信息技术2.0微能力：中学九年级数学上（锐角的三角函数）-中小学作业设计大赛获奖优秀作品模板-《义务教育数学课程标准（2022年版）》

1、 中学九年级数学上（锐角的三角函数）义务教育数学课程标准（2022年版）微能力2.0认证-中小学作业设计大赛目 录作业设计方案撰写：TFCF优秀获奖作品- PAGE 79 -初中数学解直角三角形单元作业一、 单元信息基本信息学科年级学期教材版本单元名称数学九年级第一学期沪科版第23章解直角三角形单元组织方式自然单元重组单元课时信息序号课时名称对应教材内容1锐角的三角函数正切23.1锐角的三角函数(P112-114)2锐角的三角函数正弦和余弦23.1锐角的三角函数(P115-116)3特殊角的三角函数值23.1锐角的三角函数(P117-118)4互余角三角函数的关系23.1锐角的三角函数(P11

2、9)5一般锐角的三角函数值23.1锐角的三角函数(P120-122)6解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用(P124-125)7解直角三角形的应用1（仰角与俯角）23.2 解直角三角形及其应用(P126-127)8解直角三角形的应用2（方位角与方向角）23.2 解直角三角形及其应用(P127-128)9解直角三角形的应用3（坡度与坡角）23.2 解直角三角形及其应用(P128-129)二、单元分析（一）课标要求（2021年版）内容标准利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）， 知道30o，45 o，60 o角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三

3、角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角；能用锐角三角函数解直角三角形，并用相关知识解决一些简单的实际问题。课程目的课标在“知识技能”方面指出：体验从具体情境中抽象出数学符号的过程， 理解代数式、方程、函数；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。在“数学考虑”方面指出：通过用代数式、方程、不等式、函数等表示数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；在研究图形性质过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。在“问题解决”方面指出：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单

4、的实际问题，增强应用意识， 提高实践能力；经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。在“情感态度”方面指出：积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲； 在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。核心素养数学核心素养包括以下几个方面：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。中学阶段是培养学生数学核心素养的一个重要时期， 而三角函数、解直角三角形就是一个很好的载体。数学运算能力作为初中学生数学核心素养的基本功，它既是学生数学学习的核心能力，也是教师数学“双基”

5、教学的关键组成部分，学生数学运算能力的培养和提升是初中数学教学的硬核标准，真可谓是重中之重。本单元涉及的数学运算有：特殊角的三角函数值参与的实数运算、三角函数中的边角关系计算、数学建模中运用三角函数建立方程的求解计算等，这些运算方法和技能是学生必须掌握的，是各类测试考查的重要方面，所以应重视学生运算能力的培养。数学建模，就是将实际问题抽象成纯数学问题而建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。直观想象这一数学核心素养形成的过程，是“数学化”的过程，即探究的过程，思考的过程，抽象的过程，预测的过程，推理的过程，反思的过程。数学建模和直观想象的思想是非常重要的数学思想，而解直

6、角三角形应用（如仰角俯角、方位角、坡度等）作为考查应用能力的题目一直是中考的热点，这类问题都可以通过建立三角形等模型，运用三角形的相关知识理解题目给出的示意图或自己画出示意图，找出要解的直角三角形， 从而解决实际问题。（二）教材分析知识网络内容分析本单元内容包括:“锐角的三角函数”、“特殊角的三角函数值”、“解直角三角形及其应用”三个方面。直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中应用广泛的关系之一，它是联系几何与代数的桥梁,在解决现实问题中有着重要的作用。“三角形”、 “勾股定理”、“相似形”等单元已经让学生了解了直角三角形的概念，知道了直角三角形角与角、边与边之间的关系，掌握了三角形的相似和

7、推理证明等知识，为本单元的学习打下了一定的基础。因此，本单元的内容是对直角三角形的边与角之间关系的进一步探究和应用， 是相似的延续和升华。同时, 解直角三角形还有利于数形结合，通过这一单元的学习, 学生对直角三角形的概念有较为完整的认识。另外有些简单的几何图形可分解为-些直角三角形的组合, 从而也能用本章的知识加以处理，以后学生学习斜三角形的余弦定理,正弦定理和任意三角形的面积公式时,也要用到解直角三角形的知识，因此，它又是沟通初中数学和高中数学的一条通道。本单元的内容是直角三角形知识的重点部分之一，也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具。（三）学情分析本单元是学生在学习了函数、

