，所以儿童还不能准确的判断和了解，另一方面，比较概念的传递性，是通过较为抽象的专业词汇实现的，例如“哪两块拼图是完全匹配的、哪两只鞋子能够配成一对、哪两只动物是相似的”，而儿童的词汇水平也是影响理解的重要因素之一(闫梦格,李虹,李宜逊等,2020)

36、，因此，虽然有相应的图片帮助儿童去呈现相应的概念，但是由于对专业性词汇的理解不够，也就表现出在比较概念上的相对较弱。总之，3-6 岁儿童在不同概念体系之间的理解能力并不均衡，在颜色概念理解上的表现最优，其次为数字/计数、量/大小、形状，比较概念的理解水平最低。形状中仅能理解二维平面图形，例如“圆形、三角形、正方形”等，对三维立体图形的理解中存在较大困难；在比较中，仅能理解“不一样、不同”等单维层次概念的比较，对数学化、逻辑化程度较高的概念，如“完全匹配、读的不是书”还不能理解。中班儿童在数字/计数上的表现较小班儿童有了显著提升，例如，在数字概念上，除了较大数字理解的正确率较低之外（例如“95”

37、、“53”、“41”），已经能够完全理解数字和符号；但是在比较和量/大小概念上的表现依然不佳。而到了大班，对数量概念的理解正确率为 100%，其他各维度的概念的理解正确率也都在 90%左右。从儿童在概念具体内容上的整体表现，以及不同年龄班在各个具体概念内容上的表现来看，概念的“数学专业化”、“概念的逻辑化”程度是影响儿童概念理解的主要因素，例如，数学专业化的表现为数量上的增加“数字95,47”，概念逻辑性表现为“哪两个盒子是不一样的？”等，这一结果也从数学概念的角度解释了，专业的数学词汇、数学概念成为儿童数学学习的困难和挑战的原因之一（Azlina, Siti & Roziati.,2004）

38、。除了“概念的抽象程度”影响之外，概念的表现形式与儿童对概念的熟悉程度，也是影响儿童理解能力的重要因素之一，例如，在数量概念上，无论哪个年龄班，儿童对“一头熊、三朵花”的理解正确率高达 95%以上，但即使到了大班，也有儿童在“六只鸭子、九只蜜蜂”的点数上面出现错误，这一结果也说明了物品的数量与排列方式也是儿童数字概念的影响因素之一(郭龙丹,黄瑾,2016)。此外，儿童对概念的熟悉程度也是影响其理解正确率的主要原因，例如，在量的概念理解上，无论是哪个年龄段儿童都能够准确理解 “最大、最小、最长、最短、最宽、最细”等几个概念，但是对“深浅、疏密”理解正确率较低，这可能是由于儿童的具体形象性的思维方

39、式有关，一方面，儿童大小、长短、宽细是儿童能够直觉感知到的物体属性(黄瑾,2016)，而深浅相对于具体的物品来说，更具抽象性，因此儿童对其的理解能力就相对较弱；另一方面，儿童早期数学认知的学习经验最早是来源于日常生活的(周欣,赵振国,陈淑华,2009)，儿童对物品的熟悉程度也是儿童概念理解的重要因素之一，而深浅、疏密并不是熟悉物品的主要属性，因此对其概念的理解能力也偏弱。关于不同年龄班儿童在概念理解上的整体表现的结果显示，小班儿童对基本概念的理解情况偏低，整体通过率未达 70%，其中在比较概念的通过率仅为 50%；到了中班，儿童对基本概念的理解能力显著提升，整体通过率达到了80%，这种提升尤其

40、体现在数字/计数方面和形状方面，除了对比较概念理解能力相对较低之外，其他概念的正确率均在 70%上；到了大班，儿童的整体通过率高达 93.1%，说明大班儿童已经能够完全理解各个维度上的基本概念。从整个学前阶段数学概念发展水平来看，小班儿童整体略低，中班儿童有了显著提升，到了大班已经能够完全掌握五个维度上的基本概念，各个年龄段儿童的发展水平呈现显著梯度提升，方差分析的也结果显示，不同年龄班儿童在各个概念理解上均存在显著差异，且年龄对各个维度上效应值均为 0.4 左右（影响程度为中等），这一结果一方面说明，概念的理解显著受到儿童身心成熟水平的影响，整个学前阶段儿童的概念发展是由低到高，梯度发展的，并且到了大班能够完全掌握，另一方面也表明，到了大班或者学前班，对概念的理解已经不是影响儿童数学表现以及数学交流的主要因素，儿童已经在基本概念理解上为进一步的数学学习奠定了一定的基础。这种整体水平上的差异性、梯度性同时也表现在概念理解的潜在剖面水平上。本研究关于数学概念潜在剖面显示，整个 3-6 岁儿童在概念理解上存在高、中、低三种水平，三种水平儿童在各个维度上的表现均存在差异显著，同时中、高水平儿童约占 90%左右，可以看出，儿童在整个概念理解上