中考复习讲义一元二次方程的解法、判别式和韦达定理(含参考答案)

1、一元二次方程的解法、判别式和韦达定理中考说明知识点基本要求略局要求较局要求F二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方 程化为一般形式，并指 出各项系数；了解一元 二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的 解法理解配方法，会用直接 开平方法、配方法、公 式法、因式分解法解简 单的数字系数的一元二次方程，理解各种解 法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含后字母系 数的一元一次方程根的情况及由方 程根的情况确定方程中待定系数的 取值范围；会用配方法对代数

2、式做简 单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题自检自查必考点一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0 (a 0), a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.元二次方程的识别：要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数.一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2.任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2 bx c 0 a 0 . .、一 .2.、 一

3、 .、一.要特别注意对于关于 x的方程ax bx c 0,当a 0时，方程是一元二次方程；当 a 0且b 0时,方程是次方程.A中考必做题题型一、一元二次方程的定义：关于一元二次方程的定义考查点有三个：二次项系数不为0;最高次数为2;整式方程【例1】关于x的方程（a2 1）x2 2ax 6 0是一元二次方程，则 a的取值范围是（）A. a 1B. a 0C. a为任何实数D.不存在【解析】a2 1恒大于0【答案】C【巩固】已知关于x的方程（a 2）x2 ax x2 1是一元二次方程，求 a的取值范围.【解析】整理方程得：（a 3）x2 ax 1 0,当a 3时，原方程是一元二次方程.【答案】a

4、 3【例2】若（m 3）xn 2 3nx 3 0是关于x的一元二次方程，则 m、n的取值范围是（）A. m0、n3 B. m3、n4 C. m 0, n 4 D. m3、n0 【答案】B【例3】 若x2a b 3xa b 1 0是关于x的一元二次方程，求 a、b的值. 【答案】分以下几种情况考虑： 2ab 2 , a b 2 ,此时 a 4 , b 2 ;33b 0 ;b 1x的一元二次方程，求 a、b的值.b 2a b 1b 1 a b 22a b2a b【巩固】已知方程1,2,此时a2xaab0是关于【答案】本题有3种情况:3212题型二:次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根

5、代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。（将根代入方程，这是很多同学都容易忽略的一个条件）【例4】关于x的一元二次方程（a 1）xa x a2 1 0的一个根是0,则a的值为（.八.1A. 1B. 1C.1 或 1D.-2【答案】B【例5】若m是方程3x2 2x 2 0的一个根，那么代数式 解得bm2 m 1的值为22239【斛析】m是方程3x 2x 2 0的一个根，3m 2m 2 0即一m m 1 ,2，代数式2m m 1 2 （像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）2【答案】2【巩固】若两个方程x2 ax b 0和x2 bx a 0只有一个公共根，则（）A. a bB. a b 0

6、C.a b 1D. a b 1【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即可得 a、b满足的关系式22【答案】设两方程的公共根为m,则m am b 0，m bm a 0，-得，（a b）m b a 0 ,，（a b）m a b,解得 m 1将m 1代入得a b 1 0 a b 1选D【例6】一元二次方程（a 1） x2 ax a2 1 0的一个根为0,则a 。【答案】1题型三：“降次”思想【例7】已知a是方程x2 3x 1 0的一个根，则代数式a1 m 1 =1m m 10a 2的值为【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解一元

7、二次方程最根本的思想就是降次，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是降次”，通过 降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：根的考查；恒等变形2【答案】:a是万程x 3x 1 0的一个根 TOC o 1-5 h z .22 a 3a 1 0 ,即 a 1 3a322a3 a a2 a（1 3a） a 3a2 a 3（1 3a） a 3 9a 10a 332006 的值m 1a 10a 2 （10a 3） 10a 21【巩固】已知m是方程x2 2006x 1 0的一个根，试求 m2 2005m【解析】本题方法很多，但基本思路一样【答案】 m是方程x2 2006x

8、 1 0的一个根1r 22006m 1 0 ,则 m 2006m 1(2006 m1) 2005m2006(2006 m 1) 1(2006 m 1) 1m1 2006 1 2005【例8】已知a2a 3,求(a 1)(a 1) (a 3)的值.【答案】解:(a 1)(a 1) (a 3)a2 1 a 32=a a 2-2A. (x 2)1-2A. (x 2)12a2 a 3原式=a2 a 2 = 5【巩固】已知a2+ 2a 3,求代数式2a(a 1) (a 2)2的值.【答案】解：2a(a 1) (a 2)2 TOC o 1-5 h z 22=2a2a(a4a4)- 2-2.2=2a 2a