8、数的开方、二次根式、勾股定理、相似三角形基础上学习的，主要由锐角三角函数和解直角三角形两部分内容构成。通过前面的学习，学生已认识了直角三角形中角的关系（直角三角形两个锐角互余）和边的关系（勾股定理），本单元的内容是对直角三角形的边与角之间关系的进一步探究和应用，是相似的延续和升华。锐角三角函数中的“函数”，是学生理解的难点，因为锐角三角函数与学生以前所学的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系。通过相似三角形得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与邻边的比始终是一个常数，这就揭示了锐角与比值的对应关系，让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系

9、有更深刻的认识，加深对函数概念及数学本质的理解，通过学习有利于学生对函数的理解更加完善。解直角三角形的应用也是本单元学生掌握的重点和难点，解直角三角形中的知识被广泛运用于测量、建筑、工程技术与物理中，主要是用来测量高度、宽度与角度，将实际问题贯穿本单元，充分体现三角函数与现实生活的密切联系。通过应用让学生了解在有关直角三角形的问题时，光靠过去学过的勾股定理是不够的，三角函数有着不可替代的重要作用。本单元是三角学的最基础内容，也是今后进一步学习三角学的必要基础，为今后高中阶段深入学习三角函数做好知识储备和积累，因此本单元在中学数学中有着承上启下的作用。（四）重难点分析解直角三角形的重点是锐角三角

10、形的概念和直角三角形的解法。特殊锐角三角函数值，由于其应用的广泛与基础，要让学生牢记，即给出特殊的锐角，能说出它的三个三角函数值；反过来，给出特殊锐角的三角函数值，能求出这个角的度数。本单元的难点是锐角三角函数的概念，因为三角函数的概念里隐含着角度与线段比值之间一对应的函数思想，并且用几个符号 sinA（直角三角形中一个锐角为 A ），cosA，tanA 来表示各个比值，同时这几个符号所表示的两条线段的比是不能颠倒、是有严格规定的，这是学生第一次接触到这样的表示。此外，只有正确理解锐角三角函数的概念，才能准确把握直角三角形中边、角的关系，也才能利用这些关系来解直角三角形。所以说，对锐角三角函数

11、概念的理解，既是学习本单元的难点，也是学好本单元的关键所在。三、单元学习与作业目标掌握正弦、余弦、正切的概念；知道并熟记特殊角 30，45，60角的三角函数值并能进行简单的代数计算；能根据已知角度求三角函数值以及已知三角函数值求角的度数；运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题；能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。四、单元作业整体设计思路分层设计作业。每课时均设计 “基础性作业”（面向全体，体现课标，题量 3-4 大题，要求学生必做）和“发展性作业”（体现个性化，探究性、实践性，题量 2-3 题，要求学生有选择的完成）。具体设计体系如下：五、课时作业第一课时（锐

12、角的三角函数正切）作业1（基础性作业）作业内容（1）在 中， ，各边都扩大到原来的 倍，则 的值（）A. 不变B. 扩大到原来的 倍C. 缩小到原来的 1D. 不能确定5（2） 如 图 ， 在 中 ， ， 则 （）13mG5mEFA. 5B.1212C.55D. 121313（3） 在 中 ， ， ，则 （4）某人从水平地面开始沿着有一定坡度的坡面前进了 ，此时他与水平地面的垂直距离为 ，则这个坡面的坡度 时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的

13、规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题考查正切的定义，锐角的正切其实是直角三角形中两直角边的比， 它的值是一个比值，只与角的大小有关，与所在的直角三角形边的长短无关，本题加深学生对正切定义和三角函数中的“函数”的理解；第（2）题仍然考查正切的定义，

14、在直角三角形中已知斜边和一直角边，可由勾股定理求另一直角边， 再根据正切定义求比值；第（3）题以等腰三角形为背景求正切值，需要将等腰三角形通过作垂直或高构造直角三角形，在直角三角形中按正切定义求比值，“化斜为直”是本章三角函数的常用作法，三角函数就是在直角三角形中建立边角关系的，要让学生熟悉这一基本方法；第（4）题是正切的应用：坡度与坡角问题， 坡度是竖直高度与水平长度的比值，是坡角的正切值，“沿着有一定坡度的坡面前进了 ”，就是斜边为 10，“与水平地面的垂直距离为 ”，就是一直角边为 ，这样本题与第（1）题解法相似，先有勾股定理求出另一直角边，在根据坡度的定义求出比值，从而解决问题。参考答

15、案与解析（1）A（2）A（3） 125【解析】解：如图，过点 作 于点 ，易知 ，在 中 ， ， ， 则 ， tanB AD 12 BD5（4） ： 作业2（发展性作业）作业内容构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算 时， 如 图 ， 在 中 ， ， ， 延 长 使 ， 连 接 ， 得 ，假设 ，所以tan15o AC 1CD2 2 3，类比这种方法，3计 算 的 值 为（）A.B.C.D. 12测量时间测量对象测量工具参与同学测量数据绘制图形计算过程自我评价（2）（实践性、探究性、开放性作业）想要测量学校操场上旗杆的高度，根据本节课所学内容，请和同学一起共同完成时间要求

16、20分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题是以构建几何图形求正切的问题

17、，通过构造等腰三角形，利用内外角之间的关系，构造半角，在直角三角形中通过线段的比求正切，本题有助于培养学生的自主学习能力和知识迁移能力，是一道综合性题目；第（2）题是实践性和探究性作业，是一个开放性作业，让学生测量学校操场上旗杆的高度，通过教师设计的表格，在一定程度上给学生以引导，避免学生无处着手，学生通过表格的提示逐步逐项完成，同时通过学生自己画图，自己动手操作和计算得出旗杆的高度，既培养学生的实践能力、动手操作能力，也训练了学生的计算能力和解决问题的能力，最后设计自我评价，引导学生改进方法，对自己的学习反思总结提高，培养良好的学习习惯和学习数学的兴趣。参考答案与解析（1）B【 解 析 】

18、解 ： 如 图 ， 在 中 ， ， ， 延 长 使 ， 连 接 ， 得 ，设 ， 则 ，tan22.5o AC 1CD1 22 1，故选 B无第二课时（锐角的三角函数正弦和余弦）作业1（基础性作业）作业内容（1）如图，已知 ， ， ， ，则下列结论正确的是（）A. 3BB. 45C. 3CAD. 45（2） 在 中 ， ， ， 1 ， 则 等 于（）3A.B.C.1D.1545如图， 的顶点在直角坐标系的原点，一边在 轴上，另一边经过点 ， ，则 ， ， （4）如图，在 中， ， ， 的值时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确

19、、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表3 ，求 的长和 5作业分析与设计意图第（1）题考查正弦、余弦、正切三角函数的定义，在 3，4，5 的直角三角形中，直接运用三角函数的定义求出比值，学生分

20、清找准各个三角函数的比值即可做出选择判断，是考查定义的基础题；第（2）题是在直角三角形中，已知正弦值求线段长度，仍然属于定义的考查，对于学生初学三角函数，在做题时，引导学生自己画出图形，准确找到边角关系，不张冠李戴，培养学生动手画图的能力和良好的解题习惯；第（3）题是在平面直角坐标系中已知点的坐标求各个三角函数值，形式上学生由新鲜感，方法上过 P 点需要向坐标轴作垂直构造直角三角形，内容上根据点的坐标结合勾股定理先求出斜边的长度，分清定义谁比谁仍然是解题的本质和关键，注重对基础知识的理解和掌握，也突出计算能力的培养； 是以构建几何图形求正切的问题，通过构造等腰三角形，利用内外角执教的关系， 第

21、（4）题是解答题，在前面三题掌握三角函数概念的基础上，本题着重训练学生的解答题书写，培养学生严谨的书写习惯。参考答案与解析（1） （2） 3（3）3122（4） 解 ： 3 ， 3 ，55 ， ， ， tanB ACBC 12 = 4 93作业2（发展性作业）作业内容（1）如图，在 中， ， ，若 ，则 的长为（）C. D. （2）如图，在菱形 中， 于点 ， ， 4 ，则菱形 的周5长是（）（3）（探究性作业）【关注数学文化】阅读材料，解答下列问题 年，我国学者徐光启和德国传教士邓玉函、汤若望合编的大测一书将三角函数的概念传入我国根据材料内容，完成下列探究 计算： ； 如图，已知 3 ，其中