9、a 4a 4 =a 2a 4 a2 2a 3，原式二3 41【例9】已知a2 2a 2【答案】原式=(a 1) 1 a 10,求代数式(1 ) 丁?的值.a 1 a 2a 13aa2 2a39aa (a 1)22 = 3a 1 a 1 aa 12- a当 a2 2a 2 0 时，a2 2a 2原式二a2a【巩固】已知2x2 7x 10,求代数式(x 1)(3x 2) (x 3)2 1的值.题型四：一元二次方程的解法【例10解关于x的方程：2x 3 2 3x 2 TOC o 1-5 h z 【答案】为1 , %1【巩固】解方程：x2 6x 9 (5 2x)2【解析】把方程左边化成一个完全平方式，

10、那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解.【答案】x12, x283【例11】用配方法解下列方程 x2 6x 4 0,、一 一，、211一(y1)(y 3)5 0 x-x -063 2y2 4y 1，八一 2一_2x 3x 5 4 6x【答案】x1痴3, x2相3 ； y12. 24, y2 2；y2x1一 2D. (x 2)5【例12】用配方法把代数式x2 4x 5变形，所得结果是(_ 2_ 2B.(x 2)9C.(x 2)1【答案】A13173174，解得x1*24【答案】A13173174，解得x1*24【巩固】将方程2x1进行配

11、方，可得（A. (x1)2B. (x 2)2C. (x1)2D. (x1)2若把代数式2x23化为(x m)k的形式，其中k为常数，则m【例13】【例14】用公式法解下列方程2x2 x(6xx1x1解关于【解析】换元法【答案】设4x整理得3x 1 0，一、2 3x 6x1) 4x3 .万419712x的方程:2(2xx2x2(4x12)17(4) 3x2 2x4197121)2 3(1x1x14x)1 a ,则原方程可变形为(a 4)(a 1)4时,1时,【例15】解分式方程:整理得:经检验得3a4x4x2a2x22(x1)x 16(x1)x2 1则原方程可变形为7a 6 0 ,解得3a 3或

12、a 2均为方程2x21x2a2a3,整理得:2-22x 3x 1 03 .332.26x22a2a经检验，Xi 317, X2 3_27均为原方程的解 442当a 2时，则土2,整理得：x2 2x 1 0 x 1解得：X3 1点，X4 1夜经检验，X3 1 夜，X4 1 。2均为原方程的解 TOC o 1-5 h z ，原方程的解为X137,X23-7,X3172,X4172【例16解无理方程(换元法)2x2 3x 5 2x2 3X 9 3 0【答案】令V2x23X9a,则2x23x 9a2 ,2x23xa29则原方程变形为a2 9 5a 3 0,整理得a2 5a 6 0解得 a11 , a2

13、 6 72x23x 9 a 0 a 6则,2x2 3x 9 6,整理得 2x2 3x 27 0,解得 x1 3 , x2-2经检验X1 3, x29均为原方程的解2原方程的解为x1 3, X292【例17】已知关于x的方程a 1 x2 2x a 1 0的根都是整数，那么符合条件的整数a有几个?【解析】对二次项系数进行分类讨论【答案】当a 1 0时，a 1 ,解得x 1,符合题意要求。当 a 1 0时，则 a 1,整理得(a 1)x a 1 (x 1) 0a 1解得X1 , X2 1 ,因为原方程的两个根均为整数a 1a 12 X1a1也为整数，因此a 11或a 12a 1 a 1a 0或2或3

14、或1综上所述，整数a的值有5个，分别为 1, 0, 1, 2, 3题型五：根的判别式?定义:运用配方法解一元二次方程过程中得到(xTb)22a,2/b 4ac2-4a显然只有当b2 4ac 0时，才能直接开平方得:bx 一b2 4ac4a2也就是说，一 实数根.这里b27L二次方程ax2 bx c 0（a 0）只有当系数a、b、c满足条件b2 4ac 0时才有4ac叫做7L二次方程根的判别式.?判别式与根的关系在实数范围内, 否有实数根）由7Lb2二次方程ax2bx c 0（a 0）的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是次方程为4ac确定.2 ax bxc 0（a 0）,其根的判别式为:

15、b2 4ac 贝 U方程2 axbx0(a0）有两个不相等的实数根xl,2b b 4ac2a方程2 axbx0(a0）有两个相等的实数根Xix2b2a方程2 axbx0(a【例18】不解方程，判别次方程A.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根0）没有实数根.2x2 6x 1的根的情况是（B.没有实数根D.无法确定A若方程 （m 2）x2 2（mA.没有实数根C.有2个相等的实数根C1)x0只有一个实数根，那么方程B.有2个不同的实数根D.实数根的个数不能确定(m1)x22mx m 20 ().【解析】.方程(m2)x22(m1)x方程（m1)x22mxm方程（m1)x22mxmm22特

16、别注意方程（m2)x20只有一个实数根，m 20 ,即为方程 x2 4x 4 0 ,0,得m424 ( 1) ( 4)0.【例19】2(m等或不相等），要么没有实数根.0有2个相等的实数根.故选 C.1）x m 0只有一个实数根.若m 2条件指明，该方程只有1个实数根，则方程要么有2个根（相所以m 2 0,且m 1 0 .如果关于A. kC由题可得所以k次方程B. k2kx06x 9 0有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是（C. k 1 且 k 0D. k 136 36k0若关于x的二次方程（m注意二次项系数不为02 L ,m 一且 m 13【例20】关于x的二次方程1)x22mx m2

17、 0有两个不相等的实数根， 则m的取值范围是3x m0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为【巩固】若关于x的二次方程,2kx 2x 10有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是0, k【例21】关于x的二次方程(1 2k)x2 2, k1x 10有两个不相等的实数根，求 k的取值范围.4(k 1) 4(1 2k)【解析】由题意，得 k112k解得1【答案】1 k 2且k【例22当m为何值时,12关于x的方程2(m、2-，4)x2(m1)x【解析】题设中的方程未指明是次方程，还是次方程,1 0有实根.所以应分【例23】3a【答案】【例24】情形讨论.2当m 4 = 0即m 2时，2(m

18、1)wQ万程为方程有根的条件是：22= 2(m 1)4(m2 4)综上所述：当m 已知关于x的方程2b0,即2b次方程，总有实根；当2m 4 wo即 m 2 时,8m 20 Q解得2时,2时,方程有实根.方程有实根.12b x b 2b 120有两个相等的实数根，且b为实数，则b22b10有两个相等的实数根.2 b22b0,2b1.1当a、b为何值时，方程x2a x 3a24ab4b2【解析】要使关于x的二次方程3a24ab2 0有实根？24b 2 0有实根，则必有0,即得a 2b又因为a4 3a22 a22b所以a22b题型六：韦达定理【例25若关于x的,2 一4ab 4b 221 020,

19、0,得a.次方程的两个根为1, x2则这个方程是(2-A. x 3x 2 02C. x 2x 3 0【答案】BB.D.2x 3x2x 3x【巩固】已知m,n是方程x211x 1 0的两实数根，则一一的值 m n【例26】【答案】【例27】方程x2 (m 6)m20有两个相等的实数根，且满足XiX2XiX2 ,则m的值是2设方程24x7x0的两个根为Xi、X2,不解方程求下列各式的值:(Xi3)(X23)二XiXiX2 1 X1x2【答案】由韦达定理得XiX2XiX2(Xi 3)(X23)X1X2 3(X|X2)9 3;xXi1X2 1X2(X2 1) X1(X1(Xi 1)(X2i)i)(Xi

20、X2)22XIX2(X1X2 )X1X2XiX2110132(Xi X2)2 (X,2)X2) 4XiX23、 97.一),- Xi X2416974【解析】不解方程，即利用韦达定理将XiX2、XiX2的整体构造出来【例28】已知是方程x2 5x 2一的值.0的两根，求【解析】注意均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得,【例29】若方程 (1PX22 a0-2_2_2()252，【解析】部分学生喜欢将【答案】设方程的另一根为。的一个根为1 V2 ,则它的另一根等于1 夜代入原方程，求p的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。X2,根据题意得X2X2p 22【例30】设x

21、1、x2是方程x2 2 k 1 x 是.【解析】易忽略0k20的两个不同的实根，且X| 1X2【答案】由韦达定理得XiX22即 k 2 2(kXiX22(k 1) k2 2Xi1 x2 18 x1 x2XiX21)18,整理得2k 3 0,解得k3或k 12 v2 9y n (T)【例31】已知方程组 x y 2x 0( x、y为未知数)kx y k 0求证：不论k为何实数，方程组总有两个不同的实数解设方程组的两个不同的实数解为x x1和x x2y yiy y2求证：(xi x2)2 (yi y2)2是一个常数【解析】代入消元【答案】由得，y kx k，将代入得，x2 (kx k)2 2x 0