22、 为锐角，试求 的值5时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）

23、题考查正弦的应用，在直角三角形中已知锐角的正弦和对边长度， 根据正弦定义求出斜边的长度，再运用勾股定理求第三边，让学生进一步熟悉三角函数问题的基本模型：直角三角形+勾股定理，是常用的解题思路和方法；第（2）题以菱形为背景，三角函数概念为基本，由 AEAB 4 ，可设 AE 4x ，5AB 5x ，由勾股定理得 BE 3x ，则 BC 3x 4 ，根据菱形边长相等建立方程：5x 3x 4，求出 x 的值，从而求出菱形的周长，本题让学生体验设未知数建立方程的思想，用代数的方法解决几何问题；第（3）题是数学文化类问题，以我国古代著作为问题切入点引出问题，引发学生数学学习的兴趣，培养学生的阅读能力、自

24、主学习能力和知识迁移能力，激发学生的探索精神和钻研精神，鼓励学生努力尝试，综合性强，难度略高。参考答案与解析（1） （2） （3） 解 ： ； 设 ， 则 ， 在 边 上 取 一 点 ， 使 得 ， 则 ， 过 点 作 于 点 ， 连 结 ， ， ， AD AE ，BDCE 4x 4x CE ，xCECE 4 x ，5同理： DE BCAD ，AB DE 4x ，3x5x DE 12 x ，5在 中 ， 410 x ，5 在 等 腰 中 ， sadA CD AD10 5作业1（基础性作业）作业内容第三课时（特殊角的三角函数值）（1）已知 为锐角，且 1 ，则 （）2A.B.C.D. （2）若

25、为锐角，且 3 ，则 （）2A.B.3C.22D. 122（3） 式 子 的 值 是（）2B.C.D.222（4） 计 算 ： ；时间要求cos30o1 sin30o 10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。评价设计作业评价表答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或

26、无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。作业分析与设计意图本节作业主要考查特殊角（30，45，60）的三角函数值，涉及实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键，解答此类问题的方法就是把这些函数值代入计算，已知函数值求角，已知特殊角求函数值，属于基础题参考答案与解析（1） 3（2） （3）【 解 析 】 解 ： 2 3 1 21，故选 C（4）解： 原式 3 4 1 22 3 ；223 原 式 2 1 12 4 3 33作业2（发展性作业）作业内容李红同学遇到了这样一道题： ，你猜想锐角 的度数应是（）A.B.C.D.

27、 32在锐角三角形 中，若 sinA (1 tanB)2 0 ，则 的度数是（3）（探究性作业）计算下列各式： ； 你发现了什么？对任意锐角 ，是否都有 ？请说明理由时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合

28、评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题考查30角的正切，已知正切求角度；第（2）题是有特殊角三角函数参与的实数运算，绝对值加平方等于0，0+0=0类型问题，求出两个角度数， 利用三角形内角和求第三角；第（3）题规律探究问题，通过特殊角的正弦和余弦的平方和关系，推导证明一般角的正弦和余弦的平方和关系，让学生体会从特殊到一般的过程，发现、概括并证明。总之，特殊角的三角函数值是学生熟悉掌握的内容，在作业和练习强化。参考答案与解析（1） （2） （3）解： 原式 (2 )2 ( 2 )2 1 1

29、 1；2222 原 式 (1)2 ( 3 )2 1 3 1；2244发 现 对 任 意 锐 角 ， 都 有 ， 如 图 ， 在 中 ， a ， b ，c cb ( )2c( a )2c b2c2a2c2 a 2 b2c2 c2c2 1 ，即 第四课时（互余角三角函数的关系） 作业1（基础性作业）作业内容（1）已知锐角 满足 ，则 的度数为（）A.B.C.D. （2） 若 是 锐 角 ， ， 则 的 值 为（）A.B.C.D. （3） 若 ， 则 的 值 约为 （4）观察下列等式： 1 ， 1 ；22222 ， 2 ； ；33，；22根据上述规律，计算 时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级

30、备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题考查当两角互余时，一个角的正弦值（余弦值）等于另一个角的余弦值

31、（正弦值），根据正弦值等于余弦值，可得两个角互余；第（2）题是考查互余两个角的正切值互为倒数关系，由两个正切值乘积等于1得两角互余；互余两个角的正弦和余弦、正切和正切之间的关系常用于直角三角形求角的度数。第（3）题规律探究问题，通过特殊角的正弦和余弦的值，引导发现规律，让学生体会从特殊到一般的过程，发现、概括得出结论，培养学生自主学生，归纳总结的习惯，另外 是个恒等式，同学们可以记住并直接运用。参考答案与解析（1） （2） （3） （4） 作业2（发展性作业）作业内容（1） 若 ， 且 ，则 （2）（探究性作业）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ； ； 观察上述等式，猜想：在 中，

32、，都有： ； 如 图 ， 在 中 ， ， ， ， 的 对 边 分 别 是 ， ， ， 利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； 已 知 ， 且 5 ， 求 的 值 ；13 已 知 ， 且 12 ， 求 值 25时间要求10分钟以内评价设计作业评价表作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答

33、案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。作业分析与设计意图第（1）题考查互余两角，正弦值和余弦值之间的关系，本题中，学生需要发现 和 之间的互余关系；第（2）题是规律探究应用题，还是考查了互余两角的三角函数的关系，即 ，是作业1第（4） 题的深入和延续，学生不仅发现规律发现结论，还要运用结论解决问题，提高学生解决数学问题的能力。其中，第 小题利用锐角三角函数的定义证明 ；第 小题利用关系式 ，结合已知条件 5 ，进行求解；第 小题利用关系式 ，结合已知条件13 12 ，

34、利用完全平方公式求解。25参考答案与解析（1） （2）解： ； ； ； ； 如 图 ， 在 中 ， a ， b ，c ca 2 b2，c 2 ， ， ； 5 ， ，131 5 213 12 ；13 ， = 12 ，25 1 2 12 49 ，2525 7 5第五课时（一般锐角的三角函数值） 作业1（基础性作业）作业内容（1）下列不等式成立的是（）A.B. C.D. （2） 和 的大小关系是（）A. B. C. D. 不能确定（3）用计算器求 ， ， ， ， ， ， ， 的值，研究 的值随锐角 变化的规律，根据这个规律判断：若 1 23 ，则（）2A. B. C. D. （4）某款国产手机上有科

35、学计算器，依次按键： 显示的结果在哪两个相邻整数之间（）A. B. C. D. （5）用计算器计算 的结果（精确到 ）是（）A.B.C.D. 时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综

36、合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图通过学习，让学生明确正弦值和正切值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小，掌握三角函数值的变化规律，为近似计算和估算提供帮助，学生了解计算器的功能和简单的使用方法，能使用计算器进行计算，对计算器给出的结果，根据精确度要求用四舍五入法取近似数。参考答案与解析（1）D（2） （3） 【解析】 的值随锐角 的增大而增大，13 2 2 ， ， 故 选 （4） （5） 作业2（发展性作业）作业内容（探究性作业）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大

37、学牵头研制一款“测温机器人”，如图 ，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体测量对象男 性 （ 岁 ）女 性 （ 岁 ）抽样人数 平均身高（厘米） （ ）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：根据你所学的知识，若要更准确地表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用 厘米，女性应采用 厘米；（ ）如图 ，一般地，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（ ）中的数据得出测温头点 距地面 厘米，指示牌挂在两臂杆 ， 的连接点 处， 点距地面

38、 厘米，臂杆落下时两端点 ， 在同一水平线上，计算器按键顺序计算结果 近似值 计算器按键顺序计算结果 近似值 厘米，点 在点 的正下方 厘米处 若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角（参考数据表）时间要求15分钟以内评价设计作业评价表作业分析与设计意图本题以实际生活为背景，选用当前社会防疫的关键话题，以学生常见测量体温为切入角，三角形函数的应用，涉及统计的思想，体现了逻辑推理、数学抽象、数学建模的核心素养。学生通过感知问题、分析问题、解答问题，进一步加强对一般角三角函数的理解和认识，通过参考数据的获得，了解使用计算器辅助计算的方法。参考答案与解析解：（1）由已知可得，男性应采用 厘米，女性应采用 厘