22、整理得，(k2 1)x2 2(k2 1)x k2 0 TOC o 1-5 h z 2222 _2一4(k1) (k 1) k 4(k1) 0，无论k为何实数，方程组总有两个不同的实数解x xx x方程组的两个不同的实数解为xx1和xx2y1kx1k,y2kx2ky y1y y2xi x2 2由韦达定理可得k2 ,为x2 尸二k 1222_2222 (Xx2)(y1y2)(x2x1x2x2)(kx1k)(kx2k) (k 1) (x1x2)4x1x222k(k 1) (4 4 )4k 1【例32】已知关于x的方程x22mx 3m0的两个实根是X、x2且(Xx2)216。如果关于x的另个方程x2

23、2mx 6m 9 0的两个实数根都在 X、x2之间，求m的值【答案】解：x1 x2是方程的两个实数根，x1 x2 2m, x1 x2 3m又(xi x2)2 16 /.(为 x2)2 4xIx2 162-4m 12m 16 ,解得 mb1、m2 4当m1时，方程为x2 2x 3 0 ,解得X 3, x2 1；方程为x2 2x 15 0解得x 5或x 3,而5、3两数均不在 3与1之间，m1不符合题意，舍去当m 4时，方程为x2 8x 12 0,解得x1 2 , x2 6 ,方程为x2 8x 15 0解得x 3或x 5,由于2 3 5 6,，方程的两根都在方程 的两个根之间，m 4综合得m的值是

24、4【解析】韦达定理的应用与分类讨论的思想【例33设m是不小于 1的实数，使得关于x的方程x22( m 2) xm2 3m 3 0有两个不相等的实数根%, x2.(1)若1 1 ,求一1一的值;X x23 2m(2)mx11 Xmx21 x22 .一 .m的最大值【答案】.方程有两个不相等的实数根,3m 3) 4m 40,b2 4ac 4( m 2)2 4( m2 m 1, 结合题意知：1 m 1 .2m 3m 3(1)x1 x22( m 2) , x1x2144或【答案】解：(2x 1)(x 1) (x-2)22 .144或【答案】解：(2x 1)(x 1) (x-2)22 .11x1 x2X

25、iX2X1X2解得:mi1 .52,ml21.522m23B. 3b2(m 1)2 30)的一个根是另一个根的 3倍，则a、b、c的关系是()2A. 3b 16ac【解析】韦达定理【答案】不妨设方程2_16ac C.16b 3ac_2D.16b 3ac一X1X2【题2】A.同为正【题3】【题4】2ax bxb4a将X2次方程2 ax韦达定理的应用设 ax2 bx c二次方程4X20的两个根为X1、X2 , bab 、一 2H代入方程ax24abx c 0 中,B.同为负0的两个实数根为(m 1)x2已知X1、X2是方程x韦达定理的应用【答案】根据题意得,X2X1X12X1X22X23x3,(X

26、1X1X2且 X1 3X2bX0整理，即可得AC.X1X2X,、X2 ,则5m2 5mx m4 0的两个根,X1 x24x2)2 2x1 x2X1X2令x2X1X1X2则k - kKX2解之得4, k217414整理得4 k2X2的值为X1【题5】 已知x2+5x+4=0 ,求代数式(2x 1)(x0,则两个根的符号D.同号两个根同为正0有两个相等的实数根，则 m*2不解方程，求一的值X117417k1) (x-2)2 2 的值. TOC o 1-5 h z _ 2 _, , 2 .、一=2x +2x-x 1 (x -4x 4) 2 .22=2x x 1 x +4x 4 2.2=x +5x 7

27、 .当 x2+5x+4=0 时，原式二-4 711 .22【题6】 已知m是万程x2 x 2 0的一个实数根，求代数式(m m)(m 1)的值.m【答案】m是方程x2 x 2 0的一个根，-2 m m2 0.2c2 c m m 2 , m 2 m .2, 国_2 m 2一原式=(mm)( 1)m=2 (m 1) =2 2=4. m【题7】已知a、b、c是三角形的三边长，求证：b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0没有实数根【答案】(b2 c2 a2)2 4b2c2 TOC o 1-5 h z (b2c2 a22bc)(b2c2a22bc)2222(bc)2 a2(bc)2a2(bc a)(bca)(bca)(bca).a、b、c是三角形三边长(bc a)(bca)(bca)(bca) 0，方程b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0没有实数根【题8】已知m、n是一元二次方程x2 3x 1 0的两根，那么代数式 2m2 4n2 6n 1999的值为22222【答案】原式 2(m n ) 2(n3n) 1999 2(m n) 2mn 2(n3n) 1999 20