39、米（2） ， ， 1 BC 50 ， ，2由 题 意 知 ， FCAF 50 5 ， 10 ， ， 即两臂杆的夹角约为 第六课时（解直角三角形）作业1（基础性作业）作业内容（1）如图，在 中， ， ， ，则 的长是（）4 33A.C. D. （2） 在 中 ， ， ， ，则 ， （3） 在 中 ， ， ， ， 分 别 是 A， B， 的 对 边 已 知 ， ， 求 ； 已 知 ， 1 ， 求 3时间要求10 分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等

40、：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题在直角三角形中，已知斜边 和一个锐角 （特殊角 ），求一直角边 ，可根据 及特殊角的三角函数值解题，主要考查了三角函数的定 义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握的；第（2）题在直角三角形中，已知一直角边 和斜

41、边 可由勾股定理求第三边 ，同时根据三角函数边之间的比值求角度，是已知边求角度的过程；第（3）题第小题，已知 ， ，利用 ， 的比值确定角的度数，在此过程中，学生需要选择判断使用哪一角的哪个三角函数去求解，这是在解直角三角形中经常考虑的问题，有助于学生进一步理解解直角三角形的方法和意义；第小题，已知斜边 和锐角 的正弦值，根据正弦的定义，先求出直角边 ，再根据勾股定理求出直角边 。第（1）题给出了图形，第（2）（3）题没有图形，学生可以先画出图形，有助于培养学生画图、读图、识图的能力。参考答案与解析（1） 【 解 析 】 解 ： 在 中 ， ， ， ， BC ，AB即 BC ，8 8 （2）

42、；3 432，故选 D；（3） 解 ： b c2 ，62 32 ， 1 a ，3c ， 作业2（发展性作业）作业内容（1）在 中， ，已知 ， ，则下列各组式子中，能正确求出 ， 的一组是（）a ccosA， b csinAa csinA， b ccosAC. ，D. ， （2） 如 图 ， 在 中 ， ， 点 ， ， 求 的 长 3 ， 的 平 分 线 交 于3（3） 如 图 所 示 ， 在 中 ， ， 3 ， ， 求 和 的4长时间要求15 分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确

43、，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题在直角三角形中，已知斜边 和一个锐角 ，求两直角边 ， ，既也是对锐角三角函数定义的考查，也是对解直角三角形的综合运用，已知一些元素求未知元素，灵活选择使用三角函数求解是学生需要巩固

44、的方法和技能；第（2）题 根 据 ， 3 ， 可 求 出 ， ， 再 根 据 是3 的平分线，求出 ，让学生在不同的直角三角形中寻找边角关系求解，本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，是正确解答的关键；第（3）题是非直角三角形中已知边角和三角函数值，求线段长度问题，学生需要添加辅助线，过三角形的顶点作垂直，构造直角三角形，在直角三角形中，利用三角函数关系求线段长度，让学生体会利用三角函数关系解决问题的前提是在直角三角形中进行的，作垂直构造直角三角形是解直角三角形的常用方法。参考答案与解析（1） ；（2） 解 ： 在 中 ， ，3 ，3 ， ， 是 的 平 分 线 ， ，又 ， BC

45、CDtan 30o 3 ，在 中 ， ， ， AB BCsin30o 6 答： 的长为 （3）解：如图所示，过点 作 于点 在 中 ， ， ， CD CD ， 即 CD 1 ，BC12122 BD BD ， 即 BD3 ，BC12122 在 中 ， CD AD6 3 ，AD4 ， ， 第七课时（解直角三角形的应用1-仰角与俯角） 作业1（基础性作业）作业内容从一艘船上测得海岸上高为 米的灯塔顶部的仰角为 时，船离灯塔的水平距离是（）A. 米B. 米C. 米D. 米下图是某商场营业大厅自动扶梯示意图，自动扶梯 的倾斜角为 ， 在自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 ， ， 之间的距离为 ，

46、 则自动扶梯的垂直高度 （结果保留根号）如图，广场上空有一个气球 ，地面上点 ， ， 在一条直线上， ，在点 ， 分别测得气球 的仰角 为 ， 为 ，求气球 离地面的高度 （精确到 ）时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程

47、复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题考查仰角在实际生活中的应用，仰角的概念是基础，利用三角函数求解是关键，学生可先画出图形（直角三角形），已知一个锐角（仰角）和对边（高度），求水平距离（邻边），利用仰角的正切求解；第（2）题根据 和 之间的内外角关系，可以判断 是等腰三角形， ，由 BD 计算出 ，本题涉及三角形外角、等腰三角形判定、仰角概念、正弦定义和BC特殊角的三角函数值计算，略有综合性；第（3）题在图形上与第（2）题由相同之处，都是共直角边的双直角三角形，不同在

48、于第（3）题是非特殊角 56，涉及近似计算，训练学生的计算能力，同时可以设未知数列方程求解，也体现了方程的思想。参考答案与解析（1）A【解析】解：根据题意得，船离灯塔的水平距离为 （米），故选 A（2） 【解析】解： ， ， ， ， ， 在 中 ， BD ，BC BD 3 ，42 （3） 解 ： 根 据 题 意 ， 得 ， ， ， ， ， 在 中 ， ， AD ，CD即1.48 AD，AD 20解 得 （ ）答：气球 离地面的高度 约为 作业2（发展性作业）作业内容如图所示，甲、乙两楼相距 米，乙楼高度为 米，自甲楼楼顶 处看乙楼楼顶 处的仰角为 ，则甲楼高度为（）A. 米B. （ ） 米C.

49、 米D. （ ） 米如图，从楼顶 处看楼下荷塘 处的俯角为 ，看楼下荷塘 处的俯角为，已知楼高 为 米，则荷塘的宽 为 米（结果保留根号）比萨斜塔是意大利有名的建筑，资料显示：斜塔的倾斜角度为 ，观测者在距离塔底部 米处，测得塔顶部的仰角为 ，你能帮他计算出斜塔顶端离地面的距离吗？（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ）时间要求15分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或

50、无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。评价设计作业评价表作业分析与设计意图第（1）题考查仰角在实际生活中的应用，仰角的概念是基础，本题是直角三角形和矩形的组合图，是测量高度问题中常见的几何图形；第（2）题考查俯角的概念，利用俯角求线段长度，在共直角边 AB 的两个直角三角形中，由正切函数分别求出 BC，BD 的长度，由 CD=BC-BD 得出答案；第（3）题仍然是考查仰角的定义

51、，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形。过点 作 于点 ，构造直角三角形： 、 ，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度。参考答案与解析（1）D【解析】解：如图所示，在 中 ， 米 ， ， 米 ， （ ） 米 ， 甲楼高度为（ ）米（2）（ ）【解析】解：由题意可得， ， ， 米 在 中 ， ， 米在 中 ， ， BD 3 AB 10米，33 （ ） 米 （3）解：如图，过点 作 于点 ，根 据 题 意 得 ， ， ， 设 ，在 中 ， BD ，AD 在 中 ， CD ，AD ， 答：斜塔顶端离地面的距离约为 第八课时（解直角三角形的应用2-方位角与方向角） 作业1（基础性作业）作

52、业内容如图所示，一渔船在海岛 南偏东 方向的 处遇险，测得海岛 与 的距离为 ，渔船将险情报告给位于 处的救援船后，沿北偏西 方向向海岛 靠近，同时，从 处出发的救援船沿南偏西 方向匀速航行， 后， 救援船和渔船在海岛 处恰好相遇，那么救援船航行的速度为（）A.B. C.D. 如图，海中有一个小岛 ，一艘轮船由西向东航行，在点 处测得小岛 位于它的东北方向，此的轮船与小岛相距 海里，继续航行至点 处，测得小岛 在它的北偏西 方向，此时轮船与小岛的距离 为 海里如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航行 至 港，然后再沿北偏西 方向航行 至 港 求 ， 两港之间的距离 结果保留到 ，参考数据： ， ；

53、 确定 港在 港的什么方向时间要求10分钟以内作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案评价设计作业评价表不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。作业分析与设计意图第（

54、1）题考查方向角在实际生活中的应用，方向角的概念是基础，本题中设计三个方向角，在读取方向角时首先要确定观测位置，以观测位置为中心，得出角度大小，本题的直角三角形是含有特殊角的，已知斜边 AB，利用三角函数求直角边 AC，根据路程和时间求出速度，边角关系简单，读取方位角是关键； 是测量高度问题中常见的几何图形；第（2）题在明确方位角后，其问题本质是已知两角和一边求另一边，解决问题的方法是过三角形一个顶点作垂直，构造直角三角形，通过解直角三角形求边长，是解直角三角形涉及方位角的一个简单应用；第（3）题第 问，通过方向角判断 ，由勾股定理，从而得出 的长，第 小问中，根据角度关系得出 ，由角度判断

55、点在 点北偏东 的方向上，有角度写出方向角是方向角定义的一种逆向思维有助于学生真正理解方向角。参考答案与解析（1）C【解析】解：由题意知 ， ， 在 中 ， 3 1032（ ），3 救援船的速度为10（2） 30 20360（ ）【解析】解：如图，过点 作 于点 ， 在点 处测得小岛 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距 海里，继续航行至点 处，测得小岛 在它的北偏西 方向， ， 海 里 ， 在 中 ， （ 海 里 ） 在 中 ， （ 海 里 ）（3） 解 ： 由 题 意 可 得 ， ， ， ， ， ， ， ， 答： 、 两地之间的距离为 由 知， 为等腰直角三角形， ， ， 港在 港北偏东

56、的方向上 作业 2（发展性作业）作业内容如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点 处，测得河的北岸边点 在其北偏东 方向，然后向西走 米到达点，测得点 在点 的北偏东 方向，则这段河的宽度为（ ）米A. 米B. 米C. 米D. 米某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 测得历下亭 在北偏东 方向上，继续向北走 后，到达游船码头 ，测得历下亭 在游船码头 的北偏东 方向上，则南门 与历下亭 之间的距离约为 （参考数据： 3 ， 4 ）43如图所示，为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点 处测得河北岸的树 恰好在 的正北方

57、向测量方案与数据如下表：课题测量河流宽度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案示意图说明点 ， 在点 的正东方向点 ， 在点 的正东方向点 在点 的正东方向，点 在点 的正西方向 ， ， ，测量 ， ， ，数据 哪个小组的数据无法计算出河宽？ 请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到 ）（参考数据： ， ， ， ）时间要求15分钟以内评价设计作业评价表作业评价表评价指标等级备注ABC答题的准确性A等：答案正确、过程正确。 B等：答案正确、过程有问题。C等：答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过程错误、或无过程。答题的规范性A等：过程规范，答案正确。B等：过程

58、不够规范、完整，答案正确。C等：过程不规范或无过程，答案错误。解法的创新性A等：解法有新意和独到之处，答案正确。B等：解法思路有创新，答案不完整或错误。C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程。综合评价等级AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价为B等；其余情况综合评价为C等。作业分析与设计意图将实际问题抽象成纯数学问题而建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题，这种数学建模思想是数学的核心素养之一。本节作业设计突出数学建模思想，第（1）题是以社会实践活动实地测量为背景确定河道宽度，第（2）题是数学社团开展实践性研究测量两地之间的距离，第（3）题是

59、数学研究小组方案设计问题，前两小题在建立数学模型之后，通过作垂直构造直角三角形，利用三角函数、方程思想解决问题，最后一题，在不同方案中根据不同的测量数据，引导学生思考判断如何求解和怎样优化完善设计方案，从不同角度思考解决问题，有助于发挥学生的自主学习能动性，培养学生思考解决问题的习惯。参考答案与解析（1）B【解析】本题考查的是解直角三角形的应用 方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键作 交 的延长线于 ，设 米，根据正切的定义用 表示出 、 ， 根据题意列出方程，解方程即可【解答】解：作 交 的延长线于 ，设 米 ， ， CD BDtan30o3x 米， ，3 米， 则

60、 ，解得 x 603 1 30( 1) ，即这段河的宽约为 （ ）米 故选 （2） 【解析】如图，过 作 ，交直线 于 设 ， 在 中 ， tan53o EC ， 即 4 x ，EB3y在 中 ， tan37o EC ， 即 3 x，AE ， ，4105 y ， ， （ ）（3）解： 第二个小组的数据无法计算出河宽； 第一个小组的解法： ， ， ， ， ， （ ）， 第三个小组的解法：设 ，则CA AHtan35o， AB AH,tan70o ，x0.70 x2.75 101，解 得 答：河宽为 第九课时（解直角三角形的应用3-坡度与坡角） 作业1（基础性作业）作业内容某水库大坝的横断面是梯形